4、山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题（教师版）

这是一份4、山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题（教师版），共14页。试卷主要包含了Ⅱ卷在答题纸上作答，已知函数f=csx+π6,则等内容，欢迎下载使用。


高一数学
注意事项:
1.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
2.Ⅱ卷在答题纸上作答。答题前,考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题1)tan15°=( )
A.2+3B.2-3C.3+1D.3-1
考向 两角差的正切公式
分析 根据题意,将所求式子中的角15°变形为45°-30°,然后利用两角差的正切公式及特殊角的三角函数值,化简即可求出值.也可利用tanα2=sinα1+csα,结合30°角的三角函数值求解.
解析 解法一:tan15°=tan(45°-30°)=tan45°-tan30°1+tan45°tan30°=1-331+33=3-33+3=12-636=2-3.
解法二:由tanα2=sinα2csα2=2sinα2csα22cs2α2=sinα1+csα,得tan15°=sin30°1+cs30°=121+32=12+3=2-3.
故选B.
答案 B
点评 本题考查了两角差的正切公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键,注意掌握tanα2=sinα2csα2=2sinα2csα22cs2α2=sinα1+csα这个公式的推导过程和结果,还有就是“变角”的技巧,如:θ=π6+θ-π6,α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等.
2.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题2)方程lg3x=5-x的根所在的区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
考向 函数零点的概念 二分法的应用
分析 构造函数f(x)=x+lg3x-5,分析函数在定义域上的单调性,然后根据函数零点存在性定理可判断出该函数零点所在的区间,从而得到方程lg3x=5-x的根所在的区间.
解析 构造函数f(x)=x+lg3x-5,则该函数在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=x+lg3x-5至多只有一个零点,
∵f(1)=-4<0,f(2)=lg32-3<0,f(3)=-1<0,f(4)=lg34-1>0,
∴由函数零点存在性定理可知,在区间(3,4)内函数f(x)=x+lg3x-5存在一个零点,
由此可得方程lg3x=5-x的根所在的区间为(3,4).
故选D.
答案 D
点评 本题主要考查函数零点存在性定理的应用.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根,考查了学生的推理能力.
3.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题3)已知α是第一象限角,那么α2是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角
考向 象限角的判断和表示
分析 根据题意,已知α是第一象限角,所以先写出α的取值范围,再求出α2的取值范围,讨论即可知α2是第一或第三象限角.
解析 依题意得2kπ<α<2kπ+π2(k∈Z),则kπ<α2当k=2n,n∈Z时,α2是第一象限角;
当k=2n+1,n∈Z时,α2是第三象限角.
综上,α2是第一或第三象限角.故选D.
答案 D
点评 本题主要考查象限角的概念及象限角的表示.
第一象限角的集合为α|2kπ<α<2kπ+π2,k∈Z,
第二象限角的集合为α|2kπ+π2<α<2kπ+π,k∈Z,
第三象限角的集合为α|2kπ+π<α<2kπ+3π2,k∈Z,
第四象限角的集合为α|2kπ+3π2<α<2kπ+2π,k∈Z.
4.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题4)一个扇形的弧长为6,面积为6,则这个扇形的圆心角是( )
A.1B.2C.3D.4
考向 扇形的弧长公式、面积公式的应用
分析 由题意,根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式,列出方程组,即可求得这个扇形的圆心角.
解析 设扇形的圆心角为α,所在圆的半径为r,已知扇形的弧长为6,面积为6,
则αr=6,12αr2=6,解得r=2,α=3,即扇形的圆心角为3rad.
故选C.
答案 C
点评 本题主要考查了扇形的弧长公式、扇形的面积公式的应用,熟练掌握扇形的弧长公式和扇形的面积公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.
5.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题5)某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%,然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%,则该商品的最终售价与原来价格相比( )
A.略有降低B.略有提高C.相等D.无法确定
考向 指数幂的运算
分析 首先理解题意,完成实际问题向数学问题的转化,列出现价的关系式,然后和原价比较大小即可.
解析 设现价为b,原价为a,则b=a(1+10%)2(1-10%)2=(1-0.01)2a答案 A
点评 本题主要考查函数的实际应用以及指数幂的运算性质,重点考查学生的阅读能力,分析问题和解决问题的能力.
6.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题6)若0A.22B.-22C.0D.2
考向 二倍角的余弦公式
分析 根据倍角公式进行化简,再结合x的范围可得所求.
解析 由二倍角的余弦公式变形可得,1+cs2x=2cs2x,1-cs2x=2sin2x,
∵00,csx>0,
∴1+cs2xcsx+1-cs2xsinx=2|csx|csx+2|sinx|sinx=2+2=22.
故选A.
答案 A
点评 本题主要考查二倍角的余弦公式的应用,以及三角函数符号的判断,要求学生熟练掌握二倍角余弦公式以及公式的变形,考查学生的计算能力.
7.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题7)如图,某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5B.6C.8D.10
考向 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质的应用
分析 根据题意,由图象可知当sinπ6x+φ=-1时,ymin=k-3=2,即可求出k的值;再根据y=Asin(ωx+φ)的图象和性质可得当sinπ6x+φ=1时,y有最大值,得到所求.
解析 因为水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k
所以由题图可知,当sinπ6x+φ=-1时,ymin=k-3=2,∴k=5,
所以y=3sinπ6x+φ+5,
当sinπ6x+φ=1时,y有最大值,ymax=3+5=8.
故选C.
答案 C
点评 本题考查正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的基本性质在实际问题中的应用,必须熟练掌握正弦函数y=sinx的性质:其图象的对称轴为x=kπ+π2(k∈Z),对称中心为(kπ,0)(k∈Z),当x=2kπ+π2(k∈Z)时,y取得最大值,当x=2kπ-π2(k∈Z)时,y取得最小值,正弦函数的增区间为2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z),减区间为2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z).
8.(★★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题8)已知函数f(x)=x3+x,g(x)=lg2x+x,h(x)=2x+x的零点分别为a,b,c,则( )
A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a
考向 函数零点的概念 数形结合思想的应用
分析 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,进一步把方程f(x)=0的实数根转化为两个函数图象交点的横坐标.
解析 函数f(x)=x3+x的零点a为函数y=x3与y=-x的图象交点的横坐标a,函数g(x)=lg2x+x的零点b为函数y=lg2x与y=-x的图象交点的横坐标b,函数h(x)=2x+x的零点c为函数y=2x与y=-x的图象交点的横坐标c.
在同一平面直角坐标系内作出函数y=x3,y=lg2x,y=2x与y=-x的图象如图所示:
由图可知,a=0,b>0,c<0,∴c故选B.
答案 B
点评 本题主要考查的是函数零点的概念,函数y=f(x)有零点⇔方程f(x)=0有实数根,进一步转化为求两个函数图象的交点问题,转化的原则是两个函数尽可能是基本初等函数,本题转化为指数函数、对数函数、幂函数的图象与直线的交点问题,体现了数形结合思想的应用.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分)
9.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题9)已知函数f(x)=csx+π6,则( )
A.2π为f(x)的一个周期
B.y=f(x)的图象关于直线x=4π3对称
C.f(x)在π2,π上单调递减
D.f(x+π)的一个零点为π3
考向 函数y=Acs(ωx+φ)的图象和性质的应用
分析 根据题意,利用函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象和性质,对于A,由余弦型函数的周期公式求出函数的周期即可判断;对于B,由余弦函数图象的对称轴或者利用对称轴的性质即可判断;对于C,由余弦函数的单调区间求出函数的单调区间即可判断;对于D,将π3代入f(x+π)进行验证即可.
答案 AD
解析 根据函数f(x)=csx+π6得到最小正周期为T=2πω=2π,A正确;
当x=4π3时,f4π3=cs4π3+π6=cs3π2=0,由余弦函数图象的对称性知,B错误;
函数f(x)=csx+π6在π2,5π6上单调递减,在5π6,π上单调递增,故C错误;
∵f(x+π)=csx+7π6,∴fπ3+π=cs7π6+π3=cs3π2=0,故D正确.
故选AD.
点评 本题考查余弦型函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0)的基本性质的应用,必须熟练掌握余弦函数y=csx的性质:其图象的对称轴为x=kπ(k∈Z),对称中心为kπ+π2,0(k∈Z),当x=2kπ(k∈Z)时,y取得最大值A,当x=2kπ+π(k∈Z)时,y取得最小值-A,余弦函数的增区间为[2kπ-π,2kπ](k∈Z),减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z),熟练掌握余弦函数的图象和性质是解决本题的关键.
10.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题10)若a>b>0,0A.lgcacb
C.ac>bcD.lgc(a+b)>0
考向 指数函数的图象和性质 对数函数的图象和性质
分析 根据指数函数、对数函数的图象和性质,对每个选项分别判断即可得结果.
答案 AC
解析 选项A,因为0b>0得lgca选项B,因为0b>0,得ca选项C,因为a>b>0,01,所以ac>bc,故C正确;
选项D,因为a>b>0,0故选AC.
点评 本题主要考查指数函数的图象和性质、对数函数的图象和性质的应用,熟练掌握这些性质是解题的关键;对于不等关系与不等式的判断,如果认为正确,那么一定要有简单的证明,如果认为错误,那么要找出反例,从而培养思维的严谨性.
11.(★★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题11)如图,摩天轮的半径为40m,其中心O点距离地面的高度为50m,摩天轮按逆时针方向做匀速转动,且20min转一圈,若摩天轮上点P的起始位置在最高点处,则摩天轮在转动过程中( )
A.经过10min点P距离地面10m
B.若摩天轮转速减半,则其周期变为原来的12倍
C.第17min和第43min时P点距离地面的高度相同
D.摩天轮转动一圈,P点距离地面的高度不低于70m的时间为203min
考向 函数y=Acs(ωx+φ)的图象和性质在实际问题中的应用
分析 根据题意,摩天轮上点P离地面的高度h随时间t的变化满足函数关系式h(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0),建立适当坐标系,求出函数关系式,再利用函数的图象和性质对选项逐个判断即可.
答案 ACD
解析 因为摩天轮按逆时针方向做匀速转动,所以其对应函数图象为正弦函数图象.设其对应函数为h(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,B>0).由图形知,可以以点O为原点,OP0(点P0为起始位置,在最高点处)所在直线为y轴,与OP0垂直的直线为x轴建立平面直角坐标系,
设转动时间为t,由题意,得P(t,h-50),φ=π2,A=40,T=20,所以ω=2π20=π10,所以h-50=40sinπ10t+π2,
故h(t)=40sinπ10t+π2+50,
化简得h(t)=40csπ10t+50.
当t=10 时,h=10,故A正确;
若摩天轮转速减半,则T=40,其周期变为原来的2倍,故B错误;
因为第17min时,P点距离地面的高度为h(17)=40cs17π10+50=40cs3π10+50,
第43min 时,P点距离地面的高度为h(43)=40cs43π10+50=40cs3π10+50,
所以第17min和第43min时,P点距离地面的高度相同,故C正确;
摩天轮转动一圈,P点距离地面的高度不低于70m,
即40csπ10t+50≥70,
即csπt10≥12,
所以-π3+2kπ≤π10t≤π3+2kπ,k∈Z,即-103+20k≤t≤103+20k,k∈Z.又0≤t≤20,所以0≤t≤103或20-103≤t≤20.共203min.故D正确.
故选ACD.
点评 本题考查了利用已知三角函数模型解决实际应用题,解答本题的关键是建立符合条件的坐标系,得出相应的函数模型,作出正确的示意图,然后由三角函数的图象和性质进行求解.
12.(★★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题12)已知函数f(x)的定义域为D,若∀x∈D,∃y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“M函数”.下列所给出的函数中是“M函数”的有( )
A.y=x2B.y=1x
C.y=2x-1D.y=ln(x+1)
考向 函数的概念 指数函数、对数函数、幂函数的简单应用
分析 根据“M函数”的定义,对选项中各函数逐一判断是不是“M函数”即可.
答案 BD
解析 已知在函数定义域内,对任意的x都存在y,使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数,即f(y)=-f(x),故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“M函数”的条件.
对于A,函数的值域为[0,+∞),不关于原点对称,故A不符合题意;
对于B,函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,故B符合题意;
对于C,函数的值域为(0,+∞),不关于原点对称,故C不符合题意;
对于D,函数的值域为R,关于原点对称,故D符合题意.
故选BD.
点评 本题属于函数“新定义”问题,关键是对“新定义”的理解,能够把题设中的函数“新定义”转化为熟悉的函数的值域问题来解决,考查学生分析问题和解决问题的能力.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题13)函数f(x)=lg2x-1的定义域为 .
考向 函数的概念 对数函数的简单应用
分析 根据函数f(x)的解析式,由根式内部的代数式大于等于0,对数的真数大于0联立得不等式组,从而得到函数的定义域.
答案 [2,+∞)
解析 要使函数f(x)有意义,则x>0,lg2x-1≥0,解得x≥2,即函数f(x)的定义域为[2,+∞).
故答案为[2,+∞).
点评 本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉一些求函数定义域的原则:分式(分母不为零)、二次根式(二次根式里面的整体大于等于零)、对数(对数的底数大于零且不等于1、真数大于零)、零指数幂的底数不等于零,然后对每一部分所满足的条件求交集即可.
14.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题14)已知tanα=3,则sin2α-sin2α= .
考向 同角三角函数的基本关系式 二倍角的正弦公式
分析 (1)根据题意,利用二倍角公式将sin2α转化,再把分母看作sin2α+cs2α,分子、分母同时除以cs2α,将要求的代数式转化为关于tanα的形式,代入即可求值.
答案 310
解析 sin2α-sin2α=sin2α-2sinαcsα
=sin2α-2sinαcsαsin2α+cs2α
=tan2α-2tanαtan2α+1,
将tanα=3代入,原式=9-69+1=310.
故答案为310.
点评 本题考查利用同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦公式进行化简求值,化简过程注意平方关系式sin2α+cs2α=1的灵活应用,尤其平方关系式的逆向使用,也就是“1”的转化,熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键.
15.(★★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题15)已知函数f(x)=3|x+a|(a∈R)满足f(x)=f(2-x),则实数a的值为 ;若f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于 .(本题第一空2分,第二空3分)
考向 指数幂的运算性质 函数的单调性
分析 根据题意,令x=0得f(0)=f(2),再利用指数函数的性质即可求得实数a的值;将函数f(x)化简为分段函数的形式,根据f(x)的单调性即可求得实数m的最小值.
答案 -1;1
解析 ∵函数f(x)=3|x+a|(a∈R)满足f(x)=f(2-x),
∴令x=0得f(0)=f(2),
即3|a|=3|2+a|,即|a|=|2+a|,
解得a=-1.
易知f(x)=3|x-1|=3x-1,x≥1,31-x,x<1,
∴f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
又∵f(x)在[m,+∞)上单调递增,
∴m≥1,
∴实数m的最小值为1.
故答案为-1;1.
点评 本题主要考查函数的概念和性质,含有绝对值问题的处理方法就是利用绝对值的定义通过讨论去掉绝对值,将函数转化为分段函数的形式,要加强对分段函数的理解和应用.
16.(★★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题16)在角θ1、θ2、θ3、…、θ30的终边上分别有一点P1、P2、P3、…、P30,如果点Pk的坐标为(sin(15°-k°),sin(75°+k°)),1≤k≤30,k∈N,则csθ1+csθ2+csθ3+…+csθ30= .
考向 三角函数的诱导公式 两角差的正弦公式
分析 根据题意,利用诱导公式将点Pk的坐标变为Pk(sin(15°-k°),cs(15°-k°)),然后根据三角函数定义可得csθk=sin(15°-k°),再利用诱导公式及两角差的正弦公式进行化简即可得到结果.
答案 2-64
解析 由Pk(sin(15°-k°),sin(75°+k°)),得Pk(sin(15°-k°),cs(15°-k°)),
由三角函数定义知csθk=sin(15°-k°),
所以csθ1+csθ2+csθ3+…+csθ30=sin14°+sin13°+…+sin(-14°)+sin(-15°)
=sin14°+sin13°+…-sin14°-sin15°
=-sin15°
=-sin(45°-30°)
=cs45°sin30°-sin45°cs30°
=2-64.
故答案为2-64.
点评 本题主要考查三角函数诱导公式、三角函数定义、两角差的正弦公式的应用,注意观察所求结果和已知之间的关系,通过转化找到它们的联系,体现了数学运算、直观想象的核心素养.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题17)求下列各式的值:
(1)3lg314+2lg92-lg329;
(2)(-1)0+2+1027-13+(8)-43.
考向 对数的运算 指数幂的运算
分析 (1)根据对数的运算法则和对数恒等式,即可求解;
(2)利用分数指数幂的运算性质即可求解.
解析 (1)3lg314+2lg92-lg329=14+lg32-lg329=14+2=94.
(2)(-1)0+2+1027-13+(8)-43=1+433-13+(232)-43=1+34+14=2.
点评 本题主要考查分数指数幂的运算性质以及对数运算的性质,如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)lga(M·N)=lgaM+lgaN;(2)lgaMN=lgaM-lgaN;(3)lgaMn=nlgaM;(4)algaN=N,这些对数运算性质是我们准确进行对数运算的关键,必须熟记,本题重点考查学生的计算能力.
18.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题18)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点55,255.
(1)求cs2α-π2-2sin(π-α)csα-3π22cs2α+π2+sin(2α+π)的值;
(2)已知-π2<β<0,且sinβ=-1010,求cs(α-β)的值.
考向 同角三角函数的基本关系 三角函数的诱导公式 两角和与差的余弦公式
分析 (1)根据题意,利用三角函数的定义求得tanα,再利用诱导公式、倍角公式以及同角三角函数基本关系式将要求的代数式转化为关于tanα的形式,代入即可求值;
(2)利用三角函数的定义求得sinα,csα,再利用同角三角函数基本关系式求得csβ,再利用两角差的余弦公式即可求得cs(α-β)的值.
解析 (1)由已知可得,tanα=2,
所以cs2α-π2-2sin(π-α)csα-3π22cs2α+π2+sin(2α+π)
=sin2α-2sinα(-sinα)2sin2α-sin2α=sinαcsα+sin2αsin2α-sinαcsα
=csα+sinαsinα-csα=1+tanαtanα-1=1+22-1=3.
(2)因为α的终边过点55,255,所以α是第一象限角,
所以sinα=255,csα=55,
又因为-π2<β<0,且sinβ=-1010,
所以csβ=1-sin2β=31010,
所以cs(α-β)=csαcsβ+sinαsinβ
=55×31010+255×-1010=210.
点评 本题考查利用三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式,正、余弦的诱导公式以及两角差的余弦公式进行化简求值.三角函数化简求值时注意平方关系式sin2α+cs2α=1的应用,在解题过程中它是作为隐含条件来出现的,熟练掌握三角函数诱导公式,简单记为“奇变偶不变,符号看象限”.
19.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题19)科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标,准备制订一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.
(1)现有三个奖励函数模型:①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8x+200,③f(x)=100lg20x+50,x∈[3000,9000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求;
(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型,要使奖金额达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元?
考向 函数的应用 指数函数、对数函数的性质
分析 (1)根据题意,按照公司要求可知函数f(x)为增函数,同时应满足f(x)≥100且f(x)≤x5,逐一验证所给的函数模型即可.
(2)由(1)可得,只需解不等式100lg20x+50≥350即可.
解析 (1)根据题意,按照公司要求可知函数f(x)在[3000,9000]为增函数,
且∀x∈[3000,9000],恒有f(x)≥100且f(x)≤x5.
①对于函数f(x)=0.03x+8,当x=3000时,f(3000)=98<100,不符合要求;
②对于函数f(x)=0.8x+200,在[3000,9000]上为减函数,不符合要求;
③对于函数f(x)=100lg20x+50,在[3000,9000]上为增函数,且当x=3000时,f(3000)>100lg2020+50≥100,
又因为f(x)≤f(9000)=100lg209000+50<100lg20160000+50=450.
而x5≥30005=600,所以当x∈[3000,9000]时,f(x)max≤x5min.
所以f(x)≤x5恒成立.
因此,f(x)=100lg20x+50为满足条件的函数模型.
(2)由100lg20x+50≥350,得lg20x≥3,所以x≥8000,
所以公司的投资收益至少要达到8000万元.
点评 本题主要考查的是函数模型的选择与运用,考查函数的单调性和最值以及恒成立问题,对数不等式的解法,着重考查了分析问题和解决问题的能力,体现了数学建模的核心素养.
20.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题20)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|≤π2的部分图象如图所示.
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象,若关于x的方程f(x)+g(x)-a=0在0,π2上有实数解,求实数a的取值范围.
考向 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质的应用 两角差的正弦公式
分析 (1)利用函数的图象得到A,T,求出ω,利用函数图象经过的最高点(或最低点),求出φ,即可求出函数f(x)的解析式;
(2)根据函数图象平移变换规律求出函数g(x)的表达式,利用函数和方程之间的关系转化为求两个函数图象的交点问题即可.
解析 (1)由题中所给函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|≤π2的部分图象可得A=2,T2=11π12-5π12=π2,所以T=π,所以ω=2πT=2ππ=2,
将最高点5π12,2的坐标代入f(x)=2sin(2x+φ),
得5π6+φ=2kπ+π2(k∈Z),即φ=2kπ-π3(k∈Z),
因为|φ|≤π2,所以φ=-π3,
所以函数f(x)的表达式为f(x)=2sin2x-π3.
(2)依题意得g(x)=2sin2x+π6-π3=2sin2x,
方程f(x)+g(x)-a=0在0,π2上有实数解,
即方程f(x)+g(x)=a在0,π2上有实数解,
即y=f(x)+g(x)的图象和y=a的图象在0,π2上有交点,
令h(x)=f(x)+g(x)=2sin2x-π3+2sin2x=3sin2x-3cs2x
=2332sin2x-12cs2x
=23sin2x-π6,
∵x∈0,π2,∴2x-π6∈-π6,5π6,
∴sin2x-π6∈-12,1,
∴h(x)的值域为[-3,23],
所以实数a的取值范围为[-3,23].
点评 本题主要考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式,即确定参数A、ω、φ的值,属于常考题型,需要熟练掌握三角函数的图象和性质,本题还涉及三角函数图象变换以及方程根的存在性等,将根的存在性问题通过分离参数转化为求函数的值域体现了转化的数学思想,考查学生的计算能力,体现了数学运算的核心素养.
21.(★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题21)某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.
cs215°+cs215°-3sin15°sin15°;
cs280°+cs2(-50°)-3sin80°sin(-50°);
cs2170°+cs2(-140°)-3sin170°sin(-140°).
(1)求出这个常数;
(2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
考向 两角差的正弦、余弦公式 二倍角的余弦公式
分析 (1)利用倍角公式化简整理,结合特殊角的三角函数值即可求解;
(2)根据α+β=30°将β用α表示,再利用两角差的余弦、正弦展开化简即可证明.
解析 (1)cs215°+cs215°-3sin15°sin15°
=2cs215°-3sin215°
=1+cs30°-32(1-cs30°)
=1+32-32×1-32=74.
(2)推广:当α+β=30°时,cs2α+cs2β-3sinαsinβ=74.
证明:∵α+β=30°,∴β=30°-α,
则cs2α+cs2β-3sinαsinβ
=cs2α+cs2(30°-α)-3sinαsin(30°-α)
=cs2α+32csα+12sinα2-3sinα12csα-32sinα
=cs2α+34cs2α+32csαsinα+14sin2α-32csαsinα+32sin2α
=74cs2α+74sin2α=74.
点评 本题主要考查利用二倍角的余弦公式、两角差的正弦、余弦公式以及特殊角的三角函数值进行化简求值,熟练掌握这些公式是正确解题的关键,还考查了归纳推理,以及学生的计算能力,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.
22.(★★★山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题22)已知f(x)=lnkx-1x+1为奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)判断并证明函数f(x)的单调性;
(3)若存在α,β∈(1,+∞),使得函数f(x)在区间[α,β]上的值域为lnmα-m2,lnmβ-m2,求实数m的取值范围.
考向 函数的单调性 函数的奇偶性 对数的运算性质
分析 (1)根据函数奇偶性的定义求出k的值,然后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可;
(2)根据函数的单调性定义即可证明函数f(x)的单调性;
(3)假设存在α,β∈(1,+∞),使得函数f(x)在区间[α,β]上的值域为lnmα-m2,lnmβ-m2,由f(x)在(1,+∞)上递增,问题转化为方程mx2-1-m2x+1-m2=0在(1,+∞)上有两个不等实根,可得关于m的不等式组,解不等式组即可得到实数m的取值范围.
解析 (1)因为函数f(x)=lnkx-1x+1为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,
即lnkx-1x+1+ln-kx-1-x+1=ln(kx-1)(-kx-1)(x+1)(-x+1)=ln1-k2x21-x2=0对定义域内任意x恒成立,所以k2=1,即k=±1,
当k≠-1时,不满足题意;当k=1时,f(x)=lnx-1x+1的定义域关于原点对称,满足题意.
所以k=1.
(2)结论:f(x)在(-∞,1),(1,+∞)上均为增函数.
证明:由(1)知f(x)=lnx-1x+1,其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1f(x1)-f(x2)=lnx1-1x1+1-lnx2-1x2+1=ln(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1),
因为(x1-1)(x2+1)-(x1+1)(x2-1)=2(x1-x2)<0,又(x1+1)(x2-1)>0,(x1-1)(x2+1)>0,
所以0<(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)<1,
所以f(x1)-f(x2)=ln(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)<0.
即f(x1)同理,f(x)在(-∞,1)上为增函数.
(3)由(2)知f(x)在(1,+∞)上为增函数,
因为函数f(x)在[α,β]上的值域为lnmα-12,lnm(β-12)],
所以m>0,且lnα-1α+1=lnmα-m2,lnβ-1β+1=lnmβ-m2,所以α-1α+1=mα-m2,β-1β+1=mβ-m2,
即α,β是方程x-1x+1=mx-m2的两个实根,
即方程mx2-1-m2x+1-m2=0在(1,+∞)上有两个不等实根,
令h(x)=mx2-1-m2x+1-m2,其图象的对称轴为x=12m-14,
要想满足mx2-1-m2x+1-m2=0在(1,+∞)上有两个不等实根,
则m>0,12m-14>1,Δ=1-m22-4m1-m2>0,ℎ(1)=m>0,
即m>0,02或m<29,解得0点评 本题主要考查对数的运算,函数奇偶性的应用,利用函数单调性定义证明函数的单调性,应用函数与方程思想进行转化以及一元二次方程在给定区间内根的分布问题,应熟练掌握“三个二次”的关系.根据二次函数的图象讨论一元二次方程根的分布主要考虑以下几个方面:①二次项是否存在;②对应函数图象的开口方向;③对应函数图象的对称轴的位置;④判别式;⑤区间端点的函数值等,体现了数学运算和逻辑推理的核心素养.