高中第一章 空间几何体综合与测试巩固练习

本章达标检测

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说,下列说法不正确的是　(　　)

A.三角形的直观图仍然是一个三角形

B.90°角的直观图会变为45°角

C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半

D.原来平行的线段仍然平行

2.棱长为2的正方体的外接球的体积为(　　)

A.12π B.13π

C.12π D.4π

3.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为(　　)

A.R B.2R

C.3R D.4R

4.圆台的两个底面面积之比为4∶9,母线与底面的夹角是60°,轴截面的面积为180,则圆台的母线长l=(　　)

A.6 B.6

C.12 D.12

5.如图所示,边长为1的正方形网格中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体所有棱长组成的集合为(　　)

A.{1,} B.{1,}

C.{1,,} D.{1,,2,}

6.圆木长为2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长　　　　尺?(注:1丈等于10尺)　(　　) 

A.29尺 B.24尺

C.26尺 D.30尺

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为　(　　)

A.20 B.24

C.16 D.16+

8.甲、乙两足球队决赛互罚点球时,罚球点离球门约10米,乙队守门员违例向前冲出了3米,扑住了球,结果被判犯规,扑球无效.事实上乙队守门员违例向前冲出了3米时,其要封堵区域的面积变小了,此时乙队守门员需封堵区域的面积是原来球门面积的(　　)

A. B. C. D.

9.如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,矩形的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,且球的表面积为16π,点P在球面上,则四棱锥P-ABCD体积的最大值为(　　)

A.8 B. C.16 D.

10.已知三棱锥P-ABC的棱AP、AB、AC两两垂直,且长度都为,以顶点P为球心,2为半径作一个球,则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于(　　)

A.3π B. C. D.

11.三棱锥P-ABC中,棱PA,PB,PC两两垂直,AB=2,BC=,AC=,则该三棱锥外接球的表面积为(　　)

A.4π B.8π C.16π D.π

12.已知某长方体的三视图如图所示,在该长方体的一组相对侧面α,β上取三点A,B,P,其中P为侧面α的对角线上一点(与对角线端点不重合),A,B为侧面β的一条对角线的两个端点.若以线段AB为直径的圆过点P,则m的最小值为(　　)

A.4 B.4 C.2 D.2

二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图,得到如图所示的等腰直角三角形A'B'C'.已知点O'是斜边B'C'的中点,且A'O'=1,则△ABC的边BC上的高为　　　　. 

14.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为　　　　. 

15.某几何体截去两部分后的三视图如图所示,则被截后的几何体的体积为　　　. 

16.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为　　　　. 

三、解答题(本题共6小题,共70分)

17.(10分)如图所示,一个圆柱形玻璃瓶的内底面半径为3 cm,瓶里所装的水深为8 cm,将一个实心钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5 cm,求钢球的半径.

18.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,如果AB=AC=,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,求多面体BB1C1CEF的体积.

19.(12分)在半径为15的球O内有一个底面边长为12的内接正三棱锥A-BCD,求此正三棱锥的体积.

20.(12分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图、正视图和侧视图(单位:cm).

(1)画出该多面体的俯视图,并标上相应的数据;

(2)按照给出的数据,求该几何体的体积.

21.(12分)已知四棱锥P-ABCD的高为,其三视图如图所示,其中正视图为等腰三角形,侧视图为直角三角形,俯视图是直角梯形.

(1)求正视图的面积;

(2)求四棱锥P-ABCD的侧面积.

22.(12分)在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,2AB=3CD,M为AE的中点,设四棱锥E-ABCD的体积为V,那么三棱锥M-EBC的体积为多少?

答案全解全析

一、选择题

1.B　A中说法正确,根据斜二测画法,三角形的直观图仍然是一个三角形;B中说法不正确,90°角的直观图可以是45°角,也可以是135°角;由斜二测画法规则知C、D中说法正确.

2.D　棱长为2的正方体的外接球的直径为正方体的体对角线,即=2,所以球的半径为,故球的体积为π×()3=4π.故选D.

3.D　设圆柱的高为h,则πR2h=3×πR3,所以h=4R.

4.D　设圆台的上底面半径为2r,则其下底面半径为3r.

可作圆台的轴截面如下图所示.

其中DE⊥AB,CF⊥AB,∠DAE=∠CBF=60°,

∴EF=4r,AE=BF=r,DE=CF=r.

∴轴截面面积S=×(4r+6r)×r=180,解得r=6(r=-6舍去),

∴母线长l=AD=2AE=2r=12.

故选D.

5.B　如图,该几何体是四棱柱,底面是边长为1的正方形,易得侧棱长为,故选B.

6.C　由题意可知,圆柱的侧面展开图是矩形,其中一条边(即圆木的高)长为24尺,其邻边长为5尺,因此葛藤长最少为=26(尺).故选C.

7.A　由三视图可知该几何体是由棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'切去几何体AEF-A'B'D'得到的.其中E,F分别是AB,AD的中点,如图,四边形EFD'B'为等腰梯形,该梯形的高为.

所以该几何体的表面积S=×2×2+2×2-×1×1+×2×1+×2×1+2×2+2×2+×(+2)×=20.故选A.

8.D　如图,从罚球点S向球门ABCD四个顶点引线,构成四棱锥S-ABCD,守门员从平面ABCD向前移动3米至平面A'B'C'D',只需封堵区域A'B'C'D'即可,故==.

9.D　设球的半径为R,因为球O的表面积是16π,所以S=4πR2=16π,解得R=2.

设四棱锥P-ABCD底面矩形的长、宽分别为x,y,

则x2+y2=(2R)2=(x-y)2+2xy≥2xy,当且仅当x=y时取等号,即底面为正方形时,底面面积最大,此时S正方形ABCD=2R2=8.

又点P在球面上,

所以当PO⊥底面ABCD时,PO=R,即hmax=R=2,则四棱锥P-ABCD体积的最大值为.

故选D.

10.B　如图所示,Rt△PAC,Rt△PAB都为等腰直角三角形,且AP=AB=AC=.

以顶点P为球心,2为半径作一个球与Rt△PAC的PC,AC分别交于点M,N,

则cos∠APN=,

故∠APN=30°,

所以∠NPM=15°,

所以=×2=,

同理,=.

AH=AN=PN·sin 30°=1,∠HAN=90°,

所以=×1=.

又所对圆心角为60°,

所以=×2=,

所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于+++=.故选B.

11.B　将三棱锥补形成以PA、PB、PC为邻边的长方体,设PA、PB、PC的长分别为a、b、c,依题意有a2+b2=4,a2+c2=7,b2+c2=5,则a2+b2+c2=8,易知该几何体的外接球即为长方体的外接球,所以外接球的直径为2,故外接球的表面积为8π.

12.D　根据长方体的三视图知,该长方体的底面是边长为2的正方形,且高为m,如图所示.

取AB的中点O,

由题意知,AB为圆O的直径,则AB的最小值为2OP=4,

此时△ABC为直角三角形,m的最小值为=2.故选D.

二、填空题

13.答案　2

解析　∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A'B'C',∠B'A'C'=90°,A'O'=1,

∴A'C'=.

根据直观图平行于y轴的线段,长度变为原来的一半,得△ABC的高为AC=2A'C'=2.

14.答案　2

解析　由题意设两球的半径分别为R、r(R>r),则

即

所以R-r=2.

15.答案　

解析　由题意,根据给定的三视图还原几何体,如图,可知该几何体由棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥A-A1B1D1和三棱锥C1-CEF得到,正方体的体积V=2×2×2=8,三棱锥A-A1B1D1的体积V1=××2×2×2=,

三棱锥C1-CEF的体积V2=××1×1×2=,

所以该几何体的体积V3=V-V1-V2=8--=.

16.答案　

解析　四棱锥的底面BB1D1D为矩形,其面积为1×=,

又四棱锥A1-BB1D1D的高为A1C1=,所以四棱锥A1-BB1D1D的体积为××=.

三、解答题

17.解析　设钢球的半径为R cm,由题意可得πR3=π×32×(8.5-8),解得R=1.5,

所以钢球的半径为1.5 cm.

18.解析　在△ABC中,BC边上的高h==2,

=BC·h·BB1=×6×2×6=36,

∵EF=3,A1A=B1B=6,

∴V三棱锥E-ABC+==6,

故=36-6=30.

19.解析　①如图甲所示的情形,显然OA=OB=OC=OD=15.设H为△BCD的中心,则A,O,H三点在同一条直线上.

∵HB=HC=HD=××12=12,

∴OH==9,

∴正三棱锥A-BCD的高h=9+15=24.

又S△BCD=×(12)2=108,

∴V三棱锥A-BCD=×108×24=864.

②对于图乙所示的情形,同理,可得正三棱锥A-BCD的高h'=15-9=6,S△BCD=108,

∴V三棱锥A-BCD=×108×6=216.

综上,三棱锥的体积为864或216.

20.解析　(1)该几何体的俯视图如图所示.

(2)该几何体的体积V=V长方体-V三棱锥=4×4×6-××2=(cm3).

故该几何体的体积为 cm3.

21.解析　(1)将所给三视图还原成直观图为如图所示的四棱锥P-ABCD,其高为PA,

∴PA=.

∴正视图的面积S=×2×=.

(2)如图所示,过点A作AE∥CD交BC于点E,连接PE、AC.

根据三视图可知,AD=EC=BE=BC=1,∴E是BC的中点,

又AE=CD=1,且BC⊥AE,PA⊥AD,PA⊥AE,

∴AB=,PD=,PE=.

∵PC2=PA2+AC2=4,PD2+CD2=PE2+EC2=4,∴PE⊥BC,PD⊥CD,

∴四棱锥P-ABCD的侧面积S=S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC=××+××1+×1×+×2×=.

22.解析　如图,连接AC.

则三棱锥E-ABC和三棱锥E-ACD同高,又AB∥CD,∴以AB,CD为底时,△ABC与△ACD等高.

∴==,

∴=,

∵VE-ABC+VE-ACD=V,

∴VE-ABC=V,

∵M为AE的中点,

∴三棱锥C-EMB和三棱锥C-MAB等底面积同高,

∴VC-EMB=VC-MAB=VC-ABE=VE-ABC=V,即VM-EBC=V.