浙江省金华市2021年中考数学真题（word版 含答案）

这是一份浙江省金华市2021年中考数学真题（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙江省金华市2021年中考数学真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．实数，，2，中，为负整数的是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（ ）
A．3 B． C． D．
3．据科学家估计，太阳与地球的平均距离大约是千米，现将数字用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）

A． B． C． D．
5．某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）
如图，已知直线．若，则．
请完成下面的说理过程．
解：已知，
根据（内错角相等，两直线平行），得．
再根据（ ※ ），得．


A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
6．将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ）

A． B． C． D．
7．如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
8．已知点在反比例函数的图象上．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
10．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．二次根式中，x的取值范围是___．
12．已知是方程的一个解，则m的值是____________．
13．某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是____________．
14．如图，菱形的边长为，，将该菱形沿AC方向平移得到四边形，交CD于点E，则点E到AC的距离为____________．

15．如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是___________．

16．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．

（1）ED的长为____________．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．

三、解答题
17．计算：．
18．已知，求的值．
19．已知：如图，矩形的对角线相交于点O，．

（1）求矩形对角线的长．
（2）过O作于点E，连结BE．记，求的值．
20．小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：

（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求小聪成绩的方差．
（3）现求得小明成绩的方差为（单位：平方分）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
21．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．

（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
22．在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．

（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．
①求的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
23．背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

（1）求k的值．
（2）设点的横坐标分别为，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
24．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若，求证：．
②若，求四边形的面积．
（2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．



参考答案
1．D
【分析】
按照负整数的概念即可选取答案．
【详解】
解：是负数不是整数；是负数不是整数；2是正数；是负数且是整数
故选D．
【点睛】
本题考查了实数的分类，比较简单．
2．D
【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：原式，
故选：D．
【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
3．D
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：将用科学记数法表示为：1.5×108．

故选：D．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．B
【分析】
逐项解不等式，选择符合题意的一项．
【详解】
图中数轴表示的解集是x<2．
A选项，解不等式得x>-2，故该选项不符合题意，
B选项，解不等式得x<2，故该选项符合题意，
C选项，解不等式得 ，故该选项不符合题意，
D选项，解不等式得x>2，故该选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查不等式解集的表示方法和解简单的一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一次不等式，主要是要细心．
5．C
【分析】
首先准确分析题目，已知，结论是，所以应用的是平行线的性质定理，从图中得知∠3和∠4是同位角关系，即可选出答案．
【详解】
解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等）．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的应用，解题的关键是理解平行线之间内错角的位置，从而准确地选择出平行线的性质定理．
6．D
【分析】
由直棱柱展开图的特征判断即可．
【详解】
解：图中棱柱展开后，两个三角形的面不可能位于同一侧，因此D选项中的图不是它的表面展开图；
故选D．
【点睛】
本题考查了常见几何体的展开图，解决本题的关键是牢记三棱柱展开图的特点，即其两个三角形的面不可能位于展开图中侧面长方形的同一侧即可．
7．A
【分析】
根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】
过点A作，如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．
8．B
【分析】
根据反比例函数的图象与性质解题．
【详解】
解：反比例函数图象分布在第二、四象限，
当时，
当时，


故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．B
【分析】
设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．
【详解】
设原件为x元，
∵先打九五折，再打九五折，
∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，
∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x
故选B
【点睛】
本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键．
10．C
【分析】
先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可．
【详解】
解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，
圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，
∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，
∴AG=BM，
又∵OG=OM，OA=OB，
∴△AOG≌△BOM，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
，


，
．

故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
11．．
【详解】
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．
12．2
【分析】
把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】
∵是方程的一个解，
∴6+2m=10，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．
13．
【分析】
直接利用概率公式求解．
【详解】
解：根据随机事件概率公式得；
1张奖券中一等奖的概率为，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了概率公式，解题的关键是：理解随机事件的概率等于事件可能出现的结果数除以所有的可能出现的结果数．
14．2
【分析】
首先根据菱形对角线的性质得出AC的长，然后利用菱形对角线平分对角和平移的性质得出等腰 ，过顶点作垂线段EF，利用三线合一得出CF的长，再利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半和勾股定理列出方程，即可求解．
【详解】
∵∠BAD=60°，
∴连接对角线AC,BD，则AC⊥BD，且AC平分∠BAD,

∴在Rt△ADO中，
利用勾股定理得
又∵AC=2AO,
∴AC= ，
由题可知 =，
∴A’C=;
由平移可知 =∠DAC=30°,而∠DAC=∠DCA,
∴=∠DCA，即==30°，
∴ 是等腰三角形；
过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示：

则由等腰三角形三线合一可得：A’F=FC=,
在Rt△ECF中， ,设EF=x，则EC=2x，
由勾股定理得：
，解得x=2，
故填：2．
【点睛】
本题考查菱形的性质，等腰三角形三线合一，直角三角形中30°所对的直角边等于斜边一半和勾股定理；菱形对角线互相垂直且平分，一条对角线平分一组对角，熟知概念定理是解题的关键．
15．
【分析】
设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，用含有a的代数式表示点A的横坐标，表示点F的坐标，确定a值即可.
【详解】
设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，如图，过点F作FG⊥x轴，垂足为G, 点F作FH⊥y轴，垂足为H, 过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q,延长大等腰直角三角形的斜边交x轴于点N，交FH于点M，
根据题意，得OC==，CD=a,DQ=，
∵点A的横坐标为1,
∴+a+=1，
∴a=；

根据题意，得FM=PM=，MH=，
∴FH==；
∴MT=2a-，BT=2a-,
∴TN=-a，
∴MN=MT+TN=2a-+-a==，
∵点F在第二象限，
∴点F的坐标为（-，）
故答案为：（-，）．
【点睛】
本题考查了七巧板的意义，合理设出未知数，用未知数表示各个图形的边长，点ＡＡ的横坐标，点Ｆ的坐标是解题的关键．
16．13
【分析】
（1）由题意，证明△ABP∽△EDP，根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，由勾股定理D′B，可证△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．△AHP′∽△E′FP′，，解得x=1.5．
【详解】
解：（1）由题意，
∵，
∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．
∴，
∴△ABP∽△EDP，
∴，
即，
∴；
故答案为：13．
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,
在Rt△BDN中，
∵BD=12，DD′=5，
由勾股定理D′B=，
∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，
∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B=+∠E′D′F,
∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F,
∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,
∴，，
∴,，
∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．
∴，
∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，
P′F= P′D′-FD′=9-，
∴即，
解得x=1.5，
经检验x=1.5是方程的解，
EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5=．

故答案为．
【点睛】
本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，利用相似三角形的性质构造方程是解题关键．
17．1
【分析】
利用乘方的意义,二次根式的化简,特殊角的函数值,绝对值的化简,化简后合并计算即可
【详解】
解：原式

．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简,特殊角的三角函数值,绝对值的化简等知识，熟练运用各自的运算法则化简是解题的关键．
18．1
【分析】
直接利用完全平方差公式展开及平方差公式展开后，合并同类项化简，再将代入进去计算．
【详解】
解：原式
当时，原式．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是：先利用完全平方差公式，平方差公式，合并同类项运算法则化简，然后代值计算．
19．（1）4；（2）
【分析】
（1）根据矩形对角线的性质，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，即∠AOB=60°，则△ABO为等边三角形，即可求得对角线的长；
（2）首先根据勾股定理求出AD，再由矩形的对角线的性质得出OA=OD,且OE⊥AD，则AE=AD，在Rt△ABE中即可求得．
【详解】
解：（1）∵四边形是矩形
，


是等边三角形，
，
所以．
故答案为：4．
（2）在矩形中，．

由（1）得，．
又

在中，．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三角形中求锐角正切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键．
20．（1）平均数，小聪：8分；小明：8分；（2）平方分；（3）见解析（答案不唯一）
【分析】
（1）反映一组数据的平均水平，用平均数描述；利用平均数公式求解；
（2）利用方差公式求解；
（3）从平均数、方差 、平均数和方差综合三个方面进行分析来看．
【详解】
解：（1）平均数：
（分）
（分）；
（2）（平方分）
（3）答案不唯一，如：
①从平均数看，，∴两人的平均水平一样．
②从方差来看，，∴小聪的成绩比较稳定，小明的成绩波动较大．
③从平均数和方差来看，，，∴两人的平均水平一样，但小聪的成绩更稳定．
【点睛】
本题考查平均数和方差．平均数反映一组数据的平均水平．一组数据的方差越小，表明这组数据的波动越小，即这组数据越稳定．
21．（1）；（2）22米；（3）不会
【分析】
（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；
（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；
（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论．
【详解】
解：（1）由题意得，A点在图象上．
当时，

．
（2）由题意得，D点在图象上．
令，得．
解得：（不合题意，舍去）．


（3）当时，，
，
∴不会碰到水柱．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质．
22．（1）①60°；②；（2）
【分析】
(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求的长，先连接，先在中，求出；再在中，求出即可得到答案；
（2）要求的长，扇形的半径已知，就转化成求的度数，连接，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为，建立等式求出，最后利用弧长的计算公式进行计算．
【详解】
解：（1）①如图1，为圆的切线．
由题意可得，，．


，
②如图1，连结，交BP于点Q．则有．
在中，．
在中，，
．

（2）如图2．连结OD．设．
∵点D为的中点．



．

由题意可得，．


又

，，解得．

．
【点睛】
本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量．
23．（1）4；（2）①；②图见解析，性质如下（答案不唯一）：函数的图象是山两个外支组成的曲线；函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称；当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大；③2，3，4，6．
【分析】
（1）利用待定系数法解题；
（2）①设点A坐标为，继而解得点D的横坐标为，根据题意解题即可；②根据解析式在网格中描点，连线即可画出图象，根据图象的性质解题；③分两种种情况讨论，当过点的直线与x轴垂直时，或当过点的直线与x轴不垂直时，结合一元二次方程解题即可．
【详解】
解：（1）由题意得，，
点A的坐标是，所以；
（2）①设点A坐标为，所以点D的横坐标为，
所以这个“Z函数”表达式为；
②画出的图象如图：

性质如下（答案不唯一）；
（a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线
（b）函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称．
（c）当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大．
③第一种情况，当过点的直线与x轴垂直时，；
第二种情况，当过点的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为，
，即，
，
由题意得，
，

（a）当时，，解得；
（b）当时，，
解得，
当时，．解得；
当时，，解
所以x的值为．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象与性质、求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
24．（1）①见解析；②；（2）存在，，4，9，1
【分析】
（1）①等腰三角形等角对等边，则，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到，根据等角对等边，即可证明；
②添加辅助线，过点A作于点H，根据直线l的解析式和角的关系，分别求出线段AB、BC、OB、OC的长，则；
（2）分多钟情况进行讨论：①当点C在第二象限内，时；②当点C在第二象限内，时；③当点C在第四象限内，时．
【详解】
解：（1）①证明：如图1，
∵，∴．
∴，∴．
而，
∴．
∵，∴．
∴，
∴．

②如图1，过点A作于点H．由题意可知，
在中，．设，．
∵，∴，解得．
∴．
∵，
∴，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
：
∴．
（2）过点A作于点H，则有．
①如图2，当点C在第二象限内，时，设
∵，∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，整理得，解得．
∴．

②如图3，当点C在第二象限内，时，延长交于点G，
则，∴．
又∵，
∴，
而，
∴，
∴

③当点C在第四象限内，时，与相交于点E，则有．
(a)如图4，点B在第三象限内．

在中，，∴
∴，
又∵，
∴，
而
∴，
∴
∴，
∴，
∴
(b)如图5，点B在第一象限内．

在中
∴，∴．
又∵，
∴
而，∴
∴
∴，
∴，
∴
综上所述，的长为，4，9，1．
【点睛】
本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑．