高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时学案设计

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

(教师独具内容)

课程标准：1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．

教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用．

教学难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和(差)角公式的综合应用.

【知识导学】

知识点一　　　二倍角的正弦、余弦、正切公式

公式的适用条件：在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠＋(k∈Z)，且α≠kπ＋(k∈Z)．

知识点二　　　二倍角公式的变形形式

(1)(sinα±cosα)2＝1±sin2α；

(2)cos2α＝；

(3)sin2α＝.

【新知拓展】

1．“二倍”的含义

倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．

2．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：

(1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝.

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)

(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．(　　)

(3)对任意角α，总有tan2α＝.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×

2．做一做

(1)计算cos215°－sin215°结果等于(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)sin15°cos15°的值等于(　　)

A.  B.  C.  D.

(3)已知cosα＝，则cos2α等于(　　)

A.  B.  C．－  D.

(4)若tanα＝，则tan2α＝(　　)

A.  B.  C.  D．－

答案　(1)D　(2)B　(3)C　(4)A

题型一  给角求值问题

例1　求下列各式的值：

(1)sincos；(2)1－2sin2750°；

(3)；(4)cos20°cos40°cos80°.

[解]　(1)原式＝＝＝.

(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝.

(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°

＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－.

(4)原式＝

＝

＝

＝

＝.

金版点睛

正用、逆用二倍角公式求值

对于给角求值问题，需观察题中角度间的关系，发现其特征，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用二倍角公式求值．注意利用诱导公式和同角三角函数基本关系对已知式进行转化．

　求下列各式的值：

(1)coscos；(2)－cos2；

(3)tan－.

解　(1)原式＝＝

＝＝＝.

(2)原式＝＝－

＝－cos＝－.

(3)原式＝＝－2×

＝－2×＝＝－2.

题型二  给值求值问题

例2　已知cos＝，≤α<，求cos的值．

[解]　∵≤α<，∴≤α＋<.

∵cos>0，∴<α＋<.

∴sin＝－

＝－＝－.

∴cos2α＝sin＝2sincos

＝2××＝－，

sin2α＝－cos＝1－2cos2

＝1－2×2＝.

∴cos＝cos2α－sin2α＝×＝－.

[结论探究]　若本例条件不变，求的值．

解　∵≤α<，∴≤＋α<.

又cos＝>0，∴<＋α<，

∴sin＝－，

∴cos2α＝sin＝2sincos

＝2××＝－，

∴＝＝.

金版点睛

解决条件求值问题的方法

给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：

(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；

(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．

　已知x∈，sin＝－，求cos2x的值．

解　解法一：由已知条件得cosx－sinx＝－，将此式两边平方得2sinxcosx＝.

由此可得(cosx＋sinx)2＝.

因为x∈，所以sinx>0，cosx>0.

所以cosx＋sinx＝.

故cos2x＝cos2x－sin2x＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)

＝×＝－.

解法二：∵sin＝－，x∈，

∴－x∈，cos＝.

cos2x＝sin＝2sincos

＝2××＝－.

题型三  给值求角问题

例3　已知tanα＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

[解]　∵tanα＝>0，α∈(0，π)，∴α∈，2α∈(0，π)，

∴tan2α＝＝＝>0，

∴2α∈.

又∵tanβ＝－<0，β∈(0，π)，∴β∈，

∴tan(2α－β)＝＝＝1，

又∵2α∈，β∈，

∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－.

金版点睛

在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角.其中确定角的范围是关键的一步.

　已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．

解　∵tanα＝<1，且α为锐角，∴0<α<，

又∵sinβ＝<，且β为锐角，∴0<β<，

∴0<α＋2β<.

由sinβ＝，β为锐角，得cosβ＝，∴tanβ＝，

∴tan(α＋β)＝＝，

∴tan(α＋2β)＝＝＝1，

故α＋2β＝.

题型四  有关化简与证明问题

例4　(1)化简：－；

(2)证明：＝.

[解]　(1)原式＝

＝＝tan2θ.

(2)证明：左边分子为2cos22α＋2sin2αcos2α＝2cos2α·(cos2α＋sin2α)．

左边分母为2sin22α＋2sin2αcos2α＝2sin2α(sin2α＋cos2α)．

故两式相除，即＝.

金版点睛

证明的本质问题实际上就是化简

三角函数的化简与证明有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异，化繁为简，或用“两头凑”的方法．

　(1)化简＝________；

(2)求证：＝tanx.

答案　(1)　(2)见解析

解析　(1)

＝＝＝.

(2)证法一：左边＝

＝＝

＝＝tanx＝右边．

故原等式成立．

证法二：左边＝

＝

＝＝

＝＝tanx＝右边．

故原等式成立．

1．若tanα＝3，则的值等于(　　)

A．2  B．3  C．4  D．6

答案　D

解析　＝＝2tanα＝2×3＝6.

2．下列各式中，值为的是(　　)

A．2sin15°cos15°   B．cos215°－sin215°

C．2sin215°   D．sin215°＋cos215°

答案　B

解析　A项，2sin15°cos15°＝sin30°＝；B项，cos215°－sin215°＝cos30°＝；C项，2sin215°＝1－cos30°＝1－；D项，sin215°＋cos215°＝1.故选B.

3．cos4－sin4的值为(　　)

A．0  B.  C．1  D．－

答案　B

解析　cos4－sin4＝＝cos＝.

4．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．

答案　

解析　∵α∈，∴sinα>0，

又∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，

∴cosα＝－，∴sinα＝，tanα＝－，

∴tan2α＝＝＝.

5．已知cosα＝－，α∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值．

解　∵cosα＝－，α∈，

∴sinα＝－＝－，

∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，

cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，

tan2α＝＝.