(四川版)2021年中考数学模拟练习卷18（含答案）

这是一份(四川版)2021年中考数学模拟练习卷18（含答案），共29页。试卷主要包含了若＝x﹣5，则x的取值范围是，下列运算正确的是，如图，几何体的左视图是，关于x的方程，如图，AB∥CD，那么等内容，欢迎下载使用。

中考数学模拟练习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若＝x﹣5，则x的取值范围是（　　）
A．x＜5 B．x≤5 C．x≥5 D．x＞5
2．下列运算正确的是（　　）
A．3x+4y＝7xy B．（﹣a）3•a2＝a5
C．（x3y）5＝x8y5 D．m10÷m7＝m3
3．如图，几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（　　）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013
5．“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（　　）
A．《九章算术》 B．《几何原本》
C．《海岛算经》 D．《周髀算经》
6．某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：
成绩（分）
89
90
92
94
95
人数
4
6
8
5
7
对于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．平均数是92 B．中位数是92 C．众数是92 D．极差是6
7．将抛物线y＝x2先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则新的函数解析式为（　　）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+1）2﹣3
8．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤6 B．m＜6 C．m≤6且m≠2 D．m＜6且m≠2
9．如图，AB∥CD，那么（　　）

A．∠BAD与∠B互补 B．∠1＝∠2
C．∠BAD与∠D互补 D．∠BCD与∠D互补
10．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1，弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K4K5，弧K5K6，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为L1，L2，L3，L4，L5，L6，…．当AB＝1时，L2016等于（　　）

A． B． C． D．．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）若2x+y＝4，x﹣＝1，则4x2﹣y2＝　 　．
12．（4分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是　 　．

13．（4分）如图，平行四边形纸片ABCD中，AC＝，∠CAB＝30°，将平行四边形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕MN＝　 　．

14．（4分）把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为　 　．
三．解答题（共6小题，满分54分）
15．（12分）（1）计算：（）﹣1﹣（π﹣2018）0﹣4cos30°
（2）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
16．（6分）先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
17．（8分）如图，飞机沿水平线AC飞行，在A处测得正前方停泊在海面上某船只P的俯角∠CAP（从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角）为15°，飞行10km到达B处，在B处测得该船只的俯角∠CBP＝52°，求飞机飞行的高度（精确到1m）

18．（8分）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的沙县﹣﹣我最喜爱的沙县小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．

请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）在一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A，B，C，D．随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．请用列表或画树状图的方法，求出两次都摸到A的概率．
（3）近几年，沙县小吃产业发展良好，给沙县经济带来了发展.2011年底，小吃产业年营业额达50亿元，到了2013年底，小吃产业年营业额达60.5亿元．假设每年的小吃产业年营业额平均增长率不变，求这两年平均增长率是多少？（数据来源于网络）
19．（10分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．
（1）求n和b的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．

20．（10分）已知：如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连接AB．
（1）求证：AB2＝AE•AD；
（2）过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F，若AE＝2，ED＝4，求EF的长．

四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
21．（4分）春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为　 　．

22．（4分）当x＝5.4，y＝2.4时，代数式x2﹣2xy+y2的值是　 　．
23．（4分）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．则线段EF的最小值为　 　．

24．（4分）如图，把矩形ABCD绕着点A逆时针旋转90°可以得到矩形AEFG，则图中三角形AFC是　 　三角形．

25．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴与x轴交于点（﹣1，0），图象上有三个点分别为（2，y1），（﹣3，y2），（0，y3），则y1、y2、y3的大小关系是　 　（用“＞”“＜”或“＝”连接）．

五．解答题（共3小题，满分30分）
26．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？
27．（10分）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．
（1）若AB＝6，AE＝4，BD＝2，则CF＝　 　；
（2）求证：△EBD∽△DCF．
【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B＝α，则△AEF与△ABC的周长之比为　 　（用含α的表达式表示）．

28．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若＝x﹣5，则x的取值范围是（　　）
A．x＜5 B．x≤5 C．x≥5 D．x＞5
【分析】因为＝﹣a（a≤0），由此性质求得答案即可．
【解答】解：∵＝x﹣5，
∴5﹣x≤0
∴x≥5．
故选：C．
【点评】此题考查二次根式的运算方法：＝a（a≥0），＝﹣a（a≤0）．
2．下列运算正确的是（　　）
A．3x+4y＝7xy B．（﹣a）3•a2＝a5
C．（x3y）5＝x8y5 D．m10÷m7＝m3
【分析】根据同类项的定义、幂的运算法则逐一计算即可判断．
【解答】解：A、3x、4y不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、（﹣a）3•a2＝﹣a5，此选项错误；
C、（x3y）5＝x15y5，此选项错误；
D、m10÷m7＝m3，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同类项的定义、幂的运算法则．
3．如图，几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从几何体左面看得到的平面图形即可．
【解答】解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．
4．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（　　）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（　　）
A．《九章算术》 B．《几何原本》
C．《海岛算经》 D．《周髀算经》
【分析】根据数学常识逐一判别即可得．
【解答】解：A、《九章算术》是中国古代数学专著，作者已不可考，它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的；
B、《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；
C、《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年所撰；
D、《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著作；
故选：B．
【点评】本题主要考查数学常识，解题的关键是了解我国古代在数学领域的成就．
6．某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：
成绩（分）
89
90
92
94
95
人数
4
6
8
5
7
对于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．平均数是92 B．中位数是92 C．众数是92 D．极差是6
【分析】根据平均数、中位数、众数及极差的定义逐一计算即可判断．
【解答】解：A、平均数为＝，符合题意；
B、中位数是＝92，不符合题意；
C、众数为92，不符合题意；
D、极差为95﹣89＝6，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了极差、众数、平均数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．
7．将抛物线y＝x2先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则新的函数解析式为（　　）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+1）2﹣3
【分析】由平移的规律即可求得答案．
【解答】解：
将抛物线y＝x2向下平移3个单位，则函数解析式变为y＝x2﹣3，
将y＝x2﹣3向左平移1个单位，则函数解析式变为y＝（x+1）2﹣3，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
8．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤6 B．m＜6 C．m≤6且m≠2 D．m＜6且m≠2
【分析】当m﹣2＝0，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，列不等式即可得到结论．
【解答】解：当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，
当m﹣2≠0时，
∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4（m﹣2）•1≥0，
解得：m≤6，
∴m的取值范围是m≤6且m≠2，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据根的判别式和已知得出不等式是解此题的关键．
9．如图，AB∥CD，那么（　　）

A．∠BAD与∠B互补 B．∠1＝∠2
C．∠BAD与∠D互补 D．∠BCD与∠D互补
【分析】根据两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD与∠D互补，即C选项符合题意；
当AD∥BC时，∠BAD与∠B互补，∠1＝∠2，∠BCD与∠D互补，
故选项A、B、D都不合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
10．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1，弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K4K5，弧K5K6，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为L1，L2，L3，L4，L5，L6，…．当AB＝1时，L2016等于（　　）

A． B． C． D．．
【分析】用弧长公式，分别计算出l1，l2，l3，…的长，寻找其中的规律，确定l2016的长．
【解答】解：根据题意得：l1＝＝，
l2＝＝，
l3＝＝＝π，
则L2016＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是弧长的计算，先用公式计算，找出规律，求出l2016的长．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）若2x+y＝4，x﹣＝1，则4x2﹣y2＝　8　．
【分析】利用平方差公式分解因式，进而把已知代入求出答案．
【解答】解：∵x﹣＝1，
∴2x﹣y＝2，
则4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）
＝4×2
＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12．（4分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是　　．

【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：如图，
∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，
∴使图中黑色部诶的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
13．（4分）如图，平行四边形纸片ABCD中，AC＝，∠CAB＝30°，将平行四边形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕MN＝　2　．

【分析】根据翻折变换，可知△ONC≌△AOM，且是Rt△，在△ONC中解得NO．
【解答】解：根据翻折变换，可知△ONC≌△AOM，且是Rt△，
∵AC＝，∠CAB＝30°，
∴在Rt△ONC，
解得ON＝1，
∴MN＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
14．（4分）把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为　y＝﹣x　．
【分析】直接利用一次函数图象平移规律进而得出答案．
【解答】解：把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）﹣1＝﹣x．
故答案为：y＝﹣x．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
三．解答题（共6小题，满分54分）
15．（12分）（1）计算：（）﹣1﹣（π﹣2018）0﹣4cos30°
（2）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）直接利用零指数幂、负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】（1）解：（）﹣1﹣（π﹣2018）0﹣4cos30°
＝﹣2+2﹣1﹣4×
＝﹣3；
（2）
解不等式①得：x≤4
解不等式②得：x≤2；
∴不等式组的解集为：2≤x≤4
不等式组的解集在数轴上表示：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（6分）先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
17．（8分）如图，飞机沿水平线AC飞行，在A处测得正前方停泊在海面上某船只P的俯角∠CAP（从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角）为15°，飞行10km到达B处，在B处测得该船只的俯角∠CBP＝52°，求飞机飞行的高度（精确到1m）

【分析】分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出AC与BC，根据AC﹣BC＝AB求出PC的长即可．
【解答】解：在Rt△ACP中，tan∠PAC＝，即AC＝，
在Rt△BCP中，tan∠CBP＝，即BC＝，
由AB＝AC﹣BC，得到﹣＝10000，
解得：PC＝≈3388，
则飞机飞行的高度为3388m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
18．（8分）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的沙县﹣﹣我最喜爱的沙县小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．

请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）在一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A，B，C，D．随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．请用列表或画树状图的方法，求出两次都摸到A的概率．
（3）近几年，沙县小吃产业发展良好，给沙县经济带来了发展.2011年底，小吃产业年营业额达50亿元，到了2013年底，小吃产业年营业额达60.5亿元．假设每年的小吃产业年营业额平均增长率不变，求这两年平均增长率是多少？（数据来源于网络）
【分析】（1）总人数以及条形统计图求出喜欢“花椒饼”的人数，补全条形统计图即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好两次都摸到“A”的情况数，即可求出所求的概率；
（3）设小吃产业年营业额平均增长率为x，根据等量关系为：2011年的利润×（1+增长率）2＝2013年的利润，把相关数值代入即可列出方程．
【解答】解：（1）喜欢花椒饼的人数为50﹣14﹣21﹣5＝10（人），
补全条形统计图如下：

（2）列表如下：

A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A”的情况有1种，
则P＝．
（3）设小吃产业年营业额平均增长率为x，由题意可得：
50×（1+x）2＝60.5，
解得：x＝10%，
答：这两年平均增长率是10%．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝；还考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
19．（10分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．
（1）求n和b的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．

【分析】（1）把点A坐标分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，求出k、b的值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，即可得出答案；
（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，
得k＝1×4，1+b＝4，
解得k＝4，b＝3，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝＝﹣1；

（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，
∵当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5；

（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
20．（10分）已知：如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连接AB．
（1）求证：AB2＝AE•AD；
（2）过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F，若AE＝2，ED＝4，求EF的长．

【分析】（1）点A是劣弧BC的中点，即可得∠ABC＝∠ADB，又由∠BAD＝∠EAB，即可证得△ABE∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2＝AE•AD；
（2）由（1）求得AB的长，又由BD为⊙O的直径，即可得∠A＝90°，由DF是⊙O的切线，可得∠BDF＝90°，在Rt△ABD中，求得tan∠ADB的值，即可求得∠ADB的度数，即可证得△DEF是等边三角形，则问题得解．
【解答】解：（1）证明：∵点A是劣弧BC的中点，
∴∠ABC＝∠ADB．（1分）
又∵∠BAD＝∠EAB，
∴△ABE∽△ADB．（2分）
∴．
∴AB2＝AE•AD．

（2）解：∵AE＝2，ED＝4，
∵△ABE∽△ADB，
∴，
∴AB2＝AE•AD，
∴AB2＝AE•AD＝AE（AE+ED）＝2×6＝12．
∴AB＝2（舍负）．（4分）
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A＝90°．
又∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥BD．
∴∠BDF＝90°．
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，
∴∠ADB＝30°．
∴∠ABC＝∠ADB＝30°．
∴∠DEF＝∠AEB＝60°，∠EDF＝∠BDF﹣∠ADB＝90°﹣30°＝60°．
∴∠F＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝60°．
∴△DEF是等边三角形．
∴EF＝DE＝4．（5分）
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
21．（4分）春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为　23.4　．

【分析】由折线统计图得出这五天游客数量从小到大排列为结果，再根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：将这5天的人数从小到大排列为21.9、22.4、23.4、24.9、25.4，
所以这五天游客数量的中位数为23.4，
故答案为：23.4．
【点评】本题主要考查折线统计图与中位数，解题的关键是根据折线统计图得出数据，并熟练掌握中位数的概念．
22．（4分）当x＝5.4，y＝2.4时，代数式x2﹣2xy+y2的值是　9　．
【分析】把代数式分解因式，然后把数值代入，计算得出答案即可．
【解答】解：x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
当x＝5.4，y＝2.4时，原式＝（5.4﹣2.4）2＝9，
故答案为9．
【点评】此题考查因式分解和代数式的求值，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
23．（4分）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．则线段EF的最小值为　4　．

【分析】根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．
【解答】解：连接CD，当CD⊥AB时，CD取得最小值，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AB＝8，∠CBA＝30°，
∴AC＝4，BC＝＝＝4．
∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，
∴CD＝BC＝2．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为2．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∵∠EFD+∠CED＝90°，∠CDF+∠CDE＝90°，
∴∠F＝∠CDF，
∴CE＝CD＝CF，
∴EF＝2CD．
∴线段EF的最小值为4，
故答案为4

【点评】本题考查了圆的综合题、轴对称的性质，垂线段最短，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是求出CD的最小值，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
24．（4分）如图，把矩形ABCD绕着点A逆时针旋转90°可以得到矩形AEFG，则图中三角形AFC是　等腰直角　三角形．

【分析】根据旋转的性质知：两矩形是完全相同的矩形可知AC＝AF，∠BAC+∠GAF＝90°，则易证△ACF是等腰直角三角形．
【解答】解：在矩形ABCD中，根据勾股定理知AC＝，
在矩形AEFG中，根据勾股定理知AF＝．
∵根据旋转的性质知，矩形ABCD和AEFG是两个大小完全相同的矩形，∠CAF＝90°，
∴AB＝AE＝GF，BC＝AD＝AG，
∴AC＝AF，
∴△ACF是等腰直角三角形，
故填：等腰直角．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及矩形的性质．注意，旋转前后的图形全等．
25．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴与x轴交于点（﹣1，0），图象上有三个点分别为（2，y1），（﹣3，y2），（0，y3），则y1、y2、y3的大小关系是　y3＜y2＜y1　（用“＞”“＜”或“＝”连接）．

【分析】先确定抛物线对称轴为直线x＝﹣1，然后二次函数的性质，通过比较三个点到直线x＝﹣1的距离的大小得到y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：∵抛物线的对称轴与x轴交于点（﹣1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点（2，y1）到直线x＝﹣1的距离最大，点（0，y3）到直线x＝﹣1的距离最小，
∴y3＜y2＜y1．
故答案为y3＜y2＜y1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．运用二次函数的性质是解决本题的关键．
五．解答题（共3小题，满分30分）
26．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？
【分析】（1）根据利润＝销售价﹣进价列关系式；
（2）总利润＝每个的利润×销售量，销售量为400﹣10x，列方程求解，根据题意取舍；
（3）利用函数的性质求最值．
【解答】解：由题意得：
（1）50+x﹣40＝x+10（元）
（2）设每个定价增加x元．
列出方程为：（x+10）（400﹣10x）＝6000
解得：x1＝10 x2＝20
要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个．
（3）设每个定价增加x元，获得利润为y元．
y＝（x+10）（400﹣10x）＝﹣10x2+300x+4000＝﹣10（x﹣15）2+6250
当x＝15时，y有最大值为6250．
所以每个定价为65元时得最大利润，可获得的最大利润是6250元．（4分）
【点评】应用题中求最值需先求函数表达式，再运用函数性质求解．此题的关键在列式表示销售价格和销售量．
27．（10分）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．
（1）若AB＝6，AE＝4，BD＝2，则CF＝　4　；
（2）求证：△EBD∽△DCF．
【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B＝α，则△AEF与△ABC的周长之比为　1﹣cosα　（用含α的表达式表示）．

【分析】（1）先求出BE的长度后发现BE＝BD的，又∠B＝60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE＝60°，另外∠DEF＝60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF＝CD＝BC﹣BD；
（2）证明△EBD∽△DCF，这个模型可称为“一线三等角•相似模型”，根据“AA”判定相似；
【思考】由角平分可联系到角平分线的性质“角平分线上点到角两边的距离相等”，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM＝DG＝DN，从而证明△BDM≌△CDN可得BD＝CD；
【探索】由已知不能求得C△ABC＝AB+BC+AC＝2AB+2OB＝2（m+mcosα），则需要用m和α是三角函数表示出C△AEF，C△AEF＝AE+EF+AF＝AG+AH＝2AG；题中直接已知点O是BC的中点，应用（2）题的方法和结论，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，可得EG＝ED，FH＝DF，则C△AEF＝AE+EF+AF＝AG+AH＝2AG，而AG＝AB﹣BO，从而可求得．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠B＝∠C＝60°．
∵AE＝4，
∴BE＝2，
则BE＝BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BED＝60°，
又∵∠EDF＝60°，
∴∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠B＝60°，
则∠CDF＝∠C＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CF＝CD＝BC＝BD＝6﹣2＝4．
故答案是：4；

（2）证明：如图①，∵∠EDF＝60°，∠B＝60°，
∴∠CDF+BDE＝120°，∠BED+∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠CDF．
又∠B＝∠C＝60°，
∴△EBD∽△DCF；

【思考】存在，如图②，过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别是M、G、N，
∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE．
∴DM＝DG＝DN．
又∠B＝∠C＝60°，∠BMD＝∠CND＝90°，
∴△BDM≌△CDN，
∴BD＝CD，即点D是BC的中点，
∴＝；


【探索】如图③，连接AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别是G、D、H．
则∠BGO＝∠CHO＝90°，
∵AB＝AC，O是BC的中点，
∴∠B＝∠C，OB＝OC，
∴△OBG≌△OCH，
∴OG＝OH，GB＝CH，∠BOG＝∠COH＝90°﹣α，
则∠GOH＝180°﹣（∠BOG+∠COH）＝2α，
∴∠EOF＝∠B＝α
由（2）题可猜想应用EF＝ED+DF＝GE+FH（可通过半角旋转证明），
则C△AEF＝AE+EF+AF＝AE+EG+FH+AF＝AG+AH＝2AG，
设AB＝m，则OB＝mcosα，GB＝mcos2α．
＝＝＝＝1﹣cosα．
故答案是：1﹣cosα．



【点评】本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了角平分线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，综合性较强，难度较大，需要学生具备对所学几何知识的综合应用能力．
28．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；

（3）存在．
y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．
①若以CD为底边，则P1D＝P1C，
设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P1点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P1坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，
此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．

【点评】考查了二次函数综合题，此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．