人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时练习题

第二章　2.1　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．下列运用等式的性质，变形不正确的是(　D　)

A．若x＝y，则x＋5＝y＋5

B．若a＝b，则ac＝bc

C．若＝，则a＝b

D．若x＝y，则＝

[解析]　对于选项A，由等式的性质3知，若x＝y，则x＋5＝y＋5，正确；对于选项B，由等式的性质4知，若a＝b，则ac＝bc，正确；对于选项C，由等式的性质4知，若＝，则a＝b，正确；对于选项D，若x＝y，则＝的前提条件为a≠0，故此选项错误．

2．(2019·上海市黄浦区期中)已知0<a<1,0<b<1，记M＝a·b，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(　C　)

A．M<N　　　　　 B．M＝N

C．M>N D．不确定

[解析]　∵0<a<1,0<b<1，M＝a·b，N＝a＋b－1，∴M－N＝a·b－a－b＋1＝(a－1)(b－1)>0，∴M>N.

3．已知a＋b<0，且a>0，则(　A　)

A．a2<－ab<b2 B．b2<－ab<a2

C．a2<b2<－ab D．－ab<b2<a2

[解析]　方法一：令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2<－ab<b2，选A．

方法二：由a＋b<0，且a>0可得b<0，且a<－b.因为a2－(－ab)＝a(a＋b)<0，所以0<a2<－ab，又0<a<－b，所以0<－ab<(－b)2，所以0<a2<－ab<b2，选A．

4．已知a＋b>0，b<0，则a，b，－a，－b的大小关系是(　C　)

A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b

C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b

[解析]　因为a＋b>0，b<0，所以a>－b＝|b|>0，所以必有a>－b>b>－a.

5．若不等式a>b与>同时成立，则必有(　C　)

A．a>b>0 B．0>>

C．a>0>b D．>>0

[解析]　若a>b>0，则<，同理0>a>b时，<，所以只有当a>0>b时，满足>.

6．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是(　C　)

A．xy>yz B．xz>yz

C．xy>xz D．x|y|>z|y|

[解析]　因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由可得xy>xz.

二、填空题

7．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a这四个式子中，恒成立的不等式的序号是__②④__.

8．若－10<a<b<8，则|a|＋b的取值范围是__0<|a|＋b<18__.

[解析]　当a≥0时，有0≤a<8,0<b<8，故0<a＋b<16，即0<|a|＋b<16；当a<0时，－10<a<0，故0<－a<10，因为－10<b<8，所以－10<－a＋b<18，又a<b，所以0<－a＋b<18，即0<|a|＋b<18.综上，0<|a|＋b<18.

9．已知2b<a<－b，则的取值范围为__－1<<2__.

[解析]　∵2b<a<－b，∴2b<－b.∴b<0.

∴<<，即－1<<2.

三、解答题

10．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.

[证明]　∵a>b，c>0，∴ac>bc.∴－ac<－bc.

又e>f，即f<e，∴f－ac<e－bc.

11．已知a>b>0，c<d<0，比较与的大小．

[解析]　∵c<d<0，∴－c>－d>0.

又a>b>0，

∴a－c>b－d>0，

∴>>0，

又a>b>0，∴>.

B组·素养提升

一、选择题

1．若－1<α<β<1，则下列不等式恒成立的是(　A　)

A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1

C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1

[解析]　∵－1<β<1，

∴－1<－β<1，－2<α－β<2，

又∵α<β，

∴α－β<0，－2<α－β<0.

2．(多选题)设0<b<a<1，则下列不等式不成立的是(　ABD　)

A．ab<b2<1 B．<<1

C．1<< D．a2<ab<1

[解析]　取a＝，b＝验证可得A，B，D不正确．

3．若p＝－，q＝－，其中a≥0，则p，q的大小关系是(　A　)

A．p<q B．p＝q

C．p>q D．由a的值决定

[解析]　由题意知p－q＝＋－(＋)，

∵(＋)2－(＋)2

＝2－2，

且(a＋3)(a＋6)－(a＋4)(a＋5)＝－2<0，a≥0，

∴2－2<0，

即(＋)2－(＋)2<0，

∴p－q＝＋－(＋)<0，故p<q.

4．(多选题)下列说法中正确的是(　AC　)

A．若a>b，则>

B．若－2<a<3,1<b<2，则－3<a－b<1

C．若a>b>0，m>0，则<

D．若a>b，c>d，则ac>bd

[解析]　对于A，∵c2＋1>0，∴>0，∵a>b，∴>，故A正确；对于B，因为1<b<2，所以－2<－b<－1，同向不等式相加得－4<a－b<2，故B中说法错误；对于C，因为a>b>0，所以<，又因为m>0，所以<，故C中说法正确；对于D，只有当a>b>0，c>d>0时，才有ac>bd，故D中说法错误，故选AC．

二、填空题

5．给出下列命题：

①若a<b，c<0，则<；

②若ac－3>bc－3，则a>b；

③若a>b且k∈N＋，则ak>bk；

④若c>a>b>0，则>.

其中正确命题的序号是__④__.

[解析]　①当ab<0时，<不成立，故①不正确；

②当c<0时，a<b，故②不正确；

③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③不正确；

④a>b>0⇒－a<－b<0⇒0<c－a<c－b，

两边同乘以，得0<<，

又a>b>0，∴>，故④正确．

6．用不等式表示如下图所示两个函数之间的关系为__x2＋1>__.

[解析]　函数y＝x2＋1的图象始终在函数y＝的图象的上方，也就是说y＝x2＋1的函数值总是大于y＝的函数值，故x2＋1>.

7．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.则将a，b，c，d按从小到大的顺序排列起来是__a<c<d<b__.

[解析]　由a－d＝c－b，a＋d<b＋c相加得a<c；

又b－d＝c－a>0，得b>d，

又d>c，故a<c<d<b.

三、解答题

8．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b.若a≠b，试判断哪辆车先到达B地．

[解析]　设A，B两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为t1，t2，则

t1＝，t2＝＋.

因为t1－t2＝－(＋)＝＝－<0，所以t1<t2，所以甲先到达B地．

9．已知函数f(x)＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．

[解析]　因为f(x)＝ax2－c，

所以即

解得

所以f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)．

又因为－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，

所以≤－f(1)≤，－≤f(2)≤，

所以－1≤f(2)－f(1)≤20，

即－1≤f(3)≤20.