2020-2021学年安徽省淮南市高一（下）5月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省淮南市高一（下）5月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 2i1+i=（ ）
A.1+iB. 1−i C.1−i2D.1+i2

2. 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则与AB→不相等的向量为( )

A.OC→B.FO→C.ED→D.FC→

3. 设向量a→=1,2，b→=m,1，且b→//a→+b→，则m=（ ）
A.−1B.−12C.12D.1

4. 以下命题正确的是（ ）
A.过空间三点有且仅有一个平面
B.平行于同一直线的两个平面互相平行
C.平行于同一直线的两条直线互相平行
D.分别在两个平行平面内的两条直线互相平行

5. 在△ABC中，若a=1，∠C=π6，b=3，则sinπ2+A=( )
A.−12B.−32C.12D.32

6. 已知向量a→，b→为非零向量，有以下四个命题：
甲：a→=2b→ ，乙：|a→|=|b→|，
丙：a→与b→的方向相反， 丁：a→//b→，
若以上关于向量a→，b→的判断的命题只有一个是错误的，则该命题是（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁

7. 已知向量a→，b→的夹角为60∘，|a→|=1，|b→|=2，则|2a→−b→|=（ ）
A.1B.2C.3D.4

8. 复数z=csθ+isinθθ∈R，则|z−2i|的最大值为（ ）
A.1B.2C.3D.4

9. 长，宽，高分别为6cm，8cm，10cm 的长方体水槽放置于水平桌面上，该水槽内装有高度为8cm 的水，若将一半径为3cm 的球放入该水槽中（假设球与水槽的底面相切），则该水槽溢出的水的体积约为(π≈3)．（ ）
A.16cm3B.12cm3C.10cm3D.2cm3

10. 已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离为2，则球O的内接正方体的棱长为（ ）
A.1B.233C.2D.83

11. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC， AB上的两点，且AE→=EB→，AD→=2DC→，BD与CE交于点O，则下列说法不正确的是( )
A.AB→⋅CE→=0B.OE→+OC→=0→
C.|OA→+OB→+OC→|=32D.ED→在BC→方向上的投影为1

12. 已知正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为BC，CD的中点，沿AC将三角形 DAC折起到D′AC的位置，则三棱锥A−CPQ体积的最大值（ ）
A.212B.216C.224D.248
二、填空题

若复数z=a2−11−i是纯虚数，则实数a=________．

目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学正西方向山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站顶端A的仰角为45∘，该同学向南走1502米后到达F处，此时测得基站顶端A的仰角为30∘，则山高BE=________米．


已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________.

如图，在平行四边形ABCD中， ∠ABC=π3，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足BP→=mBA→+23BC→，则m=________；若▱ABCD的面积为23，则|BP→|的最小值为________．

三、解答题

已知复数z的共轭复数为z¯，且满足1−2iz=4−3i．
(1)求z¯；

(2)若复数z+mi2m∈R在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．

已知向量AB→=2,−2，AC→=csα,sinα−2,α∈0,π．
(1)若|BC→|=7，求角α的值；

(2)判断三角形ABC可否为直角三角形，并说明理由．

如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=PA=2．

(1)求正四棱锥P−ABCD的体积；

(2)若C为三角形PAC的重心，在边BC上是否存在点E，使得GE//平面PAB，若存在，求BE:EC的值，若不存在，请说明理由；

从以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
①sinC=3sinA，②S△ABC=43，③csB+C=3cs2B.
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=4，a=4csC+3ccsB，________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

如图，在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为AB的中点，F为D1C的中点．

(1)证明：EF//平面ADD1A1；

(2)若M为侧面DD1C1C内一点，且AM//平面ECD1，求AM的最小值．

如图，四边形ABCD中，已知对角线AC=2，且满足∠D=60∘，BC2−AB2=AB⋅AC．

(1)求证：∠BAC=2∠ACB；

(2)若△ABC为锐角三角形，设四边形ABCD面积为S，求证：S<2+3．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省淮南市高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
【解答】
解：2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i．
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
相等向量与相反向量
【解析】
由向量相等的定义，模相等，方向相同即可求解.
【解答】
解：由题可知：OC→，FO→，ED→均与AB→方向相同，大小相等，
符合相等向量的条件；
而FC→与AB→的长度不相等，故不相等，符合题意.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
平行向量的性质
平面向量的坐标运算
【解析】
无
【解答】
解：a→+b→=(m+1,3)，
因为b→//a→+b→，
所以m+1m=31，
解得m=12．
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
利用空间中的线面平行关系判断即可.
【解答】
解：对于A，过不在同一直线上的三点有且仅有一个平面，所以A不正确；
对于B，平行于同一直线的两个平面互相平行或相交，所以B不正确；
对于C，满足直线平行的传递性，所以C正确；
对于D，分别在两个平行平面内的两条直线互相平行，
也可能是异面直线，所以D不正确；
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
诱导公式
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由余弦定理可得，c2=a2+b2−2abcsC=1+3−2×1×3csπ6=1，
得c=1，所以∠A=∠C=π6， sinπ2+A=csA=32.
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
进行简单的合情推理
向量的模
平行向量的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知，甲与乙肯定有一个不正确，
若甲正确，则丙不正确，乙丙丁可以同时正确，
故甲不正确．
故选A．
7.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知a→⋅b→=1，
所以|2a→−b→|=4a→2−4a→⋅b→+b→2=4=2．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
复数的模
复数代数形式的加减运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：已知z−2i=csθ+isinθ−2i=csθ+sinθ−2i，
所以|z−2i|=cs2θ+sinθ−22=5−4sinθ，
当sinθ=−1时， |z−2i|的最大值为3.
故选C．
9.
【答案】
B
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球的表面积和体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：该长方体的体积为6×8×10=480cm3，
放入的球的体积43πr3≈43×3×27=108cm3，
原先正方体内水的体积为6×8×8=384cm3，
正方体内剩余的水量为480−108=372cm3，
所以溢出的水量为384−372=12cm3，
故选B．
10.
【答案】
D
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设该球的半径为r，可得r2=22+23×32，
所以r=433，
设内接正方体的棱长为a，
所以3a2=2×4332，所以a=83，
故选D．
11.
【答案】
D
【考点】
向量的模
向量的加法及其几何意义
平面向量数量积
向量的投影
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知，E为AB中点，则CE⊥AB，
如图，以E为原点，EA，EC分别为x轴， y轴正方向建立平面直角坐标系．
所以E0,0，A1,0，B−1,0，C0,3，D13,233.
设O0,y，y∈0,3，
因为BO→=1,y，DO→=−13,y−233，
而BO→//DO→，
所以 y−232=−13y，
解得y=32，
所以O(0,32)，
所以O是CE的中点.
A选项， AB→⊥CE→，所以AB→⋅CE→=0，故A选项正确；
B选项，因为O是CE的中点，所以OE→+OC→=0→，故B选项正确；
C选项， OA→+OB→+OC→=2OE→+OC→=OE→，
所以|OA→+OB→+OC→|=|OE→|=32，故C选项正确；
D选项， ED→=13,233，BC→=1,3，
所以ED→在BC→方向上的投影为：
ED→⋅BC→|BC|=13+22=76，故D选项错误．
故选D．
12.
【答案】
D
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为三棱锥A−CPQ体积VA−CPQ=VQ−CAP，
且三角形CAP的面积为定值S△CAP=12×12×1×1=14，
所以当Q到平面CAP距离最大时，三棱锥A−CPQ的体积取得最大值，
所以当平面D′AC⊥平面ABC时，三棱锥A−CMN的体积最大，
可求得当平面D′AC⊥平面ABC时，Q到平面CAP的距离为24，
所以VA−CPQ=VQ−CAP=13×14×24=248.
故选D.
二、填空题
【答案】
1
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：z=a2−11−i=a2−1+i2=a−12−i2，
所以a−12=0，得a=1，
故答案为：1．
【答案】
101.5
【考点】
解三角形的实际应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设AD=ℎ，则CD=ℎ，FD=3ℎ，
所以在直角三角形CDF中，CD2+CF2=FD2，
所以得3ℎ2=15022+ℎ2，得ℎ=150，
所以山高等于150−50+1.5=101.5米．
故答案为：101.5．
【答案】
3π
【考点】
圆锥表面积的有关计算
弧长公式
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知，半圆的弧长为2π，
设该圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，得r=1，
所以该圆锥的表面积为2π+πr2=3π．
故答案为：3π．
【答案】
23,433
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
向量的加法及其几何意义
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：BP→=BA→+AP→=BA→+kAE→
=BA→+kDE→−DA→=1−12kBA→+kBC→，
所以1−12kBA→+kBC→=mBA→+23BC→，得到1−12k=m，k=23，
所以m=23，
平行四边形ABCD的面积为23，得到|BC→|⋅|BA→|⋅32=23，得到|BC→|⋅|BA→|=4，
所以|BP→|=49|BC→|2+49|BA→|2+89|BC→|⋅|BA→|
=234+|BC→|2+16|BC→|2≥433．
故答案为：23；433．
三、解答题
【答案】
解：(1)因为1−2iz=4−3i，
所以z=4−3i1−2i=4−3i1+2i1−2i1+2i=4+8i−3i+65=10+5i5=2+i，
所以z¯=2−i.
(2)z+mi2=2+i+mi2=2+1+mi2
=4−1+m2+41+mi ，
因为复数z+mi2在复平面内对应的点在第二象限，
所以4−1+m2<0，41+m>0,得m>1，
所以m的取值范围为1,+∞.
【考点】
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
复数的基本概念
复数的运算
复数的代数表示法及其几何意义
复数及其指数形式、三角形式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为1−2iz=4−3i，
所以z=4−3i1−2i=4−3i1+2i1−2i1+2i=4+8i−3i+65=10+5i5=2+i，
所以z¯=2−i.
(2)z+mi2=2+i+mi2=2+1+mi2
=4−1+m2+41+mi ，
因为复数z+mi2在复平面内对应的点在第二象限，
所以4−1+m2<0，41+m>0,得m>1，
所以m的取值范围为1,+∞.
【答案】
解：(1)已知AB→=2,−2，AC→=csα,sinα−2，
所以BC→=AC→−AB→=csα−2,sinα，
因为|BC→|=7，所以csα−22+sin2α=7，
得5−4csα=7，csα=−12，
又因为α∈0,π，所以α=2π3．
(2)若∠A为直角，则AB→⋅AC→=0，得2csα−2sinα−2=0，
即sinα−csα=2，sinα−π4=2，无解；
若∠B为直角，则AB→⋅BC→=0，得2csα−2−2sinα=0，
即csα−sinα=2，
sinα−π4=−2，无解；
若∠C为直角，则AC→⋅BC→=0，得csαcsα−2+sinαsinα−2=0，
即1−2csα+sinα=0，sinα+π4=24，
因为α∈0,π，α+π4∈π4,5π4， sinα+π4∈−22,1，
故必存在一个α值，使得三角形ABC为直角三角形．
【考点】
解三角形
向量的减法及其几何意义
向量的模
平面向量的坐标运算
平面向量数量积的运算
数量积的坐标表达式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)已知AB→=2,−2，AC→=csα,sinα−2，
所以BC→=AC→−AB→=csα−2,sinα，
因为|BC→|=7，所以csα−22+sin2α=7，
得5−4csα=7，csα=−12，
又因为α∈0,π，所以α=2π3．
(2)若∠A为直角，则AB→⋅AC→=0，得2csα−2sinα−2=0，
即sinα−csα=2，sinα−π4=2，无解；
若∠B为直角，则AB→⋅BC→=0，得2csα−2−2sinα=0，
即csα−sinα=2，
sinα−π4=−2，无解；
若∠C为直角，则AC→⋅BC→=0，得csαcsα−2+sinαsinα−2=0，
即1−2csα+sinα=0，sinα+π4=24，因为α∈0,π，α+π4∈π4,5π4， sinα+π4∈−22,1，故必存在一个α值，使得三角形ABC为直角三角形．
【答案】
解：(1)由AB=2，可得S四边形ABCD=4，
因为P−ABCD为正四棱锥，
所以PC=PA=2，
因为AC=22，所以PA2+PC2=AC2，
所以PA⊥PC，所以该正四棱锥的高为2，
所以正四棱锥P−ABCD的体积VP−ABCD=13S四边形ABCD×2=423.
(2)存在这样的点E，使得GE//平面PAB，
如图，连接CG并延长，交PA于点F，连接BF，
因为GE//平面PAB，所以GE//BF，
因为G为三角形PAC的重心，所以GF=12CG，
所以BE=12EC，所以BEEC=12．
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
直线与平面平行的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由AB=2，可得S四边形ABCD=4，
因为P−ABCD为正四棱锥，
所以PC=PA=2，
因为AC=22，所以PA2+PC2=AC2，
所以PA⊥PC，所以该正四棱锥的高为2，
所以正四棱锥P−ABCD的体积VP−ABCD=13S四边形ABCD×2=423.
(2)存在这样的点E，使得GE//平面PAB，
如图，连接CG并延长，交PA于点F，连接BF，
因为GE//平面PAB，所以GE//BF，
因为G为三角形PAC的重心，所以GF=12CG，
所以BE=12EC，所以BEEC=12．
【答案】
解：因为b=4 ，所以a=bcsC+3csinB，
由正弦定理得sinA=sinBcsC+3sinCsinB，
又因为A=π−B+C，
所以sinA=sinπ−B+C=sinB+C=sinBcsC+csBsinC，
所以sinBcsC+csBsinC=sinBcsC+3sinCsinB，
所以csBsinC=3sinCsinB，
又因为0得B=π6，
若选择①， sinC=3sinA，得c=3a，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
得16=a2+3a2−2a×3a×32，
得a=4，所以c=43；
若选择②，因为S△ABC=43，
所以12acsinB=43，得ac=163，
又由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
可得16=a2+c2−3ac=a2+c2−48，
得a2+c2=64，从而得c=4或c=43；
若选择③，因为csB+C=3cs2B，且A=π−B+C，
所以−csA=32 ，即csA=−32，
因为00这与三角形的内角和等于π相矛盾，所以这样的三角形不存在．
【考点】
正弦定理
余弦定理
解三角形
三角形的面积公式
两角和与差的正弦公式
诱导公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为b=4 ，所以a=bcsC+3csinB，
由正弦定理得sinA=sinBcsC+3sinCsinB，
又因为A=π−B+C，
所以sinA=sinπ−B+C=sinB+C=sinBcsC+csBsinC，
所以sinBcsC+csBsinC=sinBcsC+3sinCsinB，
所以csBsinC=3sinCsinB，
又因为0得B=π6，
若选择①， sinC=3sinA，得c=3a，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
得16=a2+3a2−2a×3a×32，
得a=4，所以c=43；
若选择②，因为S△ABC=43，
所以12acsinB=43，得ac=163，
又由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
可得16=a2+c2−3ac=a2+c2−48，
得a2+c2=64，从而得c=4或c=43；
若选择③，因为csB+C=3cs2B，且A=π−B+C，
所以−csA=32 ，即csA=−32，
因为00这与三角形的内角和等于π相矛盾，所以这样的三角形不存在．
【答案】
(1)证明：如图，取D1D的中点为G，连接GF，AG，
因为F为D1C的中点，G为D1D的中点，
所以GF//CD，且GF=12CD，
所以GF//AE，且GF=AE，
所以四边形AEFG为平行四边形，
所以EF//AG，
又因为EF⊄平面ADD1A1，AG⊂平面ADD1A1，
所以EF//平面ADD1A1.
(2)解：如图，取CD中点H，连接AH，GH，
由(1)知，EF//AG，
在正方形ABCD中，E为AB的中点，H为CD的中点，
所以AH//CE，
因为AG∩AM=A，所以平面AGH//平面ECD1，
所以点M必在线段GH上，
所以AM的最小值即为点A到线段GH的距离，
在三角形AGH中，AG=AH=5，GH=2，
所以点A到GH的距离d=5−222=322，
所以AM的最小值为322．
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面平行的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：如图，取D1D的中点为G，连接GF，AG，
因为F为D1C的中点，G为D1D的中点，
所以GF//CD，且GF=12CD，
所以GF//AE，且GF=AE，
所以四边形AEFG为平行四边形，
所以EF//AG，
又因为EF⊄平面ADD1A1，AG⊂平面ADD1A1，
所以EF//平面ADD1A1.
(2)解：如图，取CD中点H，连接AH，GH，
由(1)知，EF//AG，
在正方形ABCD中，E为AB的中点，H为CD的中点，
所以AH//CE，
因为AG∩AM=A，所以平面AGH//平面ECD1，
所以点M必在线段GH上，
所以AM的最小值即为点A到线段GH的距离，
在三角形AGH中，AG=AH=5，GH=2，
所以点A到GH的距离d=5−222=322，
所以AM的最小值为322．
【答案】
证明：(1)因为BC2−AB2=AB⋅AC，
在三角形ABC中，由余弦定理可得
BC2=AB2+AC2−2⋅AB ⋅AC ⋅cs ∠BAC，
所以AB2+AB⋅AC=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs ∠BAC，
即AB⋅AC=AC2−2AB ⋅AC ⋅cs ∠BA C，
即AB=AC−2AB ⋅cs∠BAC，
由正弦定理得sin ∠ACB=sin ∠ABC−2sin∠ACB cs ∠BAC，
又因为sin∠ABC=sin（∠ACB +∠BAC）
=sin ∠ACBcs ∠BAC+cs ∠ACBsin ∠BAC，
所以sin ∠ACB =sin ∠BACcs ∠ACB−sin ∠ACBcs ∠BAC
=sin（∠BAC −∠ACB）
因为∠BAC，∠ABC ∈0,π，
所以∠ACB=∠BAC−∠ACB，得∠BAC=2∠ACB.
(2)解：设∠BAC=2∠ACB=2α，
所以∠ABC=π−3α，所以sin∠ABC=sin3α，
在三角形ABC中， BCsin2α=ACsin3α，且AC=2，
所以AB=2sin2Csin3C，
设△ABC的面积为S1，
S1=12BC⋅ABsinα=2sin2αsinαsin2α+α=2sin2αsinαsin2αcsα+cs2αsinα
=2tan2αtanαtan2α+tanα=4tanα3−tan2α=43tanα−tanα，
因为△ABC为锐角三角形，所以2α∈(0,π2)，π−3α∈(0,π2)，α∈(0,π2)，
所以α∈π6,π4，得tanα∈33,1，
因为S1=43tanα−tanα为增函数， S1=43tanα−tanα<431−1=2，
设△ABC的面积为S2，因为AC=2，∠D=60∘，
所以由余弦定理得
AC2=AD2+CD2−2⋅AD⋅CD ⋅cs∠D，
得4=AD2+CD2−AD ⋅CD，
所以S2=12⋅AD⋅CD⋅sin∠D≤3，所以S=S1+S2<2+3．
【考点】
余弦定理
正弦定理
三角形的面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)因为BC2−AB2=AB⋅AC，
在三角形ABC中，由余弦定理可得
BC2=AB2+AC2−2⋅AB ⋅AC ⋅cs ∠BAC，
所以AB2+AB⋅AC=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs ∠BAC，
即AB⋅AC=AC2−2AB ⋅AC ⋅cs ∠BA C，
即AB=AC−2AB ⋅cs∠BAC，
由正弦定理得sin ∠ACB=sin ∠ABC−2sin∠ACB cs ∠BAC，
又因为sin∠ABC=sin（∠ACB +∠BAC）
=sin ∠ACBcs ∠BAC+cs ∠ACBsin ∠BAC，
所以sin ∠ACB =sin ∠BACcs ∠ACB−sin ∠ACBcs ∠BAC
=sin（∠BAC −∠ACB）
因为∠BAC，∠ABC ∈0,π，
所以∠ACB=∠BAC−∠ACB，得∠BAC=2∠ACB.
(2)解：设∠BAC=2∠ACB=2α，
所以∠ABC=π−3α，所以sin∠ABC=sin3α，
在三角形ABC中， BCsin2α=ACsin3α，且AC=2，
所以AB=2sin2Csin3C，
设△ABC的面积为S1，
S1=12BC⋅ABsinα=2sin2αsinαsin2α+α=2sin2αsinαsin2αcsα+cs2αsinα
=2tan2αtanαtan2α+tanα=4tanα3−tan2α=43tanα−tanα，
因为△ABC为锐角三角形，所以2α∈(0,π2)，π−3α∈(0,π2)，α∈(0,π2)，
所以α∈π6,π4，得tanα∈33,1，
因为S1=43tanα−tanα为增函数， S1=43tanα−tanα<431−1=2，
设△ABC的面积为S2，因为AC=2，∠D=60∘，
所以由余弦定理得
AC2=AD2+CD2−2⋅AD⋅CD ⋅cs∠D，
得4=AD2+CD2−AD ⋅CD，
所以S2=12⋅AD⋅CD⋅sin∠D≤3，所以S=S1+S2<2+3．