2022年陕西省榆林市高考数学二模试卷（文科）

2022年陕西省榆林市高考数学二模试卷（文科）

1. 复数的实部为

A.  B. 0 C. 1 D. 2

2. 定义集合且已知集合，，则

A.  B.
C.  D.

3. 若方程表示一个圆，则m的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4. 曲线在点处的切线方程为

A.  B.  C.  D.

5. 甲和乙约定周日早上在学校门口见面，当天先到者等未到者20分钟，超过20分钟对方未到就离开．当天早上，乙将在6点40分到7点50分之间任意时刻到达学校门口，甲于7点10分到达学校门口，则两人可以碰面的概率为

A.  B.  C.  D.

6. 某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：万元对年销售量单位：千件的影响．现收集了近5年的年宣传费单位：万元和年销售量单位：千件的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为，则下列结论错误的是

A. x，y之间呈正相关关系
B.
C. 该回归直线一定经过点
D. 当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件

A.  B.
C.  D.

8. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的实数x的取值共有

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个





 

9. 已知函数，现有下列四个命题：
   ①，，成等差数列；
   ②，，成等差数列；
   ③，，成等比数列；
   ④，，成等比数列．
   其中所有真命题的序号是

A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④

10. 已知，，则

A. 2 B. 4 C.  D.

11. 函数的部分图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在区间上的值域为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为

A.  B.  C.  D.

13. 已知为奇函数，当时，则______.
14. 在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，，则______.
15. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，则______.
16. 设P为椭圆和双曲线的一个公共点，且P在第一象限，F是M的左焦点，则M的离心率为______，______.
17. 一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口、鼻及下颌，用于普通医疗环境中阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩．按照我国医药行业标准，口罩对细菌的过滤效率达到及以上为合格，及以上为优等品．某部门为了检测一批口罩对细菌的过滤效率，随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率百分比按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．
    求图中m的值及这200个口罩中优等品的频率；
    为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从和两组中抽取21个口罩，已知过滤效率百分比低于的检测费为每个8元，不低于的检测费为每个12元，求这21个口罩的检测总费用．

18. 已知，数列满足，
    求的通项公式；
    设，求数列的前n项和
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在三棱柱中，点在底面ABC内的射影恰好是点
    若点D是AC的中点，且，证明：
    已知，，求的周长．
    
     

20. 已知函数
    当时，求的单调区间；
    若对恒成立，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知直线l：，M为平面内一动点，过M作l的垂线，垂足为N，且为坐标原点，动点M的轨迹记为
    证明为抛物线，并指出它的焦点坐标．
    已知，直线与交于A，B两点，直线PA，PB与的另一交点分别是C，D，证明：
    
    
    
    
    
    
     
22. 在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为，M为该曲线上一动点．
    当时，求M的直角坐标；
    若射线OM逆时针旋转后与该曲线交于点N，求面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知正数a，b，c，d满足，证明：
    ；
    
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：，
的实部为
故选：
根据已知条件，结合复数实部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了复数实部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：已知集合，，
又集合且，
则，
故选：
由集合的定义求解即可．
本题考查了集合的运算，属基础题．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：表示一个圆，
，解得，
故m的取值范围是
故选：
运用配方法，结合圆的标准方程的特征，即可求解．
本题主要考查圆的一般方程，考查配方法，属于基础题．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：因为，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
故所求切线方程为
故选：
求出导函数，求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
本题考查函数导数的应用，切线的斜率以及切线方程的求法，是中档题．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：由题意乙在6点50分至7点30分到达学校门口，两人可以碰面，
两人可以碰面的概率为
故选：
根据题意，利用几何概型的概率计算公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：由表中数据可得，，，
故回归直线一定经过点，
故，解得，故AB正确，C错误，
将代入，解得，
故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件，故D正确．
故选：
根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可依次求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：
故选：
由已知结合两角和的正弦公式进行化简即可求解．
本题主要考查了两角和的正弦公式的应用，属于基础题．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：由程序框图可知，该循环需循环2次输出结果，
则输出，令，解得或，
故输入的实数x的取值共有3个．
故选：
由程序框图可知，，解出x，即可求解．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：对于①，，，
故，，成等差数列，故是真命题；
对于②，，，
故，，成等差数列，故是真命题；
对于③，，
故，，不成等比数列，故是假命题；
对于④，，
故，，成等比数列，故是真命题；
故选：
由对数运算及等比数列与等差数列的性质依次判断即可．
本题考查了等比数列及等差数列性质应用及对数运算性质的应用，属于中档题．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：由题意，可得，
即，
又，，
代人可得，解得，
所以，
故选：
由，两边平方可得，再由向量展开代人求解即可．
本题考查了向量的线性运算和模的求法，是基础题．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：根据函数的部分图象，
可得，
结合五点法作图，，，故
再把点代入，可得，
，
现将的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
在区间上，，
，
故选：
由周期求出，由五点法作图求出的值，由特殊点坐标求出A，可得函数的解析式．再根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，由特殊点坐标求出函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：设圆锥底面圆的半径为Rcm，圆柱形冰块的底面圆半径为xcm，高为hcm，
由题意得，解得，
，，
设圆柱形冰块的体积为，
则，
设，则，
当时，，当时，，
在处取得极大值，也是最大值，

酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为
故选：
先求出圆锥的底面圆半径，设冰方法能为的底面圆半径为xcm，用x表达出冰块的体积，利用导函数求出冰块体积的最大值．
本题考查酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积的求法，考查圆锥、圆柱的性质、导数性质、函数极值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：根据题意，当时，
则，，
又由为奇函数，则，
故，
故答案为：
根据题意，由函数的解析式求出和的值，结合奇偶性求出的值，进而计算可得答案．
本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

14.【答案】2
 

【解析】解：底面ABCD，底面ABCD，
，
设，则，，，

故答案为：
推导出，令，即可求出PA，AC，再由锐角三角函数能求出结果．
本题考查空间角的正切值的求法，空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：因为，
所以由正弦定理可得，可得，
因为，
所以，
解得
故答案为：
由已知利用正弦定理可得，进而根据余弦定理即可求解的值．
本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 
 

【解析】解：M的离心率；
设M的右焦点为，因为，且M与N的焦点都在x轴上，
所以椭圆M与双曲线N的焦点相同，
所以，
解得，
故答案为：
根据椭圆方程直接求离心率即可，根据椭圆与双曲线的方程可得其共焦点，再根据椭圆和双曲线的定义即可得出答案．
本题考查了椭圆与双曲线的简单几何性质，属于基础题．
 

17.【答案】解：由图可知，，
这200个口罩中优等品的频率为；
因为，所以从中抽取个，从中抽取个，
故这21个口罩的检测总费用为元．
 

【解析】由频率分布直方图求出第4组的频率，由此能求出m，从而可估计这200个口罩中优等品的频率．
先利用分层抽样，求出后两组中所抽取的人数，然后由过滤效率百分比低于的检测费为每个8元，不低于的检测费为每个12元求解即可．.
本题考查频率分布直方图的应用，考查分层抽样，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图、列举法的合理运用．
 

18.【答案】解：因为，
所以，
以上各式相加得，，
又，所以，
当时，，满足上式，
故的通项公式为
由知，，
所以，
故
 

【解析】根据配方法，累加法，结合题目已知等式，可得解，注意检验的情形；
采用裂项求和法，即可得解．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握累加法与裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：点在底面ABC内的射影是点C，
平面ABC，
平面ABC，
在中，，，
，平面，
平面，

解：方法一延长BC至点E，使，
连接，则，四边形为平行四边形，
则
由知平面ABC，平面ABC，
，，
，，，
，，
的周长为
方法二在中，，
，则，
，
，
由余弦定理得，
的周长为
 

【解析】推导出平面ABC，，从而平面，由此能证明
法一：延长BC至点E，使，连接，推导出四边形为平行四边形，从而平面ABC，，，由此能求出的周长．
法二：在中，，，则，由余弦定理求出，由此能求出的周长．
本题考查线线垂直的证明，考查三角形周长的求法，空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：的定义域为，……分
当时，……分
当时，，则的单调递减区间为，……分
当时，，则的单调递增区间为……分
由对恒成立，得对恒成立．……分
设，则当时，；当时，……分
所以，……分
则，……分
解得，
故a的取值范围是……分
 

【解析】当时，求得，进而可求得的单调区间；
对恒成立对恒成立，构造函数，求导分析，可求得其最小值为2e，再解不等式即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题
 

21.【答案】证明：设，则，，，
因为，所以，
则的方程为，
故为抛物线，且焦点坐标为；
证明：设，，，，
联立，得，
则，，，
直线PA的方程为，
联立，得，
由韦达定理得为，
所以，同理可得，
则，
得，所以
 

【解析】设，利用得到方程，整理后得到答案；
将直线与抛物线联立，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，进而表达出直线PA与直线PB，联立抛物线方程后得到C，D点的纵坐标，求出直线CD的斜率为1，与直线斜率相等，从而证明出
本题考查了动点的轨迹问题，直线与抛物线的综合，属于难题．
 

22.【答案】解：因为，所以，，
因为，所以或，所以M的极坐标为或，
故M的直角坐标为或
设，则
因为，，
所以
令，
则
所以，
当时，有最大值，
此时，，
故的最大值为
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】证明：因为，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
又正数a，b，c，d满足，
所以；
因为正数a，b，c，d满足，
所以由柯西不等式，
可得，
当且仅当，时，等号成立，
故
 

【解析】由重要不等式和不等式的性质可得证明；
运用柯西不等式和不等式的性质可得证明．
本题考查不等式的证明，注意基本不等式和柯西不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．