广东省2022届高三上学期数学综合能力测试试卷（一）

这是一份广东省2022届高三上学期数学综合能力测试试卷（一），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三上学期数学综合能力测试试卷（一）一、单选题1.已知集合 ， ，则 （　　）            A.
B.
C.
D.2.复数 （i为虚数单位）的共轭复数 （　　）            A.
B.
C.
D.3.若抛物线 上的点 到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　）            A.
B.
C.
D.4.基本分裂数m，是一个衡量细菌分裂的参数，简单来说在1小时内1个细菌平均可以分裂成m个细菌．已知在某种细菌培养过程中，原有细菌26个，经过了3小时后细菌增至105个，那么 ，参考上述数据预计再经过（　　）小时细菌就会突破十万个．            A.12
B.15
C.18
D.215.已知 为三角形的内角，且 ，则 （　　）            A.
B.
C.
D.6.受全球新冠疫情影响，2020东京奥运会延期至2021年7月23日到8月8日举行，某射箭选手积极备战奥运，在临赛前的一次训练中共射了1组共72支箭，下表是命中环数的部分统计信息  环数<778910频数03ab22已知该次训练的平均环数为9.125环，据此水平，正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9环）的概率约为（　　）A.0.31
B.0.65
C.0.86
D.17.如图，直线 依次与曲线 、 及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段 的中点，则（　　）  A.
B.
C.
D.8.已知函数 （其中 且 ），若当 时，恒有 ，则a的取值范围是（　　）            A.
B.
C.
D.二、多选题9.2021年5月11日，国家统计局公布了第七次人口普查统计数据，全国总人口数为141178万全部七次人口普查的人口增长率、性别比及城镇化进程变化情况如下图：  根据以上信息，下列统计结论正确的是（　　）A.七次人口普查的人口增长率逐次减少
B.七次人口普查的性别比趋于稳定，重男轻女的传统观念有所转变
C.七次人口普查的城镇人口比重逐次提高
D.第七次人口普查城镇人口數与乡村人口数相差超过4亿10.已知函数 ，则（　　）            A.
B.是 上的减函数
C.的值域为
D.不等式 的解集为 11.已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）  A.函数 的图象关于点 对称
B.函数 的图象关于直线 对称
C.函数 在 单调递减
D.该图象向右平移 个单位可得 的图象12.下列不等式成立的是（　　）            A.
B.
C.
D.三、填空题13.已知 的展开式的二项式系数之和为16，则各项系数之和为       ． （用数字作答）    14.若椭圆的左顶点、上顶点以及右焦点构成直角三角形，则该椭圆的离心率为       ．    15.直三棱柱 的所有顶点都在球O的球面上， ， ， ， ，则球O的体积是       ．    16.定义在 上的函数 ，若 是奇函数，则       ；满足 的 的取值范围是       ．    四、解答题17.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．    （1）求 ；    （2）若 ，且 ，求 的面积．    18.已知各项均为正数的数列 满足 ， ．    （1）求 的通项公式；    （2）若 求数列 的前n项和．    19.如图，长方体 中， ， 在棱 上且 ，在平面 内过点 作直线 ，使得 ．  （1）在图中画出直线 并说明理由；    （2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．    20.研究表明，子女的平均身高 与父母的平均身高 有较强的线性相关性．某数学小组收集到8个家庭的相关数据，下面是小组制作的统计图散点图、回归直线及回归方程）与原始数据表（局部缺失）：  家庭编号12345678父母平均身高（ ）160.5165167170170.5173174180子女平均身高（ ）168170172.5187174.5176180*（1）表中8号家庭的子女平均身高数据缺失，试根据统计学知识找回该数据：    （2）由图中观察到4号家庭的数据点明显偏离回归直线l，试计算其残差（残差=观测值-预报值）  若剔除4号家庭数据点后，用余下的7个散点作线性回归分析，得到新的回归直线 ，判断并证明l与 的位置关系．附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， ．21.已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线方程为 ．    （1）求双曲线 的方程；    （2）记 的左、右顶点分别为 ，过 的直线 交 的右支于 两点，连结 交直线 于点 ，求证： 三点共线．    22.已知函数 ， ．    （1）确定a的所有值，使函数 是 上的增函数；    （2）若函数 在 和 处取得极小值 和 ，证明： ．   
答案解析部分一、单选题1.【答案】 D   【解析】【解答】因为 ，所以 ， 所以 ．故答案为：D 
【分析】先化简集合M，再根据交集的定义，即可得出答案。2.【答案】 D   【解析】【解答】依题意得 ，所以 ． 故答案为：D. 
【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出。3.【答案】 B   【解析】【解答】由题得抛物线的准线方程为 到准线的距离等于它到焦点的距离，则 ，所以 ，故抛物线方程为 ，故答案为：B． 
【分析】根据抛物线的定义即可求出p，进而得出抛物线的方程 。4.【答案】 B   【解析】【解答】由题意知 ，设再经过 小时细菌就会突破十万个，则 ， 即 ，得 ，因为 ， ，则再经过15小时细菌就会突破十万个．故答案为：B. 
【分析】 由 求出m，设再经过 小时细菌就会突破十万个，由此可得， 解不等式求n，由此可得答案。5.【答案】 A   【解析】【解答】
计算得 ，所以 ， ，
从而可计算的 ，
，
,A符合题意，BCD不符合题意.
故答案为：A.
【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tanA的值.6.【答案】 C   【解析】【解答】根据题意，
，化简得 ，解得 ，
训练中命中黄圈的频率为 ，以频率估计概率，故正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9环）的概率约为0.86．C符合题意，ABD不符合题意.
故答案为：C.
【分析】先根据题中的数据求解出参数a， b，再运用频率估计概念即可得出答案。7.【答案】 B   【解析】【解答】根据题意，A，B，C三点的坐标分别为
又 是线段 的中点，即 ，所以 ，
计算得： ，所以 ，故 ，
又由图知， ， ， ，所以
B符合题意，ACD不符合题意
故答案为：B.
【分析】 由题意利用对数函数的图象和性质，得出结论.8.【答案】 D   【解析】【解答】当 时， 在 上单调递增，此时 的值域为 ，不满足条件； 当 时， 在 上单调递减，此时 的值域为 ，因为 时， 满足 ；当 时， 时，满足 ；当 时， 在 上的增函数， 的值域为 ，由 ，得 ，解得： 综上，所求 的取值范围是 . D符合题意，ABC不符合题意.故答案为：D. 
【分析】 分 ， ， ， 四种情况，通过研究函数的单调性，确定函数的值域，求解不等式恒成立即可.二、多选题9.【答案】 B,C   【解析】【解答】由图1易知A不符合题意；由图2易知B符合题意；由图3易知C符合题意； 由图3及题干信息得城镇乡村人口差为 ，所以D不符合题意．故答案为：BC 
【分析】由图1易知A不符合题意；由图2易知B符合题意；由图3易知C符合题意；由图3及题干信息得城镇乡村人口差易知D不符合题意．10.【答案】 A,B,D   【解析】【解答】 ，A符合题意； 恒正且在 上递增，故 是 上的减函数，B符合题意；的值域是 ，故 的值域是 ，C不符合题意；注意到 ，故不等式 等价于 ，即 ，又 是 上的减函数，故 ，解得 ，D符合题意．故答案为：ABD 
【分析】 对于A,直接求值可判断A正确；对于B,由于增函数去倒数后为减函数，可知B正确；对于C,由于的值域是(1, +∞)，故， C错误；对于D,由于f(x)+ f(-x)= 1,可推导出等价不等式， 然后利用函数单调性求解.11.【答案】 A,B,D   【解析】【解答】由函数的图象可得 ，周期 ，所以 ， 当 时，函数取得最大值，即 ，所以 ，则 ，又 ，得 ，故函数 .对于A，当 时， ，即点 是函数 的一个对称中心，A符合题意；对于B，当 时， ，即直线 是函数 的一条对称轴，B符合题意；对于C，令 ，解得 ，则函数 的单调递减区间为 ，C不符合题意；对于D，将 的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，即D符合题意.故答案为：ABD. 
【分析】 根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质,逐次判断各选项即可得到结论.12.【答案】 A,C   【解析】【解答】A． 在 上递增，所以 ，A符合题意； B．因为 ，所以 ，又 ，故 ，B不符合题意；C． 因为 ，C符合题意；D． ， ， ，故 ，D不符合题意；故答案为：AC． 
【分析】 由指数函数单调性判断判断A；由指数函数,对数函数的单调性，结合sin1∈(0, 1)判断B；变形后平方判断C；由对数函数的单调性和对数的运算性质判断D.三、填空题13.【答案】 81   【解析】【解答】依题意得 ，即 ， 在 中令 可得各项系数和为 ．故答案为：81 
【分析】 利用二项展开式的二项式系数和为2n ,列出方程求出n，再令x = 1可得结论.14.【答案】 【解析】【解答】不妨设左顶点 ，上顶点 ，右焦点 ，由射影定理得 ，即 ， ，即 ，解得 或 （舍去）． 故答案为：  
【分析】根据椭圆的定义以及性质即可求出椭圆的离心率 。15.【答案】 【解析】【解答】把直三棱柱 补成长方体，则直三棱柱和长方体的外接球重合， 外接球的直径 ，故球 的体积 ．故答案为：  
【分析】把直三棱柱 补成长方体，则直三棱柱和长方体的外接球重合，求出外接球的直径，再根据球的体积公式即可求出。16.【答案】 ；【解析】【解答】令 ， 因为函数 为 上的奇函数，则 ，即 ，所以， ，解得 ，所以， ，则 ，所以，函数 在 上为增函数，又因为 ，由 可得 ，解得 .所以，不等式 的 的取值范围是 .故答案为： ； . 
【分析】 根据奇函数的性质以及函数的单调性进行转化求解即可.四、解答题17.【答案】 （1）因为 由正弦定理可得 ．又 ，所以 ，化简得 ，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ．
（2）因为 ，  由正弦定理可得 ，由余弦定理 可得 ，即 ，解得 ，所以 的面积 ．【解析】【分析】（1） 由正弦定理可得  ，即 ， 由  得A的大小；
（2） 由正弦定理可得 ， 由余弦定理可得   ，进而求出  的面积 。18.【答案】 （1）解：因为 ，所以 ，  又 ，所以 ，即 ，所以 是首项为2，公比为3的等比数列，所以 ，即 的通项公式为 ．
（2）由（1）知 ，所以 ，  令 ，①，②①-②得 所以 ，即数列 的前 项和为 ．【解析】【分析】（1）由 得 ，  的通项公式；
（2） 由（1）知    ， 得 ， 然后利用错位相减法即可求出数列  的前n项和．19.【答案】 （1）连接 ，则直线 即为所求的直线 ，理由如下：  连接 ，因为 ， 所以 ，故 ，又 ，所以 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，平面 ，故 ，所以直线 即为所求的直线 ；
（2）以 为原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，不妨设 ，则 ，  、 、 ， 、 ，， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ，令 ，得 ，设直线 与平面 所成角为 ， ，所以直线l与平面 所成角的正弦值为 ．【解析】【分析】 (1) 连接    ， 则直线  即为所求的直线 ，  连接 ， 推出 ,又  ，由线面垂直的判定定理可得  平面 ,从而证得 ；
(2)以D为原点，建立空间直角坐标系D - xyz如图所示，设AD = 3,求出 与平面ABE的法向量,由向量的夹角公式即可求解.20.【答案】 （1），  代入 ，，
（2）因为 ，所以 的预报值恰为 ，  故残差 两回归直线l与 平行理由如下：设回归直线 的斜率为 ，截距为 ，样本中心点为 ；回归直线 的斜率为 ，截距为 ，样本中心点为 ，因为 ，，因为 ，故 ，故两回归直线l与 平行.【解析】【分析】（1）根据中心点  ，在回归及线上可求， 再根据平均数的定义求y8; （2）先求x4的预报值，再根据残差的定义求残差， 设回归直线  的斜率为    ， 截距为    ， 样本中心点为  ；回归直线  的斜率为    ， 截距为    ， 样本中心点为  ，由已知数据分析 与， 与关系  ， 并根据所得结果判断直线与直线的位置关系。21.【答案】 （1）解:依题意可得 ， ，  解得 ， 故 的方程为 .
（2）易得 ， 显然，直线 的斜率不为0，设其方程为 ， ， 联立方程 ，消去 整理得 ，所以 ， ．直线 ，令 得 ，故 ， ，，（*）又 ，即 的值为0．所以 A、Q、N三点共线．﹒【解析】【分析】 (1)依题意可得，   ，  ， 求解a, b，即可得双曲线的方程；
(2)易得    ，  显然， 直线 的斜率不为0 ,设其方程为    ，     ，  ， 联立方程  消去x整理可得，  ，所以    ，  ， 再结合平行的坐标公式,即可求证.22.【答案】 （1），  因为 ，故 是 上的增函数等价于 恒成立，所以 ，即函数 是 上的增函数的 的值为-1.
（2），  依题意知 ， 是 的两个零点，且 ，， ， 解得 ，又 ，故 故原不等式 等价于 ，令 ，则 ，原不等式等价于 ，即 ．令 ， ，则 ，在区间 上递减，在区间 上递增，当 时 取最小值 ，故 综上所述， ．【解析】【分析】 (1)求出f' (x),将问题转化为 对x∈(0, +∞o)恒成立，即可得到a的值；
(2)求出g' (x),由题意可得     ，   是  的两个零点，且    ，  得到韦达定理，表示出g(x1) + g(x2),从而将问题转化为证明 ，令  ，则  ，
则转化为  ，构造函数     ，  ， 利用导数研究函数的性质，即可证明.