广东省2022届高三综合能力测试（三）数学试卷

这是一份广东省2022届高三综合能力测试（三）数学试卷，共15页。试卷主要包含了 已知双曲线C， 已知函数，且f等内容，欢迎下载使用。
保密★启用前广东省2022届高三综合能力测试（三）数学试题 2022年5月注意事项：1. 答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目．2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4. 请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（    ）A.        B.        C.        D.2. 设复数z满足，则（    ）A. 0        B.       C. 2        D.23. 已知直线与圆O：相交于A、B两点，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件            B. 必要不充分条件C. 充要条件                  D. 既不充分也不必要条件4. 古希腊数学家帕普斯提出著名的蜂窝猜想，认为蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表．他在《汇编》一书中对蜂房的结构作出精彩的描写“蜂房是由许许多多的正六棱柱组成，一个挨着一个，紧密地排列，没有一点空隙．蜜蜂凭着自己本能的智慧选择了正六边形，因为使用同样多的原材料，正六边形具有最大的面积，从而可贮藏更多的蜂蜜．”某兴趣小组以蜂窝为创意来源，制作了几个棱长均相等的正六棱柱模型，设该正六棱柱的体积为，其外接球的体积为，则＝（    ）A.        B.        C.        D.5. 已知双曲线C：，，分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线右支上一点连接交双曲线C左支于点N，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（    ）A.        B.        C. 2         D.6. 将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温、信息登记、维持秩序、现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（    ）A. 120种        B. 240种        C. 360种        D. 480种7. 已知函数，且f（x）在[0，]有且仅有3个零点，则的取值范围是（    ）A. [，）        B. [，）         C. [，）        D. [，）8. 在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，如：欧拉函数（n）（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1、2）；（与9互素有1、2、4、5、7、8）．记为数列的前n项和，则＝（    ）A.        B.        C.        D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分．有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 一部机器有甲乙丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下柱状图，由频率估计概率，在一个生产周期内，以下说法正确的是（    ）．A. 至少有一个零件发生故障的概率为0.8B. 有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大C. 乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大D. 已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大10. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（    ）A.                            B.为定值C.的取值范围是[－2，0]                     D. 当时，为定值11.已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（    ）A. 1        B. 2        C. 3        D. 412.在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（    ）A. 当平面时，可能垂直B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为C. 当时，的最小值为D. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为[，]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．13.在数列{}中，，，为{}的前n项和，则＝        ．14.已知，则        ．15.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，，为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得，写出椭圆C的一个标准方程        ．16.已知函数（）．（1），        ；（2）若m，n满足，则的最小值是        ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．（1）求角A的大小；（2）设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且，，求△ABC的面积．18.（12分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为矩形，，，顶点P在底面ABCD的正投影为AD的中点O．（1）求证：平面PAC⊥平面POB（2）若平面PAB与平面PCD的交线为l，，求l与平面PAC所成角的大小．19.（12分）已知数列{}的前n项和，，，．（1） 计算的值，求{}的通项公式；（2） 设，求数列{}的前n项和．20.（12分）学习强国APP从2021年起，开设了一个“四人赛”的答题模块，规则如下：用户进入“四人赛”后共需答题两局，每局开局时，系统会自动匹配3人与用户一起答题，每局答题结束时，根据答题情况四人分获第一、二、三、四名．首局中的第一名积3分，第二、三名均积2分，第四名积1分；第二局中的第一名积2分，其余名次均积1分，两局的得分之和为用户在“四人赛”中的总得分．假设用户在首局获得第一、二、三、四名的可能性相同；若首局获第一名，则第二局获第一名的概率为，若首局没获第一名，则第二局获第一名的概率为．（1）设用户首局的得分为X，求X的分布列；（2）求用户在“四人赛”中的总得分的期望值．21.（12分）已知椭圆E：的离心率为，且经过点（－1，）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设椭圆E的右顶点为A，点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，直线l：交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．22.（12分）设函数．（1）若，求曲线的斜率为1的切线方程；（2）若f（x）在区间（0，2）上有唯一零点，求实数a的取值范围．      2022年广东省综合能力测试（三）数学参考答案与评分标准1.【解析】B；由题知，，故．2.【解析】D；由题知，于是，所以．3.【解析】C；充分性：若，则，此时A（，1），B（－，1），；必要性：若，则圆心到直线的距离，则，解得．4.【解析】C；不妨设正六棱柱的棱长为a，则；其外接球的半径，于是，则．5.【解析】B；如图，设，则，，，，因为，所以，故，在中，由余弦定理可知，整理得，即，所以．6.【解析】B；7.【解析】D；因为，当时，，因为函数在上有且只有3个零点，由图象可知，解得．8.【解析】A；因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，LL，，共有，所以，则，于是①，②，由①－②得，则．于是．9.【解析】AD；由图可得，在一个生产周期内，机器正常的概率为，则至少有一个零件发生故障的概率为0.8，A正确；有两个零件发生故障的概率为，只有一个零件发生故障的概率为，则有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小，B错误；乙零件发生故障的概率为，甲零件发生故障的概率为，则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小，C错误；由图可知，丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率大，D正确．10.【解析】ABD；因为，在上的投影向量是相反向量，则，故A正确；如图，设直线PO与圆O交于E，F，则，故B正确；取AC的中点M，连接OM，则，而．故的取值范围是[－4，0]，故C错误；当时，，故D正确．11.【解析】CD；设，则f（x）在R上单调递增，因为，则，设，则，即，所以，设，，则g（x）在（0，1）单调递减，在（1，＋∞）单调递增，，即，所以，即，故的取值可以是3和4.12.【解析】ABD；A选项：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，0，1），C（1，1，0），（0，0，1），（1，1，1），（0，1，1），所以，，易知平面的一个法向量为，若//平面，则，即，则当时，，即P为中点时，有//平面，且，故A正确；B选项：若与平面所成角为，则点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，故B正确；C选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理可知，故C错误；D选项：正方体经过点、P、C的截面为平行四边形，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），（0，0，1），P（0，1，t），所以，，，，，所以点P到直线的距离为＝，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为；当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故D正确．13.【解析】40；由题知，则．于是数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，则．14.【解析】；原式15.【解析】（答案不唯一）；因为，所以，则．又因为，所以，即．根据题意可设C：，则，由，得，解得．16.【解析】（1）2；（2）；（1）（2），，等价于，即，故，其中，．所以，等号成立当且仅当，即，时成立，故取最小值．17.【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由余弦定理得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）AD是△ABC的角平分线，， 由可得因为，，即有，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.【解析】（1）证明：在Rt△ABC中，，在Rt△AOB中，，则，于是，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为PO⊥平面ABCD，则；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又，所以AC⊥平面POB，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分而AC平面PAC，所以PAC⊥平面POB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）因为，AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB//平面PCD，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又平面PAB平面，AB平面PCD，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分则l与平面PAC所成角的正弦值等于AB与平面PAC所成角的正弦值．．．．．．．．．．．．．．．．．8分以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，，），B（2，0，0），C（2，2，0），所以，，．．．．．．．．．．．．．．9分设平面PAC的一个法向量为，则，即，即，令，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分设l与平面PAC所成角为，则，．．．．．．．11分又因为，所以l与平面PAC所成角为．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.【解析】（1）当时，，解得．．．．．．．．．．．．1分由题知．．①  ．．．②．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由②－①得，因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分于是：数列{}的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列；．．．．．．．．．．．．．．．．．4分偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分所以{}的通项公式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分当n为偶数时，；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分当n为奇数时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分综上，数列{}的前n项和．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.【解析】（1）X的所有可能取值为3，2，1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．1分其分布列为X321P．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）方法一：设总得分为Y，则Y的取值为5，4，3，2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分则有Y5432P．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分化简得Y的分布列为Y5432P．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分方法二：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分设第二局得分为Y，则Y的取值为2，1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分则有Y21P．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分化简得Y的分布列为Y21P．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分四人赛总分期望为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.【解析】（1）依题意： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分解得：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分故椭圆C的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2） 设B（，），C（，），因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，设直线BC方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分与椭圆方程联立得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分，可得，由韦达定理可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分直线BA的方程为，令得点M纵坐标．．．．．．．．．．．．．．．9分同理可得，点N纵坐标当O、A、M、N四点共圆，由割线定理可得，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分由，故，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【解析】（1），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分令，则，故是R上的增函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为，所以方程有唯一解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分又，则切点（0，0），即斜率为1的切线方程是．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2），令则，故是R上的增函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又，，故存在唯一实数，使．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在区间（－∞，）上，，f（x）递减，在区间（，＋∞）上，，f（x）递增，故是f（x）的唯一极值点，且为极小值点． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分又，故f（x）在区间（0，2）上有唯一零点等价于且，．．．．．．．．．．．．10分故，解得，所以实数a的取值范．为（2，2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分