山东省菏泽市2022届高三数学二模试卷

这是一份山东省菏泽市2022届高三数学二模试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学二模试卷
一、单选题
1.已知集合 ，则 （   ）
A. {0}                                  B. {1}                                  C. {0，1}                                  D. {-1，0，1}
2.若复数 ，则 =（   ）
A. 0                                           B. 2                                           C. 4                                           D. 6
3.如图，洛书（古称龟书）是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（   ）

A. 30                                         B. 40                                         C. 42                                         D. 44
4.下列说法错误的是（   ）
A. 用相关指数 来刻画回归效果， 越小说明拟合效果越好
B. 已知随机变量 ，若 ，则
C. 某人每次投篮的命中率为 ，现投篮5次，设投中次数为随机变量 ．则
D. 对于独立性检验，随机变量 的观测值 值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大
5.已知函数 的图像向右平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若 ，则 的最小值为（   ）
A.                                          B.                                          C. π                                         D. 2π
6.已知直线l与圆x2+y2=8相切，与抛物线y2=4x相交于A，B两点， （O为坐标原点）直线l方程为（   ）
A. x+y-4=0或x-y+4=0                                           B. x-y-4=0或x+y-4=0
C. x+2y+4=0或x-2y-4=0                                       D. x-2y+4=0或x+2y+4=0
7.已知正整数n≥7，若 的展开式中不含x5的项，则n的值为（   ）
A. 7                                           B. 8                                           C. 9                                           D. 10
8.已知 、 、 ，且 、 、 ，下列不等式正确的是（   ）
A.                            B.                            C.                            D. 
二、多选题
9.已知平面向量 ， ， ，若 ， 是夹角为 的两个单位向量， ， ，则下列结论正确的有（   ）
A.                           B.                           C.                           D. 
10.已知a>b>0，a+b=1．则下列结论正确的有（   ）
A. 的最大值为           B. 的最小值为           C. a+sinb<1          D. b+lna>0
11.已知 ， 为双曲线C：x2– =1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P，使得PF1⊥PF2 ， 直线PF2与y轴交于点Q，连接QF1 ， △PQF1 ， 的内切圆圆心为I，则下列结论正确的有（   ）
A. F1 ， F2 ， P，I四点共圆                                    B. △PQF1的内切圆半径为1
C. I为线段OQ的三等分点                                        D. PF1与其中一条渐近线垂直
12.已知函数 ，则下列结论正确的有（   ）
A. 函数 是周期函数                                         B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 在 上先减后增                           D. 函数 既有最大值又有最小值
三、填空题
13.写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数      
①当 时， ；② 为偶函数
14.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，若侧面BCC1B1（含边界）内动点P满足BP=2PC，则线段DP长度的最大值为       ．
15.已知正项数列 的前n项和为 ，且 ，则不超过 的最大整数是       ．
16.某射击运动员每次击中目标的概率为 ，现连续射击两次．
（1）.已知第一次击中，则第二次击中的概率是       ；
（2）.在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是       ．
四、解答题
17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，_________．
① ；② ；③ ．
从以上三个条件中选择一个条件补充在题干中，完成下列问题．
（1）.求B；
（2）.求△ABC的面积．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
18.已知正项数列 的首项 ，前 项和为 ，且满足
（1）.求数列 的通项公式：
（2）.设 数列 前 和为 ，求使得 成立的 的最大值．
19.如图①所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，∠B=90°且AD∥BC，若AD=2BC=2，AB= ，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图②的几何体．

图①                                图②
（1）.若点M是ED的中点，求证：CM∥平面ABE；
（2）.若EC=2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角E-AD-F的大小为60°？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．
20.“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2021年到2025年．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额 （单位：亿元）对年盈利额 （单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额 和年盈利额 数据进行分析，建立了两个函数模型：
； ，其中 ， ， ， 均为常数， 为自然对数的底数
令 ，经计算得如下数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，问：
附：①相关系数r＝
回归直线 中： ，
参考数据： ， ．
（1）.请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？
（2）.根据（1）的选择及表中数据，建立， 关于 的回归方程（系数精确到0.01）
（3）.若希望2021年盈利额y为500亿元，请预测2021年的研发资金投入额 为多少亿元？（结果精确到0.01）
21.已知椭圆C： 上的点到焦点的最大距离为3，最小距离为1
（1）.求椭圆C的方程；
（2）.过椭圆C右焦点F2 ， 作直线l与椭圆交于A，B两点（A，B不为长轴顶点），过点A，B分别作直线x=4的垂线，垂足依次为E，F，且直线AF，BE相交于点G．
①证明：G为定点；
②求△ABG面积的最大值．
22.已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1（a，b R），e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）.设g(x)=f′(x)，若g(x)是（0，2）上的单调函数，求a的取值范围；
（2）.若f（2）=0，函数f(x)在（0，2）上有零点，求a的取值范围．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】由集合 ，解得 或 ，
所以 ，
故答案为：C．

【分析】求解一元二次不等式化简集合A，再由补集运算可得答案。
2.【答案】 B
【解析】【解答】由题意可得： ，则 ，所以 ．
故答案为：B．

【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则以及复数模的公式，即可求出答案。
3.【答案】 B
【解析】【解答】根据题意，4个阴数即4个偶数：2、4、6、8；5个阳数即1、3、5、7、9，
从中任选3个，使选出的三个数的和为奇数，共有两种可能：
①选出的3个数都是奇数，有 种选法；
②选出的3个数有2个偶数、1个奇数，共有 种选法.
综上所述，一共有 种选法．
故答案为：B.

【分析】 根据题意，分2种情况讨论:①选出的3个数都是奇数，②选出的3个数是2个偶数和1个奇数，由加法原理计算可得答案.
4.【答案】 A
【解析】【解答】对于A选项，相关指数越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好，A错误，符合题意；
对于B选项，正态分布图像关于 对称，因为 概率为0.1，所以 概率为0.1，故 的概率为0.9，B正确，不符合题意；
对于C选项，服从二项分布 ，因此 ，则 ，C正确，不符合题意；
对于D选项，对于分类变量进行独立性检验时，随机变量 的观测值越小，则分类变量间越有关系的可信度越小，故判定两分类变量约有关系发错误的概率越大，D正确，不符合题意．
故答案为：A

【分析】 直接利用线性相关系数和回归效果的关系，独立性检测的关系式和观测值之间的关系，二项分布和正态分布的应用判断A、B、C、D的结论.
5.【答案】 B
【解析】【解答】因为 的图像向右平移 个单位得 ，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半得到 ，
因为 ，所以 或 ，因为 与 都是波峰或波谷的横坐标，所以 ，
故答案为：B．

【分析】 利用三角恒等变换化简f (x) 的解析式，再利用函数y=Asin (x+) 的图象变换规律，可得，根据正弦函数的图象和性质，得出答案.
6.【答案】 B
【解析】【解答】若直线 斜率不存在，由题知，此时 ，
，不合题意，故斜率必存在；
设 ，
由圆与直线相切可知，圆心 到直线 的距离
所以 ①，
由 消去 得： ，
所以 ，

由题 ，可得 ②
由①②可得： ， ，则直线为 或 .
故答案为：B

【分析】 当直线 斜率不存在，可推出， 不符合题意，舍去，设 ， ， 由于圆与直线相切，可推出， 联立直线与抛物线方程可得， 再结合韦达定理和数量积公式，即可求解.
7.【答案】 D
【解析】【解答】 的二项展开式中第k+1项为
又因为 的展开式不含 的项
所以

即
所以 ，
故答案为：D.

【分析】 由题意，可知的展开式中的含x4的项和含x6的项的系数和为0，由此求得n的值.
8.【答案】 C
【解析】【解答】 即 ， 即 ， 即 ，
设 ，则 ， ， ，
，
当 时， ， 是减函数，
当 时， ， 是增函数，
因为 、 、 ，所以 、 、
因为 ，所以 ， ，
故答案为：C.

【分析】 根据题意，由对数的运算性质可得:， ， ， 设,求出f(x)的导数，分析其单调性，作出f (x)的草图，结合f (x)的单调性分析可得答案.
二、多选题
9.【答案】 A,C
【解析】【解答】因为 是夹角为 的两个单位向量，所以 ，
①
设 ，则 ， ，
设 ，将 代入①得，
即
因此向量 的坐标满足圆 ，而圆上的点到原点的最大距离为 ，A符合题意；
由①知，

当 时等号成立，C符合题意.
故答案为：AC．

【分析】设 ，则 ， ， ， 设 ，将 代入①得， ， 可求出在该平面上的轨迹，逐个分析各个选项，可得答案。
10.【答案】 B,C
【解析】【解答】解：因为 ， ，所以 ， ，
对于A： ，当 ，即 时，有最大值 ，而 ，取不到最值，A不符合题意
对于B： ，当且仅当 ，即当 时取等号，所以B符合题意
对于C：因为 ，所以 ，所以 ，设 ， ，则 ，
所以 在 上递减，所以 ，所以 ，C符合题意，
对于D：设 ， ， ，
所以 在 为增函数，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以D不符合题意，
故答案为：BC

【分析】 由a> b>0, a+b= 1可得 ， ， 所以， 从而结合二次函数的单调性即可判断选项A；直接利用基本不等式即可判断选项B ;由于 ，设 ， ， 结合h (b)的单调性即可判断选项C；令， ， 结合g (a)的单调性即可判断选项D.
11.【答案】 A,B,D
【解析】【解答】解：由勾股定理及双曲线的定义可得： ，
对于A：易知 在 轴上，由对称性可得 ，
则 ，可知 ， ， ， 四点共于以 为直径的圆上；A符合题意
对于B：
，正确
对于C： ，
故 为 中点，C不符合题意．D显然正确．
 
故答案为：ABD

【分析】 A,由对称性可得 ， 即可判定A选项；
B,， 即可判定B选项；
由 ，  可得即可判定C,D选项。
12.【答案】 B,C,D
【解析】【解答】对于A： 是周期函数，但是 不是周期函数，根据周期函数的定义不存在非零常数 使得 ，所以 不是周期函数；故答案为：项A不正确；
对于B： ，
，
所以有 ，函数 的图象关于直线 对称，故答案为：项B符合题意；
对于C：
，
令


当 时， ， ， ，
所以 ，
可得 在 上单调递增，
因为 ， ，所以存在 使得 ，
所以当 时， 则 ；当 时， 则 ；
所以 在 单调递减，在 单调递增，即在在 上先减后增，故答案为：项C符合题意；
对于D：令 ，当且仅当 即 时，分母取得最小值为 ，当 时，分子 恰好取得最大值，所以当 时， 取得最大值，函数 关于 对称，所以只研究 的情况即可，
由C知：当 时， ，此时 ，结合C知： 在 单调递减，在 单调递增，所以 在 处取得极小值，
又在 ， ，…上 ，且在 上分母 最小， 最大，当 趋近于无穷大时， 无线趋近于 ，
所以 在 上的极小值即为 的最小值，故答案为：项D符合题意．

故答案为：BCD.

【分析】 直接利用函数的性质，函数的导数和单调性的关系，函数的导数和极值的关系的应用判断A、B、C、D的结论.
三、填空题
13.【答案】 （ ， ）（答案不唯一）
【解析】【解答】若满足①对任意的 有 成立，
则对应的函数为指数函数 的形式；
若满足② 为偶函数，只需要将 加绝对值即可，
所以满足①②两个条件的函数可以是： （ ， ）.
故答案为： （ ， ）（答案不唯一）

【分析】根据题意，结合指数函数和函数图像的变换规律，分析可得答案。
14.【答案】
【解析】【解答】在面 内，以 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，设
则有 ，
又 在面 内，所以 ，大致如图1

则 ，又 ，故只需 最大即可．
，
当 时， ， ．

故答案为：

【分析】在面 内，以 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，设 ， 由已知求出点P的轨迹方程，求出CP的最大值，即可求解线段DP长度的最大值。
15.【答案】 88
【解析】【解答】解： ， 时， ， ，解得 ．
时， ，代入可得： ，
化为： ，
可得数列 为等差数列，首项为1，公差为1，
，
解得 ．
， 时，右边成立）
即 ，
所以 ，
∴
所以 ，
所以不超过 的最大整数是88.
故答案为：88

【分析】 n≥2时，， ， 为： ， 利用等差数列的通项公式可得， 通过缩小可得， 即可得出， 同理可得， 即可得出结论.
16.【答案】 （1）
（2）
【解析】【解答】设第一次击中为事件 ，则 ，
 
第二次击中为事件 ，则 ，
（1）由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，因此已知第一次击中，则第二次击中的概率 ，（2）仅击中一次的概率为
在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是 ,
故答案为： ； .
【分析】 (1)第一次击中与否对第二次没有影响，由此能求出已知第一次击中，则第二次击中的概率；(2)仅击中一次的概率为， 利用条件概率计算公式能求出在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率.
四、解答题
17.【答案】 （1）解：∵ ，由正弦定理得： ，又 ，
联立解之得 ， ．
选条件① ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以
选条件②，由 可得 ，因为 ，所以
选条件③，因为 ，所以由余弦定理 ，因为 ，所以

（2）解：由（1） ，由正弦定理 ，所以
（i）当 时， ，此时 的面积
（ii）当 时， ，此时 的面积
综上， 的面积为 或 ．
【解析】【分析】 由正弦定理整理条件可得 ,再结合  ， 可解出b, c，
(1 )若选①:整理条件可得   ， 即有 ,即可求出B ；若选②:整理条件可得 ， 即可求出B ；若选③:利用余弦定理可得 ， 即可求出B ;
(2)由正弦定理及B, b, c的值可求得  或  分两种情况，利用三角形面积公式可求得面积.
18.【答案】 （1）解：由 ①
得 ②
②-①得 ，
因为 ，所以
由此可知 …， …是公差为2的等差数列，
其通项公式为 ；
故 时，

（2）解：方法①：
由（1）可知

要使 ，即 ，
由 可知数列 为递增数列，
由 知数列 为递减数列，
因为
所以当 时， ，
当 时，
故满足条件的 的最大值为4．
方法②：
由（1）可知

要使 ，有 ，即 ；
令 ， ，
由 ， ，可知当 时 是增函数，当 时 是减函数
由 ， ，可知 时 ， 时 ，
所以当 时 ，当 且 时 ，
所以 时 ，故满足条件的 的最大值为4．
【解析】【分析】 (1)由  得  ，相减利用等差数列的通项公式即可得出；
(2)由(1) 可知 ， 可得Tn，再利用数列的单调性即可得出结论.
19.【答案】 （1）证明：取 的中点为 ，连接 ， ，∵ 是 的中点， ，

∴ 是 的中位线，
∴ 且 ，
所以 为平行四边形，∴ ，
因为 面 ， 面 ，所以 平面 ．

（2）解：取 的中点为 ，连接 ， ，其中 ， ，
由 可得 ，显然 面 ，
故以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴；
如图建立空间直角坐标系，

则 ， ， ， ，
设存在点 ，
， ， ，
易知面 的法向量可取 ，
另外 ， ，
设面 的一个法向量为 ，则
，
可取一个法向量为 ，
则 ， 为 的中点．
故存在 点为 的中点．
【解析】【分析】 (1) 取  的中点为   ， 连接   ，    ，证得   ,结合线面平行的判定定理即可证出结论;
(2)证出   面   ， 以  为坐标原点，分别以   ，    ，   所在的直线为  轴，  轴，  轴，建立空间直角坐标系，假没存在点F,然后利用空间向量的夹角公式建立方程，解方程即可判断.
20.【答案】 （1）解：为了判断两个函数模型： ； ，拟合程度，只需要判断两个函数模型 ， 拟合程度即可．
设 和 的相关系数为 ， 和 的相关系数为 ，
由题意
，
，
显然 ，因此从相关系数的角度，模型 的拟合程度更好．

（2）解：先建立 关于 的线性回归方程，由 得， ，即 ，
，
，
所以 关于 的线性回归方程为 ，即 ，
所求回归方程为： ，

（3）解：若2021年盈利额为500亿元，即为 ，
， ，
解得： ，
所以2021年的研发资金投入量约为30.74亿元．
【解析】【分析】 (1)通过换元，模型①写出   ,模型②两边取对数，写出,根据参考数据，求两个方程的相关系数，再比较大小；
(2)由(1)可选择   ,化为   ,求出和t,再换回x, y,求回归方程；
(3) 根据回归方程，令y= 500，求x值.
21.【答案】 （1）解：设椭圆的半焦距为 ，由题意得 ，解得 ， ，
所以椭圆的方程为 ．

（2）解：①由（1）知 ，
当直线 斜率不存在时， 方程为 ，
可得 ， ；可得 ， ，
即有 ， 相交于点 ；
当直线 斜率存在且不为零时，设 ， ，则 ， ，
方程为 ，联立 可得 ，
化简得 ，
由韦达定理得 ， ，
而直线 ， 相交时，
联立作差可得 ，
且 ，
则代入 ， ，
化简得

即 ， 相交于点 ，
综上可证 为定点 ．
②直线 斜率不存在时，可知 ；
而当斜率不为零时，由（i）可得


．
故 面积的最大值为 ．
【解析】【分析】 (1)设椭圆的半焦距为c,由题意列出关于a, c的方程，求解a和c的值，由a, b, c的关系求出b，即可得到答案；
(2)①先求解直线l的斜率不存在时，直线   ，   相交于点 ；再求解直线 的斜率存在且不为零时，设直线 的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，表示出直线AF与BE的方程，联立两方程，作差分析，可得直线AF与BE相交于点， 即可证明结论；
②先求出直线的斜率不存在，△ABG的面积，再求解当直线斜率存在且不为零时，表示出△ABG的面积，利用放缩法求解其取值范围，由此可得△ABG的面积的最大值.
22.【答案】 （1）解： ，∴ ，
∵ 在 上单调，
∴ 或 在 上恒成立，即 或 在 上恒成立，
∴ 或 ．

（2）解：∵ 在 上有零点，∴ ，使 ，
又 ， ，∴ 在 ， 上不单调，
∴ 在 上至少有两个零点，
由（1）知，当 或 时， 单调，不可能有两个零点，
∴ ，
由 得 ，由 得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递减，
∴ 在 上有两个零点 ， ，且 、 ，
又 ，即 ，带入上式整理得：
，
令 ， ，
，由 得 ，由 得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ．
∴不等式组的解为： ．
∴ 的取值范围是 ．
【解析】【分析】 (1) ,求导得   ,由于g (x)在(0,2)上单调，推出  或 ，即可得出 a的取值范围；
(2)由f (x)在(0,2)上有零点，得    ， 使   ， 又    ，  ,推出f (x)在   ，   上不单调 ， 则g(x)= f' (x)在(0, 2)上至少有两个零点，进而可得  的取值范围 。