2023年山东省菏泽市高考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省菏泽市高考数学二模试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知全集，集合，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.  设，为实数，，若，则复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  “”是“直线：与直线：平行”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4.  已知一个装满水的圆台容器的上底面半径为，下底面半径为，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入铁球的表面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且为等腰三角形，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有人．(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知定义在上的函数的导函数为，满足，，且，当时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  在某次数学竞赛活动中，学生得分在之间，满分分，随机调查了位学生的成绩，得到样本数据的频率分布直方图，则(    )

A. 图中的值为
B. 参赛学生分数位于区间的概率约为
C. 样本数据的分位数约为
D. 参赛学生的平均分数约为

10.  在棱长为的正方体中，是侧面上的一个动点不包含四个顶点，则下列说法中正确的是(    )

A. 三角形的面积无最大值、无最小值
B. 存在点，满足平面
C. 存在点，满足
D. 与所成角的正切值范围为

11.  画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆，分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，，分别与椭圆相切于，两点，为坐标原点，下列说法正确的是(    )

A. 椭圆的蒙日圆方程为
B. 记点到直线的距离为，则的最小值为
C. 一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为
D. 的面积的最小值为，最大值为

12.  已知，分别是函数和的零点，则(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，若向量与垂直，则向量与的夹角余弦值是______ ．

14.  若，则 ______ ．

15.  已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得成立，则的取值范围是______ ．

16.  设数列是以为首项，为公比的等比数列，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列则 ______ ；令，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
记的内角，，的对边分别是，，，已知的外接圆半径，且．
求和的值；
求边上高的最大值．

18.  本小题分
已知各项为正数的等比数列满足．
求数列的通项公式；
设，，求数列的前项和．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为中点．
求证：面；
点在棱上，设，若二面角余弦值为，求．

20.  本小题分
某公司年末给职工发奖金，采用趣味抽奖的方式，在一个纸箱里放个小球：其中个红球、个黄球和个绿球，每个职工不放回地从中拿次，每次拿个球，每拿到一个红球得奖金千元，每拿到一个黄球得奖金元，每拿到一个绿球得奖金元．
求已知某职工在三次中只有一次抽到黄球的条件下，至多有次抽到红球的概率；
设拿到红球的次数为，求的分布列并计算拿到的三个球中，红球个数比黄球个数多的概率．

21.  本小题分
设抛物线：的焦点为，点，过的直线交于，两点当直线垂直于轴时，．
求的方程；
若点在第一象限且，求；
动直线与抛物线交于不同的两点，，是抛物线上异于，的一点，记，的斜率分别为，，为非零的常数．
从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：点坐标为；；直线经过点注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分

22.  本小题分
已知函数．
求在处的切线方程；
求的单调区间；
当时，恒成立，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，而全集，
所以．
故选：．
解一元二次不等式化简集合，再利用补集的定义求解作答．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：变形得到，
故，，解得，故，
所以，复数的虚部为．
故选：．
利用复数乘除法运算法则得到，得到复数的虚部．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：直线：与直线：平行，
，，
当时，直线：与直线：重合，舍去，
当时，直线：与直线：平行，
是直线与直线平行的充要条件．
故选：．
先由直线平行求出相应的值，然后根据充要条件的定义即可判断．
本题主要考查了直线平行的条件的应用，充分必要条件的判断，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：依题意，铁球的表面积最大时，该球与圆台上底面和侧面相切，显然铁球球心在圆台的轴线上，
过圆台的轴作平面截面圆台得等腰梯形，截球得球的大圆，圆与，，都相切，如图，

令的中点为，过点的圆的直径另一端点为，过作圆的切线交，分别于，，
则，即圆是等腰梯形的内切圆，过，作的垂线，垂足分别为，，
令圆切于，于是，，，令圆的半径为，，
显然，又，则有，而，
因此，又，即，
中，，于是，解得，
可放入铁球的表面积的最大值．
故选：．
确定表面积最大时铁球的特性，作出圆台及球的轴截面，借助圆的切线性质及直角三角形求出球半径作答．
本题主要考查球的表面积的求法，圆台的结构特征，考查运算求解能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：直线与圆切于点，则，
又为等腰三角形，
，
又为的中点，为中点，
，
又，且，，
由题意得双曲线焦距为，在中，，即，
，即，
双曲线的离心率．
故选：．
根据给定条件，确定，结合圆的切线性质及双曲线定义列式计算，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设被调查的男性为人，则女性为人，依据题意可得列联表如下表：

，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
所以有，即，
解得，又因为上述列联表中的所有数字均为整数，
故的最小值为．
故选：．
根据题意，设出男生人数，从而计算出列联表，再算出比较即可．
本题主要考查独立性检验，考查运算求解能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意，函数，，
因为在区间上单调递增，由，则，
于是且，解得且，即，
当时，，因为在区间上只取得一次最大值，
因此，解得，
所以的取值范围是．
故选：．
利用辅助角公式变形函数，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，则，
则函数在上单调递增；
因，
则．
选项，，故A错误；
选项，注意到，则
，故B错误；
选项，，故C错误；
选项，，故D正确．
故选：．
设，由时，可得在上单调递增，由，可得选项，比较与大小即可判断选项正误；选项，比较与大小即可判断选项正误；选项，比较与大小即可判断选项正误；选项，比较与大小即可判断选项正误．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，本题关键为通过题目条件构造出函数，并得到其单调性与对称性，若难以想到，可以通过选项形式得到提示．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，由，解得，A正确；
对于，分数位于区间的频率为，估计概率为，B错误；
对于，由选项B知，样本数据的分位数，由，
解得，C正确；
对于，由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为，，，，，，
平均分数，D错误．
故选：．
利用各小矩形面积和为求出判断；求出分数位于区间的频率判断；求出百分位数判断；估计学生的平均分数判断作答．
本题主要考查频率分布直方图，考查运算求解能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：是侧面上的一个动点不包含四个顶点，可知到的距离没有最大值，有最小值，
所以三角形的面积无最大值、有最小值，所以不正确；
平面平面，所以在上时，满足平面，所以B正确；
以为直接的球，与平面有交点，交点就是，存在点，
满足，所以C正确；
与所成角的正切值的最小值为：，最大值为：，
与所成角的正切值范围为，所以D正确．
故选：．
判断到的距离，即可判断三角形面积的最值，判断的正误；
通过平面与平面平行，说明直线与平面平行，即可判断的正误；
利用求与平面的交点，即可判断的正误；
求解与所成角的正切值范围，判断的正误；
本题考查空间直线与直线以及直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，当直线，一条斜率为，另一条斜率不存在时，则；
由蒙日圆的定义可得蒙日圆方程为；，故A正确；

对于，为椭圆上的点，，
；
的最小值为点到直线的距离，又，
，，B错误；
对于，矩形四条边均与相切，该矩形为蒙日圆的内接矩形，
设矩形的长为，宽为，蒙日圆的半径，，
当且仅当时取等号，
此矩形面积最大值为，C正确；
对于，设位于椭圆上半部分，即，，
在处的切线斜率，切线方程为：，
即，在处的切线方程为；，
同理可得：当位于椭圆下半部分，即，切线方程为；，
在点处的切线方程为，同理可知：在点处的切线方程为；，
设，则且，
可知，坐标满足方程，，
即切点弦所在直线方程为：，
当时，，此时所在直线方程为：，
，；
当时，由，得：，
由知：，，
设，，则，，
，
又原点到直线的距离，

，
令，，则，
为开口方向向下，对称轴为的抛物线，
，，
，，
综上所述：的面积的最小值为，最大值为，故D正确．
故选：．
由蒙日圆的定义可求蒙日圆方程判断A正确；利用椭圆定义将转化为，由平面几何知识可知最小值为点到直线的距离，结合点到直线距离公式可求得B错误；根据矩形为蒙日圆的内接矩形，结合基本不等式可求得C正确；推导可得过椭圆外一点的椭圆的切点弦直线方程为，当时，可求得的值；当时，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合弦长公式和点到直线距离公式可化简得到，结合二次函数最值的求法可求得结果，知D正确．
本题考查新定义题型，考查运算求解能力，属难题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，得，即，，令，得，即，即，，
记函数，，则，
所以函数在上单调递增，
因为，，
所以，故A错误；
又，，
所以，，
所以，故B正确；
所以，故C错误；
又，所以，结合，得，
因为，所以，且，
因为在区间上单调递减，所以，
即，故D正确．
故选：．
利用函数与方程思想，得到两根满足的方程关系，然后根据结构构造函数，求导，研究单调性，得到及，结合指对互化即可判断选项A、、；最后再通过对勾函数单调性求解范围即可判断选项D．
本题考查函数的零点问题、转化思想及导数的综合运用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，则，
又与垂直，则，
则．
故答案为：．
由与垂直，可得，后由向量夹角余弦的坐标表示可得答案．
本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：令，则，
令，则，
故，，
则有．
故答案为：．
根据赋值法，令，，计算即可．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：的定义域为，且，
令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，，，
画出的图象如下：

设存在三个不相等的实数，，，使得，
对于方程可化为，
整理得，
故．
故答案为：．
先求导得到的单调性，极值情况，得到若存在三个不相等的实数，，，使得，则，将化为，得到．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】  

【解析】解：依题意，，由等差数列性质得，即，解得，
，显然数列是等差数列，
其前项和记为，则，
令均满足上式，因此，
于是
，则，
令，
则有，
两式相减得：，
因此，所以．
故答案为：；．
求出数列的通项公式，由已知直接求出，再利用等差数列性质求出数列的前项和，并利用错位相减法求和作答．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，等差数列的性质，数列的求和，错位相减求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，，
即，
，
，，
，，，
由正弦理得，；
由余弦定理知，，即，
由基本不等式可得，当且仅当时取等号，
，
，
又，．
边上高的最大值为． 

【解析】由已知可得，可得，进而可求和的值；
求得的最大值，进而可求三角形面积的最大值，进而可求边上高的最大值．
本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
 

18.【答案】解：设等比数列的公比为，
，
，
又等比数列各项为正数，则，，
，故；
由得，，
，
当为奇数时，，
则当为偶数时，．
． 

【解析】设等比数列的公比为，由可得，化简后可得，，即可得出答案；
由题可得当为奇数时，，当为偶数时，利用分组求和法，即可得出答案．
本题考查等比数列的性质和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：取中点为，连接，因，分别为，中点，
则，即四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，则面；
解：取中点为，因，则．
又平面平面，平面平面，平面，
则平面过点作平行线，交于因，平面，
则，过做平行线，
则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系．

则，，，
注意到，则，故，
则，，，
．
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，则平面的一个法向量；
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，则，
则平面的一个法向量．
因二面角余弦值为，则，
即，
又，则． 

【解析】取中点为，连接，通过证明，可得面；
如图建立以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴的空间直角坐标系，由，可得，后分别求出平面法向量，平面法向量，则，据此可得答案．
本题主要考查线面平行的证明，二面角的求法，空间向量法的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设事件：在三次中只有次拿到黄球，
事件：三次中至多一次抽到红球，
则事件：在三次中只有次抽到黄球，其他两次至多一次抽到红球，
，
，
所以；
拿到红球的次数为，，，则：
，
，
，
故的分布列为：

设事件“拿到红球的个数比黄球的个数多”，
：红黄，，
：红绿，，
：红绿，，
． 

【解析】设事件：在三次中只有次拿到黄球，事件：三次中至多一次抽到红球，则事件：在三次中只有次抽到黄球，其他两次至多一次抽到红球，求出，，然后利用条件概率公式求解；
拿到红球的次数为，，，求出对应的概率，从而可得的分布列；设事件“拿到红球的个数比黄球的个数多”，分为三种情况：：红黄，：红绿，：红绿，求出对应的概率再相加即可得的概率．
本题主要考查了条件概率的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意得，因为直线垂直于轴，，
所以点的横坐标为，代入：中，，则，

其中，由勾股定理得，
解得，故抛物线方程为；
由知，因为，所以，直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，
与联立得，，
设，，，，
则，，
因为，由焦半径公式可知，即，
将其代入中得，解得，负值舍去，

则，．
证明：若选，设直线：，且，，
联立，得，故，，
故，同理，
故，
即，解得，
所以：，即直线经过点；
若选，由题意直线：，且，，
联立得，所以，
，同理，
所以；
若选，由题意得直线：，且，，，
联立得，所以，
，同理，
，
所以，即，
要想上式对任意的成立，则，即，
故点坐标为． 

【解析】表达出，，由勾股定理列出方程，求出，得到抛物线方程；设出直线的方程，联立抛物线方程，设，，，，由焦半径公式得到方程，得到，，再由焦点弦长公式求出答案；
选，设直线：，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，，由列出方程，求出，证明出直线经过点；
选，由题意直线：，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，计算出；
选，设直线：，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，，代入中，变形得到，求出，得到点坐标为．
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查方程思想与运算求解能力，属于难题．
 

22.【答案】解：，
，又，
在处的切线方程为；
由题意知：定义域为，
由知：，
当时，，，；
当时，，，；
的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，由，
可得，
即恒成立，
设，则恒成立，；
设，
则在上恒成立，
在上单调递增，，
则，在上单调递增；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
即当且仅当时取等号，
，
，对恒成立，
，即的取值范围为． 

【解析】根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；
分别在和的情况下，根据正负可求得单调区间；
令，将恒成立的不等式转化为恒成立；利用导数可求得单调递增，采用放缩法可求得，由此可得结果．
本题考查利用导数求切线问题，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，化归转化思想，属中档题．