辽宁省辽东南协作体2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题 扫描版含答案

高二数学(A)试题答案

一．单选题：CCDD  BACB  

二．多选题：BCD  BC  AB  ABD

三．填空题：13.-2   14.②③  15. 16.

四解答题：.17.解：（1）是PC的中点，

.

，，

，

结合，，，得.

（2）  ，，  ，.

，，     ，.

由（1）知，

，

，即BM的长等于.

18．解:(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，

故|2a＋b|＝＝5．

(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋

t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，

若¡Íb，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此在直线AB上存在点E，使得¡Íb，此时点E的坐标为E．

19．[解]　(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．

因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD¡ÎAB1．

因为AB1?平面BC1D，OD⊂平面BC1D，

所以AB1¡Î平面BC1D．

(2)建立如图所示的空间直角坐标系B­xyz，

则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)，

因此＝(0，－2,2)，＝(2,0,2)．

所以cos〈，〉＝＝＝，

设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cos θ＝，由于θ¡Ê，故θ＝．

20.解：以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则，0，，，0，，，2，，，0，，

，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，

（Ⅰ）证明：依题意，，1，，，，，

，；

（Ⅱ）依题意，，0，是平面的一个法向量，

，2，，，0，，

设，，为平面的法向量，

则，即，不妨设，则，，，

，，

，，

二面角的正弦值；

（Ⅲ）依题意，，2，，

由（Ⅱ）知，，，为平面的一个法向量，

，，

直线与平面所成角的正弦值为．

.

21.                                                            解：（1）证明：  因为平面平面ABC，
    平面平面,平面ABC,，
    所以平面PAC.
    因为平面PAC，所以. 又

所以C   因为PA,所以平面

（2）如图，过点P作于点H,
因为平面平面ABC，所以平面ABC，所以，
不妨设，则，
以C为原点，CA,CB所在直线分别为x轴，y轴，以过C点且平行于PH的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则，，，，
因此，，，.
设为平面PAB的一个法向量,则即
令，可得，
设为平面PBC的一个法向量，则即
令，可得，
所以，
易知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.

22.解：（Ⅰ）证明：，，

在中，由余弦定理可得，

，．

．

又，，

平面．

（Ⅱ）

线段上不存在点，使平面平面．

证明如下：

因为平面，所以．

因为，所以平面．

所以，，两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系．

在等腰梯形中，可得．

设，所以，．

所以，．

设平面的法向量为，，，则，

所以取，得，2，．

假设线段上存在点，设，所以．

设平面的法向量为，，，则

所以取，得．

要使平面平面，只需，

即，此方程无解．

所以线段上不存在点，使平面平面