专题09 焦长与焦比体系之抛物线-高考数学满分突破之解析几何篇

专题09 焦长与焦比体系之抛物线

1．．          2．．

3．．                           4．设,则．

5．设交准线于点，则；．

证明：1． ，同理．

2．．

3．设O到AB的距离为，则 ，故．

4．， ．

5．，，，．

关于抛物线的焦长公式及定理（A为直线与抛物线右交点，B为左交点，为AB倾斜角）

1．；          2．  

3．         4．设，则；  

5．设AB交准线于点P，．

例1．（1）、（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）已知抛物线，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

（2）、（2022·安徽黄山·统考二模）已知抛物线的准线为：，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于、两点，过作的垂线，垂足分别为，若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练1-1】．（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习）已知P为抛物线上的动点，C的准线l与x轴的交点为A，当点P的横坐标为1时，，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【变式训练1-2】．（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（    ）

A． B．8 C． D．5

例2．（1）、（2022·重庆·高三阶段练习）已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___________.

（2）、（2022·辽宁·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F与C交于A，B两点，与C的准线交于点P，若，则l的斜率为______．

【变式训练2-1】．（2022·湖北黄冈·高二期末）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________.

【变式训练2-2】．（2022·全国·模拟预测）抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与交于，两点，的准线与轴的交点为，若的面积为，则___________.

例3．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，A，B是该抛物线上不重合的两个动点，O为坐标原点，当A点的横坐标为4时，．

(1)求抛物线C的方程；

(2)以AB为直径的圆经过点，点A，B都不与点P重合，求的最小值．

例4．（2021·江苏南京·南京师范大学附属扬子中学校考模拟预测）已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.

（1）求C1的离心率；

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.

例5．（2018·陕西·校联考一模）已知抛物线C；过点．

求抛物线C的方程；

过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．

例6．（2022·湖北十堰·丹江口市第一中学校考模拟预测）已知抛物线，点为上一点，且到的准线的距离等于其到坐标原点的距离.

(1)求的方程；

(2)设为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长交于两点，求四边形面积的最小值.

1．（2021·吉林长春·统考一模）已知是抛物线上的一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国·校联考模拟预测）已知抛物线的准线为，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点分别作，垂足为，，垂足为，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

3．（2022·宁夏银川·一模（文））设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若，△ABD的面积为，则（       ）

A．1 B． C． D．2

4．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若，，成等比数列，则线段AB在y轴上的射影长为（       ）

A．p B．2p C．3p D．4p

5．（2022·江苏扬州·高二开学考试）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点为椭圆的右焦点，为抛物线上的动点，，则的最小值为(       )

A．4 B．5 C．6 D．2 17

6．（2022·山东济宁·一模）过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若，则线段BC的中点到准线的距离为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．（2022·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知双曲线的焦点为、，抛物线的准线与交于、两点，且三角形为正三角形，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

8．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））已知抛物线上一点，F为焦点，直线AF交抛物线的准线于点B，满足，则（       ）

A． B． C． D．

9．（2022·山西吕梁·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，C的准线与对称轴交于点D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为∠DFA的角平分线，则（    ）

A． B． C． D．

10．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知抛物线上一点，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点B，满足，则（       ）

A． B． C． D．

11．（2021·四川·高二期末（文））已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（       ）

A． B．2 C． D．3

12．（2022·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线与抛物线有公共焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若点满足，双曲线的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

13．（2022·全国·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，C的准线与x轴交于点T，P，Q是C上的两点，直线TP与C相切，，则___________.

14．（2020·浙江·高三专题练习）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线（）上任意一点，Q是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为______.

15．（2020·重庆市松树桥中学校高三阶段练习（文））已知抛物线的准线方程为，焦点为，准线与轴的交点为为抛物线上一点，且满足，则点到的距离为_______．

16．（2021·全国·高二课时练习）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于不同的两点，，为抛物线的准线与轴的交点，若，则______.

17．（2020·天津一中高二期末）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若且，则此抛物线的方程为___________________．

18．（2022·山东·山东省实验中学校考模拟预测）已知圆，定点，动点Q满足以为直径的圆与y轴相切．过点F的直线l与动点Q的轨迹E，圆C顺次交于A，M，N，B四点．则的最小值为________．

19．（2022·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为_______．

20．（2022·山西·统考一模）已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上任意一点，过作的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点Q.抛物线上有一点M，它在x轴上的射影为点H，则的最小值是________.

21．（2022·全国·长郡中学校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.

22．（2022·湖北·鄂南高中校联考模拟预测）已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.

(1)求抛物线的方程；

(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.

23．（2020·安徽合肥·校考二模）已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.

24．（2022·浙江嘉兴·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆上的点到两焦点，的距离之和为4.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点作直线交抛物线于点M，N，直线交抛物线于点Q，以Q为切点作抛物线的切线，且，求面积S的最小值.

25．（2022·辽宁大连·统考二模）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且.

(1)抛物线E的标准方程；

(2)如图所示，过点和点分别作两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为和，且.

（i）试求实数k的值；

（ii）若存在实数，使得，试求实数的取值范围.

26．（2022·安徽六安·安徽省舒城中学校考三模）已知抛物线C：（p＞0），抛物线C的焦点为F，点P在抛物线上，且的最小值为1．

(1)求p；

(2)设O为坐标原点，A，B为抛物线C上不同的两点，直线OA，OB的斜率分别为，，且满足，求｜AB｜的取值范围．

27．（2021·云南大理·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)过焦点的直线与抛物线交于两点，若点在抛物线的准线上，且为等边三角形，求直线的斜率．