专题06 圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型（教师版）-【高考总复习】2022高考数学满分突破之解析几何篇

专题06 圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型

【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：

圆锥曲线的第三定义：

平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数点的轨迹叫做椭圆或双曲线,

其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数时，轨迹为双曲线，如果时，轨迹为椭圆。

圆锥曲线的第三定义的有关结论：

1.椭圆方程中有关的经典结论

(1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.

(2).椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有

(3). 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有

(4). 椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有

2.双曲线方程中有关的经典结论

(1)AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，

即。

(2)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有

(3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有

(4) 双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有

【考点精选例题精析】：

例1．（2021·全国）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

例2．（2021·全国高二课时练习）已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

例3．（2021·吉林高三期末（文））已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左､右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则（    ）

A．

B．的离心率为

C．若，则的面积为2

D．若的面积为，则为钝角三角形

例4．（2021·全国高三（理））已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，过原点作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率存在，记为，．

①求证：为定值；

②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

例5．（2019全国卷2理科数学第21题）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率

之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.

例6.（成都市2019-2020学年高二上学期期末调研考试）已知椭圆的左,右焦点分别为 ，，，经过点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于 ，两点，△的周长为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）经过椭圆上的一点作斜率为，（，）的两条直线分别与椭圆相交于异于点的，两点.若，关于坐标原点对称，求的值

【达标检测】：

1．（2021·全国高三月考（理））设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·内蒙古乌兰浩特一中高二期末（理））若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国高三专题练习）已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（　　）

A． B．

C． D．

4．（2021·河南高二期中（理））已知平行四边形内接于椭圆：（），且，斜率之积的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）过原点的直线与椭圆：交于，两点，是椭圆上异于，的任一点.若直线，的斜率之积为，则椭圆的方程可能为（    ）

A． B．

C． D．

6.（百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考）已知平行四边形内接于椭圆，且， 斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

7.（四川省成都市2019届高三第一次诊断性考试，理科，12）设椭圆的左右顶点为A,B.P是椭圆上不同于A,B的一点，设直线AP,BP的斜率分别为m,n，则当取得最小值时，椭圆C的离心率为（     ）

A.      B.      C.       D.

8．（2022·全国高三专题练习）过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为__________．

9．（2022·全国高三专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________．

10．(四川省蓉城名校高中2018届高三4月份联考)已知椭圆： 的长轴长为， ， 是其长轴顶点， 是椭圆上异于， 的动点，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，若动点在直线上，直线， 分别交椭圆于， 两点.请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

11.(湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考）如图,设点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积为．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为,点是轨迹为上不同于的两点,且满足,求证：的面积为定值．

12．（2020·江苏扬州联考）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线的方程为分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过作斜率为的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且，设直线AM，BN的斜率分别为，求的值．

13．（2020·江苏省淮阴中学高三月考）已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知､为椭圆上不同的两点．①设线段的中点为点，证明：直线､的斜率之积为定值；②若､两点满足，当的面积最大时，求的值．

14．（2021·绥德中学高二月考（理））设椭圆的离心率，过点A（1，）.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆的左顶点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于两点，若直线的斜率分别为试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.