2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）解答题：概率与统计

2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）

解答题：概率与统计

1.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，表1是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，

表1

为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令得到表2：

表2

(1)求关于的线性回归方程；

(2)通过(1)中的方程，求出关于的回归方程；

(3)用所求回归方程预测到2022年底，该地储蓄存款额可达多少?

(附：对于线性回归方程，其中)

2.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率.

3.黄冈旅游一票通简称黄冈旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程.为了解市民每年的旅游消费支出(单位：百元)情况，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：

(1)估计所得样本的中位数；

(2)根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年的旅游费用支出在7 500元以上；

(3)假设年旅游消费支出在40百元以上的游客一年内会继续来该景点游玩，现从该景区的游客中随机抽取3人，若游客一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望.

附：若随机变量服从正态分布，则，，.

4.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为，健身时间在1小时以上且不超过2小时的概率分别为，且两人健身时间都不会超过3小时.

(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量(单位：元)，求的分布列与数学期望；

(2)此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动推出后健身馆每天的营业额.

5.随着新课程改革和高考综合改革的实施，高中教学以发展学生学科核心素养为导向，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展.为此，某市于2020年举行第一届高中数学学科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估该市高中学生的数学学科素养，从所有参赛学生中随机抽取1 000名学生的成绩(单位：分)作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，依次记为，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)请补全频率分布直方图，并估计这1 000名学生成绩的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)该市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰，授予“数学学科素养优秀标兵”称号，一名学生本次竞赛成绩为79分，请你判断该学生能否被授予“数学学科素养优秀标兵”称号.

6.高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试.某学生从升入高三到高考要参加10次模拟考试，下面是高三第一学期该学生参加5次模拟考试的数学成绩表：

(1)已知该考生的模拟考试成绩与模拟考试的次数满足回归直线方程，若将高考看作第1l次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；

(2)把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取的考试成绩单中的成绩不等于平均值的个数为，求出的分布列与数学期望.

参考公式：

.

7.近年，国家逐步推行新的高考制度，新高考不再分文理科.某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好，在政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每门科目满分均为100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1 000名学生(其中男生550人，女生450人)中，采用分层抽样的方法从中随机抽取名学生进行调查，其中，抽取女生45人.

(1)求的值.

(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个课程，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽到的名学生进行问卷调查(假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目).下表是根据调查结果得到的一个不完整的2×2列联表，请将下表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关，说明你的理由.

(3)在抽到的45名女生中，按(2)中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽出4人，设这4人中选择“物理”的人数为，求的分布列及期望.

附：.

8.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图与表格.

(1)若频率分布直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；

(2)根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?

(3)在调查的100名学生中，按照分层抽样的方法在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为，求的分布列和数学期望.

附：，其中.

答案以及解析

1.答案：(1)，

，

，

所以.

(2)将，代入，

得，即.

(3)因为，

所以预测到2022年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.

2.答案：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为，

所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25，则；

若最高气温位于区间，则；

若最高气温低于20，则.

所以的所有可能值为900，300，.

大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为，因此大于零的概率的估计值为0.8.

3.答案：(1).

设样本的中位数为，则，

解得，所以估计所得样本的中位数为45百元.

(2)，设市民的旅游费用支出为，

则旅游费用支出在7 500元以上的概率为，

所以估计有17.1万市民每年的旅游费用支出在7 500元以上.

(3)由频数分布表可知从该景区随机抽取一名游客，一年内游客继续来该景点游玩的概率为.

的所有可能取值为3，4，5，6.

则，，

故其分布列为

.

4.答案：(1)由题设知的可能取值为0，20，40，60，80，甲、乙健身时间在2小时以上且不超过3小时的概率分别为，则

；

；

；

；

.

故的分布列为

所以数学期望(元).

(2)此次促销活动推出后健身馆每天的营业额预计为(元).

5.答案：(1)成绩在的频率为，

补全的频率分布直方图如图：

样本的平均数.

故估计这1 000多学生成绩的平均数为67.

(2)因为，

所以由频率分布直方图可以估计获得“数学学科素养优秀标兵”称号学生的最低成绩为(分).

因为，所以该同学能被授予“数学学科素养优秀标兵”称号.

6.答案：(1) 由表可知，

，

，

，

则，

，

故回归直线方程为.

当时，，

所以估计该考生的高考数学成绩为120分.

(2)由题可知随机变量的所有可能取值为1，2，3，

则，

，

，

故随机变量的分布列为

随机变量的数学期望.

7.答案：(1)由题意得，解得.

(2)补充完整的列联表为

，

故有99%的把握认为选择科目与性别有关.

(3)从45名女生中按照分层抽样的方法随机抽取9名女生，所以这9名女生中有5人选择“物理”，4人选择“地理”.则的所有可能取值为0，1，2，3，4，

则，

，

，

，

，

所以的分布列为

.

8.答案：(1)由图可知，第一组的频数为3，第二组的频数为7，第三组的频数为27，所以后三组共有(人)，

又后三组的频数成等差数列，第四组的频数为24，

所以后三组的频数依次为24，21，18，

所以视力在5.0以上的频率为0.18，

故全年级视力在5.0以上的人数约为.

(2)，

因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.

(3)调查的100名学生中不近视的有24人，从中抽取8人，由题意知这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，则的所有可能取值为0，1，2，

，

则的分布列为

故.