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2021届高考数学二轮复习常考题型大通关(新高考)解答题:概率与统计
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2021届高考数学二轮复习常考题型大通关(新高考)
解答题:概率与统计
1.某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,表1是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额),
表1
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
储蓄存款/千亿元 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,令得到表2:
表2
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)求关于的线性回归方程;
(2)通过(1)中的方程,求出关于的回归方程;
(3)用所求回归方程预测到2022年底,该地储蓄存款额可达多少?
(附:对于线性回归方程,其中)
2.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温 | ||||||
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出的所有可能值,并估计大于零的概率.
3.黄冈旅游一票通简称黄冈旅游年卡,是由黄冈市旅游局策划,黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程.为了解市民每年的旅游消费支出(单位:百元)情况,相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查,并把得到的数据列成如表所示的频数分布表:
组别 | |||||
频数 | 10 | 390 | 400 | 188 | 12 |
(1)估计所得样本的中位数;
(2)根据样本数据,可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布,若该市总人口为750万人,试估计有多少市民每年的旅游费用支出在7 500元以上;
(3)假设年旅游消费支出在40百元以上的游客一年内会继续来该景点游玩,现从该景区的游客中随机抽取3人,若游客一年内继续来该景点游玩记2分,不来该景点游玩记1分,将上述调查所得的频率视为概率,且游客之间的选择意愿相互独立,记总得分为随机变量,求的分布列与数学期望.
附:若随机变量服从正态分布,则,,.
4.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质,健全促进全民健身制度性举措”,提高广大市民对全民健身运动的参与程度,推出了健身促销活动,收费标准如下:健身时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为20元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身,设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为,健身时间在1小时以上且不超过2小时的概率分别为,且两人健身时间都不会超过3小时.
(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量(单位:元),求的分布列与数学期望;
(2)此促销活动推出后,健身馆预计每天约有300人来参与健身活动,以这两人健身费用之和的数学期望为依据,预测此次促销活动推出后健身馆每天的营业额.
5.随着新课程改革和高考综合改革的实施,高中教学以发展学生学科核心素养为导向,学习评价更关注学科核心素养的形成和发展.为此,某市于2020年举行第一届高中数学学科素养竞赛,竞赛结束后,为了评估该市高中学生的数学学科素养,从所有参赛学生中随机抽取1 000名学生的成绩(单位:分)作为样本进行估计,将抽取的成绩整理后分成五组,依次记为,并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)请补全频率分布直方图,并估计这1 000名学生成绩的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表);
(2)该市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰,授予“数学学科素养优秀标兵”称号,一名学生本次竞赛成绩为79分,请你判断该学生能否被授予“数学学科素养优秀标兵”称号.
6.高三学生为了迎接高考,要经常进行模拟考试.某学生从升入高三到高考要参加10次模拟考试,下面是高三第一学期该学生参加5次模拟考试的数学成绩表:
第次模拟考试 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考试成绩/分 | 90 | 100 | 105 | 105 | 100 |
(1)已知该考生的模拟考试成绩与模拟考试的次数满足回归直线方程,若将高考看作第1l次模拟考试,试估计该考生的高考数学成绩;
(2)把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中,从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究,设抽取的考试成绩单中的成绩不等于平均值的个数为,求出的分布列与数学期望.
参考公式:
.
7.近年,国家逐步推行新的高考制度,新高考不再分文理科.某省采用3+3模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,每门科目满分均为150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好,在政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每门科目满分均为100分.为了应对新高考,某高中从高一年级1 000名学生(其中男生550人,女生450人)中,采用分层抽样的方法从中随机抽取名学生进行调查,其中,抽取女生45人.
(1)求的值.
(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个课程,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对抽到的名学生进行问卷调查(假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目).下表是根据调查结果得到的一个不完整的2×2列联表,请将下表补充完整,并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关,说明你的理由.
| 选择物理 | 选择地理 | 总计 |
男生 |
| 10 |
|
女生 | 25 |
|
|
总计 |
|
|
|
(3)在抽到的45名女生中,按(2)中的选课情况进行分层抽样,从中抽出9名女生,再从这9名女生中随机抽出4人,设这4人中选择“物理”的人数为,求的分布列及期望.
附:.
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
8.眼保健操是一种眼睛的保健体操,主要是通过按摩眼部穴位,调整眼及头部的血液循环,调节肌肉,改善眼的疲劳,达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查眼保健操对改善学生视力的效果,在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查,并得到如图的频率分布直方图与表格.
(1)若频率分布直方图中后三组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以上的人数;
(2)根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?
| 不做眼保健操 | 坚持做眼保健操 |
近视 | 44 | 32 |
不近视 | 6 | 18 |
(3)在调查的100名学生中,按照分层抽样的方法在不近视的学生中抽取8人,进一步调查他们良好的护眼习惯,在这8人中任取2人,记坚持做眼保健操的学生人数为,求的分布列和数学期望.
附:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
答案以及解析
1.答案:(1),
,
,
所以.
(2)将,代入,
得,即.
(3)因为,
所以预测到2022年底,该地储蓄存款额可达15.6千亿元.
2.答案:(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为,
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温不低于25,则;
若最高气温位于区间,则;
若最高气温低于20,则.
所以的所有可能值为900,300,.
大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为,因此大于零的概率的估计值为0.8.
3.答案:(1).
设样本的中位数为,则,
解得,所以估计所得样本的中位数为45百元.
(2),设市民的旅游费用支出为,
则旅游费用支出在7 500元以上的概率为,
所以估计有17.1万市民每年的旅游费用支出在7 500元以上.
(3)由频数分布表可知从该景区随机抽取一名游客,一年内游客继续来该景点游玩的概率为.
的所有可能取值为3,4,5,6.
则,,
故其分布列为
3 | 4 | 5 | 6 | |
.
4.答案:(1)由题设知的可能取值为0,20,40,60,80,甲、乙健身时间在2小时以上且不超过3小时的概率分别为,则
;
;
;
;
.
故的分布列为
0 | 20 | 40 | 60 | 80 | |
所以数学期望(元).
(2)此次促销活动推出后健身馆每天的营业额预计为(元).
5.答案:(1)成绩在的频率为,
补全的频率分布直方图如图:
样本的平均数.
故估计这1 000多学生成绩的平均数为67.
(2)因为,
所以由频率分布直方图可以估计获得“数学学科素养优秀标兵”称号学生的最低成绩为(分).
因为,所以该同学能被授予“数学学科素养优秀标兵”称号.
6.答案:(1) 由表可知,
,
,
,
则,
,
故回归直线方程为.
当时,,
所以估计该考生的高考数学成绩为120分.
(2)由题可知随机变量的所有可能取值为1,2,3,
则,
,
,
故随机变量的分布列为
1 | 2 | 3 | |
随机变量的数学期望.
7.答案:(1)由题意得,解得.
(2)补充完整的列联表为
| 选择物理 | 选择地理 | 总计 |
男生 | 45 | 10 | 55 |
女生 | 25 | 20 | 45 |
总计 | 70 | 30 | 100 |
,
故有99%的把握认为选择科目与性别有关.
(3)从45名女生中按照分层抽样的方法随机抽取9名女生,所以这9名女生中有5人选择“物理”,4人选择“地理”.则的所有可能取值为0,1,2,3,4,
则,
,
,
,
,
所以的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
.
8.答案:(1)由图可知,第一组的频数为3,第二组的频数为7,第三组的频数为27,所以后三组共有(人),
又后三组的频数成等差数列,第四组的频数为24,
所以后三组的频数依次为24,21,18,
所以视力在5.0以上的频率为0.18,
故全年级视力在5.0以上的人数约为.
(2),
因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.
(3)调查的100名学生中不近视的有24人,从中抽取8人,由题意知这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人,则的所有可能取值为0,1,2,
,
则的分布列为
0 | 1 | 2 | |
故.
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