2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二下学期期末数学考试理含答案练习题

哈尔滨市第六中学2020-2021学年下学期期末考试

高二理科数学试题

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，

满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；

（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的

1．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）

A．    B．          C．         D．

2．若复数满足，则的虚部为（   ）

A.                 B.               C.             D.

3．已知，那么“”的一个充分必要条件是（     ）

A.                B.        C.          D.

4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（    ）

A．30                    B．60               C．90             D．120

5．已知定义在上的偶函数满足，且在上有，则  (      )

A．                    B． C．             D．

6．函数的图像大致为(  　)

7．设，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形中随机取个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（    ）

（注：若，则）

A．7539             B．6038              C．7028            D．6587

8．已知函数，则不等式的解集为 (      )

A．   B．  C．            D．

9．某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（     ）

A．得分在之间的共有40人

B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5

C．估计得分的众数为55             

D．这100名参赛者得分的中位数为65

10．为了庆祝学校的元旦晚会，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这个节目，每个同学限报个节目，在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率为（      ）

A．              B．              C． D．

11．设正实数满足 ，则下面成立的是（　　）

A． B． C． D．

12．已知关于的不等式在恒成立，则的取值范围是　　

A． B．  C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置

13. 已知，则展开式中的常数项为___________．

14．有下列四个命题：

①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；

②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；

③若数据，，…，的平均数为1，则，，…的平均数为2；

④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大

其中真命题的个数为___________．

15．若函数在区间上存在减区间，则实数的取值范围是_________．

16．设函数，若不等式，恰有两个整数解，则实数的取值范围是__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分）

以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为（）．

（1）求曲线C的参数方程；

（2）当时，直线l与曲线C交于A，B两点，求．

18. （本小题满分12分）

已知是定义在上的奇函数，时，，是定义在的函数，且．

（1）求函数的解析式；

（2）若对于，，使得成立，求实数的取值范围．

19．（本小题满分12分）

垃圾分类指的是按照一定规定或者标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称我国的垃圾分类大致分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，而正确的掌握垃圾分类也是中学生的必修课之一．某学校从甲、乙两个班级中各随机抽取了8名学生参加垃圾分类知识的检测，并将检测后的成绩统计如表所示：

其中，，，．

（1）求，的值；

（2）现从乙班同学中随机抽取4人，记80分以上的人数为，求的分布列以及数学期望．

20. （本小题满分12分）

如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面所截后得到的，其中，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

21. （本小题满分12分）

已知抛物线：（），点在抛物线上，点在轴的正半轴上，等边的边长为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线 与抛物线相交于，两点，直线不经过点，的面积为，求的取值范围.

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若曲线在上单调递增，求的取值范围；

（2）若在区间上存在极大值，证明：．

高二理科数学答案

13.20            14. 3          15.       16.

17. （1）；（2）3．

解：（1）将，代入，

得曲线C的直角坐标方程为，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．

（2）当时，曲线C的极坐标方程为，

将代入，得．设A、B两点对应的极径分别为，，

∴，，∴．

18. （1）；（2）．

（1）设，则，所以，又是奇函数，所以，所以，又，所以

（2）由题意得．

当时，，所以在上单调递增，所以；

当时，，所以在上单调递增，

所以，所以．

对于，因为，，所以，当且仅当即时等式成立．

所以，所以，整理得，

所以实数a的取值范围是．

19.（1）记，的个位数分别为，．

，故，①

而，故，②

联立①②解得，，，则，．

（2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，

则，，，，

故的分布列为，

故．

20．（1）见解析（2）

（1）证明：在中，因为，.

由余弦定理得，，解得，∴，∴，                                                           

在直平行六面体中，平面，平面，

∴又，∴平面，∴平面平面.                                               

（2）解：如图以为原点建立空间直角坐标系，

因为，，所以，，，，，，.

设平面的法向量，，                                               

令，得，，∴.                                               

设直线和平面的夹角为，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

21. （1）；（2）

解：（1）是边长为的等边三角形，点在抛物线上，点在轴的正半轴上，

，即，解得：，抛物线方程为.

（2）将直线的方程为与抛物线的方程联立，

消去，得，设，，

则，，

，

点，点到直线：的距离为，

的面积，

，，

设，则，

在上单调递增，即，.故的取值范围为.

22. 【答案】（1）；（2）证明见详解．

【解析】（1）由题意得在区间内恒成立，

即在区间内恒成立，令，则．

当时，，在区间内单调递减；

当时，，在区间内单调递增，故，

所以，所以的取值范围为；

（2）由（1）知当时，在区间内单调递增，则不存在极大值．

当时，．，令，则．

令，则，则易知函数在区间内单调递减，

在区间内单调递增．又，，

（易知），

，

令，，

所以在上单调递增，所以，

所以，故存在，使得，

存在，使得，则当时，；

当时；当时，，

故在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递，增，所以当时，取得极大值，即．

由，得，，由，得，

故，所以．