数学九年级上册4 探索三角形相似的条件随堂练习题

2021-2022北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》优生辅导训练（附答案）

1．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 　                　s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．

2．在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当△ADE∽△ABC时，AE＝　              　．

3．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为　                　．

4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F，则图中与△AFE相似的三角形为　     　；AF的长为　     　．

5．如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，请你添加一个条件，使△ABC和△BCD相似，你所添加的条件是　                　．

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为　                　．

7．如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝　    　s时△APR∽△PRQ．

8．如图，正方形ABCD的边长为4，AE＝EB，MN＝2，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝　                　时，△ADE与△CMN相似．

9．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝12，CD＝8，BD＝28，点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长．

10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．

（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？

（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？

11．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD⊥BC于D，点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA向终点A运动速度为5cm/s，一个点到达终点时另一个点也随之停止．设它们运动的时间为x（s），请求出x为何值时，△EFC和△ACD相似．

12．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝9，CD＝1，BD＝6，点E在BD上移动，当以E，C，D为顶点的三角形与△ABE相似时，求DE的长．

13．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．

14．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．

15．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）连接BF，若△ABE∽△EBF，试确定点E的位置并说明理由．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．

（1）求证：△BDE∽△CAD；

（2）求证：△ADE∽△ABD．

17．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；

（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．

18．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，

（Ⅰ）证明：△ABD≌△BCE；

（Ⅱ）证明：△ABE∽△FAE；

（Ⅲ）若AF＝7，DF＝1，求BD的长．

19．如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．

20．如图，AD、CE是△ABC的高，AD与CE相交于点F，连接ED．

（1）求证：△ABD∽△CBE；

（2）求证：△ABC∽△DBE．

21．如图所示，已知∠ABD＝∠ACD，求证：△AOD与△BOC相似．

22．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．

求证：（1）△BAC∽△DAE；

（2）△BAD∽△CAE．

参考答案

1．解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t，

∴AD＝6﹣t，

∵∠A＝∠A，

∴分两种情况：

①当＝时，

即＝，解得：t＝；

②当＝时，

即＝，解得：t＝；

综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似．

2．解：当，△ADE∽△ABC时，＝

此时AE＝＝＝；

故答案为：．

3．解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，

∴BE＝EF，

∵BC＝8，

∴CE＝8﹣BE，

当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，

解得：BE＝或，

故答案是：或．

4．解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，

∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，

∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ACE

∴∠ECA＝∠FEA，

∵∠FAE＝∠EAC，

∴△AFE∽△AEC．

（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，

∵ED＝EC，

∴，

∵AD∥EG，

∴，

∴＝2，

解得，

∵△AFE∽△AEC，

∴，

∴＝，

解得．

故答案为：．

5．解：∵∠C＝∠BCD，

∴当∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC时，△ABC∽△BCD．

故答案是：∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC（答案不唯一）．

6．解：∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，

∴AC＝＝＝4，

∵D为AB的中点，

∴AD＝AB＝4，

∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，

①若△ADE∽△ABC，则＝，

即＝，

解得AE＝2，

②若△AED∽△ABC，则＝，

即＝，

解得AE＝，

综上所述，AE的长为2或．

故答案为：2或．

7．解：∵△ABC是边长为6cm等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°

∵QR∥BA

∴∠CRQ＝∠A＝60°，∠CQR＝∠B＝60°

∴△CRQ为等边三角形

∵点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s

∴AP＝t，PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝CR＝RQ＝6﹣2t，AR＝2t

∵QR∥BA

∴∠QRP＝∠APR

若要△APR∽△PQR，则需满足∠RPQ＝60°

∴∠BPQ+∠APR＝120°，∠ARP+∠APR＝120°

∴∠BPQ＝∠ARP

又∵∠A＝∠B

∴△APR∽△BQP

∴＝

∴＝

解得t＝1.2

故答案为1.2．

8．解：∵AE＝EB，

∴AD＝2AE，

又∵△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似，

∴分两种情况：

①CM与AD是对应边时，CM＝2CN，

∴CM2+CN2＝MN2＝4，

即CM2+CM2＝4，

解得：CM＝；

②CM与AE是对应边时，CM＝CN，

∴CM2+CN2＝MN2＝4，

即CM2+4CM2＝4，

解得：CM＝．

综上所述：当CM为或时，△AED与△CMN相似．

故答案是：或．

9．解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，

∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，

∴∠B＝∠D＝90°，

∴当＝时，△ABP∽△CDP，即＝，

解得x＝，

经检验x＝是分式方程的解，

BP＝28﹣＝16.8；

当＝时，△ABP∽△PDC，即＝，

解得x1＝4，x2＝24，

经检验，x＝4或24是分式方程的解，

BP＝28﹣4＝24，BP＝28﹣24＝4，

∴当BP为16.8或4或24时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．

10．解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．

×2x（8﹣x）＝×8×10×．

解得x1＝x2＝4．

答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；

（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．

∵∠C＝∠C，

∴可分为两种情况：

①＝，即＝，

解得t＝；

②＝，即＝．

解得t＝．

答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．

11．解：（1）如图1中，

点F在AC上，点E在BD上时，

①当时，△CFE∽△CDA，

∴，

∴t＝，

②当时，即，

∴t＝2，

当点F在AC上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，

综上所述，t＝s或2s时，△EFC和△ACD相似．

12．解：设DE＝x，则BE＝BD﹣x＝6﹣x，

∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，

∴∠B＝∠D＝90°，

∴当时，△ABE∽△CDE，即，

解得x＝，

当时，△ABE∽△EDC，即，

整理得x2﹣6x+9＝0，

解得x1＝x2＝3，

∴当DE为或3时，以C、D、E为顶点的三角形与以E、B、A为顶点的三角形相似．

13．解：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，

∴∠ABE＝∠ACD

又∵∠BAC＝∠DAE

∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC

∴∠DAC＝∠EAB

∴△ABE∽△ACD．

14．证明：∵AC2＝AD⋅AB，

∴AC：AB＝AD：AC．

又∵∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC．

15．（1）证明∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠D＝90°．

∴∠AEB+∠ABE＝90°．

∵EF⊥BE，

∴∠AEB+∠DEF＝90°．

∴∠ABE＝∠DEF．

在△ABE和△DEF中，∠ABE＝∠DEF，∠A＝∠D，

∴△ABE∽△DEF；

（2）解：点E为AD的中点时，△ABE∽△EBF，理由如下：

∵△ABE∽△DEF，

∴．

∵△ABE∽△EBF，

∴．

∴．

∴DE＝AE．

∴点E为AD的中点．

16．解：（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

又∵∠BDE＝∠CAD，

∴△BDE∽△CAD；

 （2）证明：∵△BDE∽△CAD，

∴∠BED＝∠CDA，

∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CDA

即∠AED＝∠ADB．

又∵∠BAD＝∠DAE，

∴△ADE∽△ABD．

17．解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G

如图

∴DF∥AG，＝

∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．

∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，

∴＝

解得DF＝（10﹣t）

∵S△BDE＝BE•DF＝7.5

∴（10﹣t）•t＝15

解得t＝5．

答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．

（2）存在．理由如下：

①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，

∴＝即＝，

解得t＝，

②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，

＝即＝，

解得t＝．

答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．

18．解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，

在△ABD与△BCE中

，

∴△ABD≌△BCE（SAS）；

（Ⅱ）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，

又∵∠ABC＝∠BAC，

∴∠ABE＝∠EAF，

又∵∠AEF＝∠BEA，

∴△AEF∽△BEA；

（Ⅲ）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，

∴△ABD∽△BFD，

∴，

∴BD2＝AD•DF＝（AF+DF）•DF＝8，

∴BD＝2．

19．证明：∵AD＝DB，

∴∠B＝∠BAD．

∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，

又∵∠1＝∠2，

∴∠C＝∠ADE．

∴△ABC∽△EAD．

20．（1）证明：∵AD、CE是△ABC的高，

∴∠ADB＝∠CEB＝90°，

∵∠B＝∠B，

∴△ABD∽△CBE．

（2）证明：∵△ABD∽△CBE，

∴＝，

∴＝，

∵∠B＝∠B，

∴△ABC∽△DBE．

21．证明：∵∠ABO＝∠OCD，∠AOB＝∠DOC，

∴△AOB∽△DOC，

∴＝，

∴＝，

∵∠AOD＝∠BOC，

∴△AOD∽△BOC．

22．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．

∴△BAC∽△DAE；

（2）∵△BAC∽△DAE，

∴，

∴，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD∽△CAE．