5.6 三角函数专题的综合运用（精讲+精练+原卷+解析）

这是一份5.6 三角函数专题的综合运用（精讲+精练+原卷+解析），共34页。主要包含了实际生活中的解三角形，解三角形与三角函数的性质，平面几何中的解三角形，三角形与其他知识的综合运用等内容，欢迎下载使用。


常见考法
考点一 实际生活中的解三角形
【例1】（2021·浙江）要测量电视塔的高度，在C点测得塔顶的仰角是，在D点测得塔顶的仰角是，并测得水平面上的，，则电视塔的高度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，设，
由于平面，、平面，，，
由题意可得，，
在中，，，同理可得，
在中，，，
根据余弦定理，得，
即：，
整理得，解之得 或 （舍）即所求电视塔的高度为米．故选：D.
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习（文））如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝（ ）
A．150mB．180mC．120mD．160m
【答案】A
【解析】由题意∠CAB＝45°，BC＝100 m，，三角形ABC为直角三角形，可得，在中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，则∠AMC＝45°
由正弦定理有：即故
在直角三角形中，可得故选：
2．（2021·海原县第一中学（文））国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为24.5米，则旗杆的高度约为，，
A．17米B．22米C．30米D．35米
【答案】C
【解析】根据题意,将各个位置用点标出来如下图所示:
由题意可得:
在中，利用正弦定理得:
故选:C.
3．（2021·山西临汾市）说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，，则，
，
设坡角为，则由题可得，则可求得，
在中，，
由正弦定理可得，即，解得，
故宝塔的高为44m.
故选：A.
4．（2021·辽宁高三月考）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】B
【解析】Rt△ADC中，，则，Rt△BDC中，，则，
由AC-BC=AB得，约为米.故选：B
考点二 解三角形与三角函数的性质
【例2】（2021·浙江）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.
（1）求的值；
（2）在锐角中，若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，
则，
，，
当，即时，最大值，所以，；
（2），
，则，所以，，所以，，
，
是锐角三角形，由，解得，
所以，，，则.
【一隅三反】
1．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）已知函数.
（1）利用“五点法”列表，并画出在上的图象；
（2），，分别是锐角中角，，的对边.若，，求面积的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）函数
，
利用“五点法”列表如下，
画出在上的图象，如图所示；
（2）在中，，(A)，
可知，或，
解得或，故；
由正弦定理可知，即，，
，
∵ 锐角三角形，∴ ，
,，
∴的取值范围是.
2．（2021·陕西西安市）已知函数的最大值为，且的最小正周期为．
（1）若，求的最小值和最大值；
（2）设的内角、、的对应边分别为、、，为的中点，若，，，求的面积．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1），为锐角，且.
所以，，解得，
由题意可得，因为为锐角，且，可得，.
当时，，，；
（2），，即，
，，则，.
，，
所以，，
即，即，，解得.
因此，.
3．（2021·全国高三）已知函数中，角的对边分别为，且．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求三角形中的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)依题
又故的单调递减区间为
(2)由题意知，又，故，
依题意，
在三角形中，由余弦定理
故.
4．（2021·河南驻马店市）已知，，，其中，若的最小正周期为.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）锐角中，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可知：
，
因为的最小正周期为，则，所以，，，
令，，
解得，，
所以，函数的单调递减区间为；
（2），由正弦定理可得，
所以，，
为锐角，则，
所以，，即，为锐角，所以，，
因为为锐角，则，即，解得，
所以，，，
因此，的取值范围是.
考点三 平面几何中的解三角形
【例3】（2021·安徽马鞍山市）如图，在中，，D为AC边上一点且，.
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，，
在中，，解得：，
；
（2）在中，得：，
在中，得：，
，
，，，
整理得：，
，，，故的取值范围为.
【一隅三反】
1．（2021·广东茂名市·高三二模）如图，△为等腰三角形，点A，E在△外，且，若，．
（1）从以下三个条件中任选一个，求的长度；
①；②，③锐角的面积为．
（2）在你所选的（1）条件下，求的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答给分．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）选择①：，
在△中，由余弦定理得：，
∴，又，
∴，又，
∴，
在△中，．
选择②：，
在△中，由余弦定理得：，解得．
由，，在中，利用余弦定理可得，解得或（舍）．
选择③：锐角的面积为，
在△中，由余弦定理得：，
∴，又，，
∴，
在中，利用余弦定理得，解得．
（2）若选择①和②，解答如下：
在中，，．
由余弦定理得，即，
故，即，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最大值为．
若选择③，解答如下：
在中，，．
由余弦定理得，即，
故，即，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最大值为．
2．（2021·广东广州市·高三二模）如图，在四边形中，是等腰直角三角形，，，，，与交于点．
（1）求；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为是等腰直角三角形，，，
所以，；
在中，，，所以，
因此，则；
记，则，，
在中，由正弦定理可得：，即，
则，即，
代入可得，解得，
因为，所以，即；
（2）由（1）知，由可得；则，所以；
因此在中，，
所以的面积为.
3．（2021·广东高三其他模拟）已知等腰三角形，，为边上的一点，，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求的面积及的长．
条件①；条件②；条件③．
【答案】答案见解析.
【解析】选①②，，，，
∵，∴，
∵在中，，
∴，∵，
∴，，，
在中，∴，，
∴，
．
选①③，，，
在中，，，
在中，∵，
∴，∴，∴，
∴．
选②③，，，
∵，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵在中，，
∴，∴．
考点四 三角形与其他知识的综合运用
【例4】（1）（2021·河南洛阳市）设函数，则下列说法错误的个数是（ ）
（1）；（2）的最大值为；
（3）在单调递增；（4）在单调递减.
A．1B．2C．3D．4
（2）（2021·全国高三）已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）B（2）A
【解析】（1）函数，
对于（1），故（1）正确；
对于（2），令，所以，
则时，不单调，；时，，函数单调递减，
当时，，所以的最大值，故（2）（3）错误，（4）正确．故选：．
（2）由，设；
在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，即在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点.作出的图像如图.
则，解得故的取值范围是.故选：A
【一隅三反】
1．（2021·全国高三）已知命题，命题的最小正周期为π，则以下是真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，命题，是真命题；
命题，其最小正周期为，则q是假命题；
故是真命题，都是假命题；
故选：D.
2．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．8B．C．D．4
【答案】C
【解析】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则．
圆的方程为，可设，
所以．
故．
故选：C．
3．（2021·四川高三月考（理））函数的图象在上恰有两个极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
设，
因为，
所以，函数的图象在上恰有两个极大值点，
则，
∴，
所以．
故选：D．
4．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））已知，，，记与夹角为θ，则cs为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，，
即，则
，则
则.
故选：D.
5．（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数，将的图象向左平移个单位得到的图象，实数，满足，且，则的最小取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
，
将的图象向左平移个单位得到，
所以，
因为实数，满足，
所以中一个取最大值1，一个取最小值
不妨取，
所以，解得，
，解得，
所以，
，当时，，
所以时，，
因为，所以，
所以的最小取值为，
故选：A.0
0
1
0
0