7.7 空间几何体的外接球（精讲+精练+原卷+解析）

这是一份7.7 空间几何体的外接球（精讲+精练+原卷+解析），共34页。主要包含了汉堡模型，墙角模型，斗笠模型，L模型，矩形模型等内容，欢迎下载使用。


常见考法
考点一 汉堡模型
【例1】（2021·天津市武清区杨村第一中学）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·吉林高三月考（文））已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，且，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·普宁市第二中学）三棱锥中，平面，，的面积为3，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·河南洛阳市）已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面，，，若球的表面积为，则四棱锥的体积为（ ）
A．4B．C．D．
考点二 墙角模型
【例2】（1）（2021·天津高三二模）长方体的8个顶点在同一球面上，且，则球面面积为（ ）
A．B．C．D．
（2）（2021·河北衡水市）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．3C．6D．9
【一隅三反】
1．（2021·海原县第一中学高三二模（文））已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________.
2．（2021·天津高三一模）已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为，则这个正方体的体积为___________.
3．（2021·全国高三二模（文））已知长方体的体积为，，则当长方体的表面积最小时，该长方体外接球的体积为__________.
考点三 斗笠模型
【例3】（2021·沙坪坝区）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2021·江西师大附中高三三模（文））正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（文））已知在高为2的正四棱锥中，，则正四棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·宁夏银川市·高三二模（理））已知一个圆锥的底面面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于___________.
考点四 L模型
【例4】（2021·江西高三）在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2021·四川雅安市）在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为 （ ）
A．B．C．D．
2．（2021·重庆九龙坡区·高三二模）在三棱锥中，平面平面，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·四川泸州市·高三三模（文））已知三棱锥中，平面平面，若，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
考点五 矩形模型
【例5】（2021·湖北襄阳市）若矩形ABCD的面积是4，沿对角线AC将矩形ABCD折成一个大小是60°的二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积最小值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2021·全国高三月考（文））在矩形中，，沿对角线进行翻折，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·天津河西区·高三一模）将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·四川眉山市·高三三模（理））中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.
考点六 怀表模型
【例6】（2021·广西南宁三中）已知，，，四点都在某个球表面上，与都是边长为1的正三角形，二面角的大小为，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习（理））已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点、、、在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2021·安徽高三一模（文））在边长为的菱形中，，将菱形沿其对角线折成直二面角，若四点均在某球面上，则该球的表面积为___________.
考点七 其他模型外接球
【例7-1】（2021·全国高三专题练习（文））已知四棱锥中，是边长为的正三角形，，，二面角的余弦值为，当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（2021·山西太原市·高三二模（理））已知三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·四川高三月考（理））等边的边长为2，点为的中点，将沿折起到，使得，若该三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．
考点八 内切球
【例8】（2021·全国高三其他模拟（文））如图，在四棱锥中，是正方形的中心，底面，，，则四棱锥内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，，若三棱锥有一个内切球，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在三梭锥中，，，则该三棱锥内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·四川成都市·高三三模（理））某个圆锥的母线长为，底面半径为，若，则此圆锥的内切球表面积与外接球的表面积之比为________.