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人教版九年级上册数学--期中数学模拟测试卷2（附答案）
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这是一份人教版九年级上册数学--期中数学模拟测试卷2（附答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
期中数学试卷1
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上。
1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（ ）
A．（x+2）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝﹣6 D．（x+2）2＝﹣2
3．（3分）ʘO的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
4．（3分）抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（ ）
A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
5．（3分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．平行四边形ABCD是中心对称图形
B．△AOB≌△COD
C．△AOB≌△BOC
D．△AOB与△BOC的面积相等
6．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2＞2 B．y2＞y1＞2 C．2＞y1＞y2 D．2＞y2＞y1
7．（3分）将一个底面半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．54° B．126° C．136° D．144°
8．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径必垂直于弦
B．三角形的外心到三边的距离相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧
10．（3分）某商品原售价为60元，4月份下降了20%，从5月份起售价开始增长，6月份售价为75元，设5、6月份每个月的平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．15% B．25% C．20% D．30%
11．（3分）将直角边长为3cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积（ ）
A． B．3 C．2 D．6cm2
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②当x＞2时，y＞0；③8a+c＞0；④3a+b＜0，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②④
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填写在答题卡的横线上。
13．（3分）与点P（2，﹣4）关于原点中心对称的点的坐标为 ．
14．（3分）方程x2＝x的解是 ．
15．（3分）二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象的对称轴是直线 ．
16．（3分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∠BAD＝55°，则∠ACB＝ °．
17．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，则方程ax2+bx+c＝0的根为 ．
18．（3分）如图，四边形ABCD为正方形，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF2＝ ．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分。请将解答过程写在答题卡的相应位置上，解答应写出文字说明或演算步骤。
19．（6分）如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，△ACD经过旋转后到达△BCE的位置，
（1）旋转中心是 ，逆时针旋转了 度；
（2）如果M是AD的中点，那么经过上述旋转后，点M转到的位置为 ．
20．（6分）二次函数y＝ax2﹣2x+5与直线y＝﹣2x+3交于点P（﹣1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式：
（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
21．（6分）如图，某石拱桥的桥拱呈“弓”形，其跨度AB＝16m，拱的半径R＝10m，求拱高CD．
22．（8分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果x1，x2满足不等式4+6x1x2＞（x1+x2）2，且m为整数，求m的值．
23．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）按要求作图：
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
②画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2；
（2）按照（1）中②作图，回答下列问题：△A2B2C2中顶点A2坐标为 ；若P（a，b）为△ABC边上一点，则点P对应的点Q的坐标为 ．
24．（10分）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？
25．（10分）如图，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，A为CD延长线上一点，BC＝AB，∠BAC＝30°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求△CBD的面积．
26．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年广西玉林市福绵区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上。
1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是中心对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（ ）
A．（x+2）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝﹣6 D．（x+2）2＝﹣2
【解答】解：∵x2+4x＝2，
∴x2+4x+4＝2+4，
∴（x+2）2＝6．
故选：A．
3．（3分）ʘO的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
4．（3分）抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（ ）
A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
【解答】解：抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），
所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．
故选：A．
5．（3分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．平行四边形ABCD是中心对称图形
B．△AOB≌△COD
C．△AOB≌△BOC
D．△AOB与△BOC的面积相等
【解答】解：A．平行四边形ABCD是中心对称图形，说法正确，故本选项不合题意；
B．△AOB≌△BOC，说法错误，故本选项不合题意；
C．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AO＝CO，BO＝DO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SSS），
故说法正确；
D．过B作BH⊥AC，
∵S△ABO＝AO•BH，S△BOC＝•BH，
∴△AOB与△BOC的面积相等，说法正确；
故选：B．
6．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2＞2 B．y2＞y1＞2 C．2＞y1＞y2 D．2＞y2＞y1
【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（1+1）2+2＝﹣2，
当x＝2时，y2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7，
∴2＞y1＞y2．
故选：C．
7．（3分）将一个底面半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．54° B．126° C．136° D．144°
【解答】解：∵将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，
∴圆锥侧面积公式为：S＝πrl＝π×6×15＝90πcm2，
∴扇形面积为90π＝，
解得：n＝144，
∴侧面展开图的圆心角是144度．
故选：D．
8．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：A．
9．（3分）下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径必垂直于弦
B．三角形的外心到三边的距离相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧
【解答】解：平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，A错误；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，B错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，C错误；
垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧，D正确；
故选：D．
10．（3分）某商品原售价为60元，4月份下降了20%，从5月份起售价开始增长，6月份售价为75元，设5、6月份每个月的平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．15% B．25% C．20% D．30%
【解答】解：设5、6月份每个月的平均增长率为x，
由题意，得60（1﹣20%）（1+x）2＝75
解得x＝0.25＝25%（舍去负值）
故选：B．
11．（3分）将直角边长为3cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积（ ）
A． B．3 C．2 D．6cm2
【解答】解：设AB与B′C′交于D点，
根据旋转性质得∠CAC′＝15°，而∠CAB＝45°，
∴∠C′AD＝∠CAB﹣∠CAC′＝30°，
又∵AC′＝AC＝3cm，∠C′＝∠C＝90°，
∴C′D＝AC′•tan30°＝，
∴阴影部分的面积＝×3×＝cm2．
故选：A．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②当x＞2时，y＞0；③8a+c＞0；④3a+b＜0，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②④
【解答】解：∵函数开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确，
由图象可知，当x＝0时，y＝c＜0，由函数的对称性可知，x＝2时，y＝c＜0，且当x＞1时，y随x的增大而增大，
故②错误，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，即8a+c＞0，
故③正确，
3a+b＝a+b+2a＝a＞0，
故④错误，
综上，正确的是①③，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填写在答题卡的横线上。
13．（3分）与点P（2，﹣4）关于原点中心对称的点的坐标为 （﹣2，4） ．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣4）关于中心对称的点的坐标为（﹣2，4）．
14．（3分）方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【解答】解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1
15．（3分）二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象的对称轴是直线 x＝﹣1 ．
【解答】解：由y＝2（x+1）2﹣3得，二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
16．（3分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∠BAD＝55°，则∠ACB＝ 35 °．
【解答】解：连接BD，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠ADB＝90°﹣55°＝35°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB＝35°，
故答案为：35．
17．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，则方程ax2+bx+c＝0的根为 x1＝﹣1，x2＝3 ．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为x1＝﹣1，x2＝3．
18．（3分）如图，四边形ABCD为正方形，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF2＝ 8﹣4 ．
【解答】解：如图，连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，
由旋转可得，AB＝AE＝1＝AD，AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝45°＝∠DAC，
∴∠CAE＝∠FAD，
∴△ADF≌△AEC（SAS），
∴DF＝CE，
由旋转可得，AB＝AE＝2，∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝2，∠ABE＝60°，
∴∠EBG＝30°，
∴EG＝BE＝1，BG＝，
∴CG＝2﹣，
∴Rt△CEG中，CE2＝EG2+CG2＝12+（2﹣）2＝8﹣4，
∴DF2＝8﹣4．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分。请将解答过程写在答题卡的相应位置上，解答应写出文字说明或演算步骤。
19．（6分）如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，△ACD经过旋转后到达△BCE的位置，
（1）旋转中心是 点C ，逆时针旋转了 60 度；
（2）如果M是AD的中点，那么经过上述旋转后，点M转到的位置为 BE的中点 ．
【解答】解：（1）由△ACD经过旋转后到达△BCE的位置，
得，旋转中心是点C，逆时针旋转了60度，
故答案为：点C，60；
（2）如果M是AD的中点，那么经过上述旋转后，点M转到的位置为BE的中点；
故答案为：BE的中点．
20．（6分）二次函数y＝ax2﹣2x+5与直线y＝﹣2x+3交于点P（﹣1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式：
（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
【解答】解：（1）∵点P（﹣1，b）在直线y＝﹣2x+3上，
∴b＝2+3＝5，
∴P（﹣1，5），
把P（﹣1，5）代入y＝ax2﹣2x+5，得到a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣2x+5．
（2）∵y＝﹣2（x+）2+，
∴顶点坐标为（﹣，），对称轴为x＝﹣
∵a＜0，
∴当x＞﹣时，y随x的增大而减小．
21．（6分）如图，某石拱桥的桥拱呈“弓”形，其跨度AB＝16m，拱的半径R＝10m，求拱高CD．
【解答】解：如图所示：作OD⊥AB交于C，垂足为D，
根据垂径定理，AD＝BD＝×16＝8m，
设CD＝xm，则OD＝（10﹣x）m，
根据勾股定理得：82+（10﹣x）2＝102，
解得：x＝4或16（舍去），
故拱高CD为4m．
22．（8分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果x1，x2满足不等式4+6x1x2＞（x1+x2）2，且m为整数，求m的值．
【解答】解：（1）∵方程2x2﹣2x+m+1＝0有两个实数根，
∴Δ≥0，
即（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，
解得m≤．
故实数m的取值范围是m≤；
（2）∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1•x2＝（m+1），
∵4+6x1x2＞（x1+x2）2，
∴4+6×（m+1）＞12，
解得m＞﹣2，
∵m≤且m为整数，
∴m的值为﹣1或0．
23．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）按要求作图：
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
②画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2；
（2）按照（1）中②作图，回答下列问题：△A2B2C2中顶点A2坐标为 （4，2） ；若P（a，b）为△ABC边上一点，则点P对应的点Q的坐标为 （b，﹣a） ．
【解答】解：（1）如图．
（2）由图形可得：A2坐标为（4，2），Q的坐标为（b，﹣a），
故答案为：（4，2）；（b，﹣a）
24．（10分）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？
【解答】解：（1）由题意得：
y＝60﹣（2分）
（2）p＝（200+x）（60﹣）＝﹣+40x+12000（3分）
（3）w＝（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣）（2分）
＝﹣+42x+10800
＝﹣（x﹣210）2+15210
当x＝210时，w有最大值．
此时，x+200＝410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．
25．（10分）如图，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，A为CD延长线上一点，BC＝AB，∠BAC＝30°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求△CBD的面积．
【解答】解：（1）如图，连接OB，
∵BC＝AB，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣30°＝60°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝60°，
∵∠ABD＝∠ODB﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，
∴∠OBD+∠ABD＝60°+30°＝90°，
即OB⊥AB，
∵OB是⊙O半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，CD＝2OC＝4，
∴BC＝CD＝2，BC＝CD＝2，
∴S△BCD＝BC•BD＝×2×2＝2．
26．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，
当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，
∴QG＝＝2，
∵点Q在第一象限，
∴﹣x2+3x＝2，
解得x＝1或x＝2，
∴Q（1，4）或（2，3），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，4）或（2，3）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/10/24 11:02:24；用户：教师17；邮箱：zybang17@xyh.com；学号：38915552
期中数学试卷1
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上。
1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（ ）
A．（x+2）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝﹣6 D．（x+2）2＝﹣2
3．（3分）ʘO的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
4．（3分）抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（ ）
A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
5．（3分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．平行四边形ABCD是中心对称图形
B．△AOB≌△COD
C．△AOB≌△BOC
D．△AOB与△BOC的面积相等
6．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2＞2 B．y2＞y1＞2 C．2＞y1＞y2 D．2＞y2＞y1
7．（3分）将一个底面半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．54° B．126° C．136° D．144°
8．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径必垂直于弦
B．三角形的外心到三边的距离相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧
10．（3分）某商品原售价为60元，4月份下降了20%，从5月份起售价开始增长，6月份售价为75元，设5、6月份每个月的平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．15% B．25% C．20% D．30%
11．（3分）将直角边长为3cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积（ ）
A． B．3 C．2 D．6cm2
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②当x＞2时，y＞0；③8a+c＞0；④3a+b＜0，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②④
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填写在答题卡的横线上。
13．（3分）与点P（2，﹣4）关于原点中心对称的点的坐标为 ．
14．（3分）方程x2＝x的解是 ．
15．（3分）二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象的对称轴是直线 ．
16．（3分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∠BAD＝55°，则∠ACB＝ °．
17．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，则方程ax2+bx+c＝0的根为 ．
18．（3分）如图，四边形ABCD为正方形，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF2＝ ．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分。请将解答过程写在答题卡的相应位置上，解答应写出文字说明或演算步骤。
19．（6分）如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，△ACD经过旋转后到达△BCE的位置，
（1）旋转中心是 ，逆时针旋转了 度；
（2）如果M是AD的中点，那么经过上述旋转后，点M转到的位置为 ．
20．（6分）二次函数y＝ax2﹣2x+5与直线y＝﹣2x+3交于点P（﹣1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式：
（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
21．（6分）如图，某石拱桥的桥拱呈“弓”形，其跨度AB＝16m，拱的半径R＝10m，求拱高CD．
22．（8分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果x1，x2满足不等式4+6x1x2＞（x1+x2）2，且m为整数，求m的值．
23．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）按要求作图：
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
②画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2；
（2）按照（1）中②作图，回答下列问题：△A2B2C2中顶点A2坐标为 ；若P（a，b）为△ABC边上一点，则点P对应的点Q的坐标为 ．
24．（10分）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？
25．（10分）如图，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，A为CD延长线上一点，BC＝AB，∠BAC＝30°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求△CBD的面积．
26．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年广西玉林市福绵区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上。
1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是中心对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（ ）
A．（x+2）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝﹣6 D．（x+2）2＝﹣2
【解答】解：∵x2+4x＝2，
∴x2+4x+4＝2+4，
∴（x+2）2＝6．
故选：A．
3．（3分）ʘO的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
4．（3分）抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（ ）
A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1
【解答】解：抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），
所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．
故选：A．
5．（3分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．平行四边形ABCD是中心对称图形
B．△AOB≌△COD
C．△AOB≌△BOC
D．△AOB与△BOC的面积相等
【解答】解：A．平行四边形ABCD是中心对称图形，说法正确，故本选项不合题意；
B．△AOB≌△BOC，说法错误，故本选项不合题意；
C．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AO＝CO，BO＝DO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SSS），
故说法正确；
D．过B作BH⊥AC，
∵S△ABO＝AO•BH，S△BOC＝•BH，
∴△AOB与△BOC的面积相等，说法正确；
故选：B．
6．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2＞2 B．y2＞y1＞2 C．2＞y1＞y2 D．2＞y2＞y1
【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（1+1）2+2＝﹣2，
当x＝2时，y2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7，
∴2＞y1＞y2．
故选：C．
7．（3分）将一个底面半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．54° B．126° C．136° D．144°
【解答】解：∵将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，
∴圆锥侧面积公式为：S＝πrl＝π×6×15＝90πcm2，
∴扇形面积为90π＝，
解得：n＝144，
∴侧面展开图的圆心角是144度．
故选：D．
8．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：A．
9．（3分）下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径必垂直于弦
B．三角形的外心到三边的距离相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧
【解答】解：平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，A错误；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，B错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，C错误；
垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧，D正确；
故选：D．
10．（3分）某商品原售价为60元，4月份下降了20%，从5月份起售价开始增长，6月份售价为75元，设5、6月份每个月的平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．15% B．25% C．20% D．30%
【解答】解：设5、6月份每个月的平均增长率为x，
由题意，得60（1﹣20%）（1+x）2＝75
解得x＝0.25＝25%（舍去负值）
故选：B．
11．（3分）将直角边长为3cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积（ ）
A． B．3 C．2 D．6cm2
【解答】解：设AB与B′C′交于D点，
根据旋转性质得∠CAC′＝15°，而∠CAB＝45°，
∴∠C′AD＝∠CAB﹣∠CAC′＝30°，
又∵AC′＝AC＝3cm，∠C′＝∠C＝90°，
∴C′D＝AC′•tan30°＝，
∴阴影部分的面积＝×3×＝cm2．
故选：A．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②当x＞2时，y＞0；③8a+c＞0；④3a+b＜0，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②④
【解答】解：∵函数开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确，
由图象可知，当x＝0时，y＝c＜0，由函数的对称性可知，x＝2时，y＝c＜0，且当x＞1时，y随x的增大而增大，
故②错误，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，即8a+c＞0，
故③正确，
3a+b＝a+b+2a＝a＞0，
故④错误，
综上，正确的是①③，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填写在答题卡的横线上。
13．（3分）与点P（2，﹣4）关于原点中心对称的点的坐标为 （﹣2，4） ．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣4）关于中心对称的点的坐标为（﹣2，4）．
14．（3分）方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【解答】解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1
15．（3分）二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象的对称轴是直线 x＝﹣1 ．
【解答】解：由y＝2（x+1）2﹣3得，二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
16．（3分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∠BAD＝55°，则∠ACB＝ 35 °．
【解答】解：连接BD，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠ADB＝90°﹣55°＝35°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB＝35°，
故答案为：35．
17．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，则方程ax2+bx+c＝0的根为 x1＝﹣1，x2＝3 ．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为x1＝﹣1，x2＝3．
18．（3分）如图，四边形ABCD为正方形，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF2＝ 8﹣4 ．
【解答】解：如图，连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，
由旋转可得，AB＝AE＝1＝AD，AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝45°＝∠DAC，
∴∠CAE＝∠FAD，
∴△ADF≌△AEC（SAS），
∴DF＝CE，
由旋转可得，AB＝AE＝2，∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝2，∠ABE＝60°，
∴∠EBG＝30°，
∴EG＝BE＝1，BG＝，
∴CG＝2﹣，
∴Rt△CEG中，CE2＝EG2+CG2＝12+（2﹣）2＝8﹣4，
∴DF2＝8﹣4．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分。请将解答过程写在答题卡的相应位置上，解答应写出文字说明或演算步骤。
19．（6分）如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，△ACD经过旋转后到达△BCE的位置，
（1）旋转中心是 点C ，逆时针旋转了 60 度；
（2）如果M是AD的中点，那么经过上述旋转后，点M转到的位置为 BE的中点 ．
【解答】解：（1）由△ACD经过旋转后到达△BCE的位置，
得，旋转中心是点C，逆时针旋转了60度，
故答案为：点C，60；
（2）如果M是AD的中点，那么经过上述旋转后，点M转到的位置为BE的中点；
故答案为：BE的中点．
20．（6分）二次函数y＝ax2﹣2x+5与直线y＝﹣2x+3交于点P（﹣1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式：
（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
【解答】解：（1）∵点P（﹣1，b）在直线y＝﹣2x+3上，
∴b＝2+3＝5，
∴P（﹣1，5），
把P（﹣1，5）代入y＝ax2﹣2x+5，得到a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣2x+5．
（2）∵y＝﹣2（x+）2+，
∴顶点坐标为（﹣，），对称轴为x＝﹣
∵a＜0，
∴当x＞﹣时，y随x的增大而减小．
21．（6分）如图，某石拱桥的桥拱呈“弓”形，其跨度AB＝16m，拱的半径R＝10m，求拱高CD．
【解答】解：如图所示：作OD⊥AB交于C，垂足为D，
根据垂径定理，AD＝BD＝×16＝8m，
设CD＝xm，则OD＝（10﹣x）m，
根据勾股定理得：82+（10﹣x）2＝102，
解得：x＝4或16（舍去），
故拱高CD为4m．
22．（8分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果x1，x2满足不等式4+6x1x2＞（x1+x2）2，且m为整数，求m的值．
【解答】解：（1）∵方程2x2﹣2x+m+1＝0有两个实数根，
∴Δ≥0，
即（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，
解得m≤．
故实数m的取值范围是m≤；
（2）∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1•x2＝（m+1），
∵4+6x1x2＞（x1+x2）2，
∴4+6×（m+1）＞12，
解得m＞﹣2，
∵m≤且m为整数，
∴m的值为﹣1或0．
23．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）按要求作图：
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
②画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2；
（2）按照（1）中②作图，回答下列问题：△A2B2C2中顶点A2坐标为 （4，2） ；若P（a，b）为△ABC边上一点，则点P对应的点Q的坐标为 （b，﹣a） ．
【解答】解：（1）如图．
（2）由图形可得：A2坐标为（4，2），Q的坐标为（b，﹣a），
故答案为：（4，2）；（b，﹣a）
24．（10分）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？
【解答】解：（1）由题意得：
y＝60﹣（2分）
（2）p＝（200+x）（60﹣）＝﹣+40x+12000（3分）
（3）w＝（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣）（2分）
＝﹣+42x+10800
＝﹣（x﹣210）2+15210
当x＝210时，w有最大值．
此时，x+200＝410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．
25．（10分）如图，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，A为CD延长线上一点，BC＝AB，∠BAC＝30°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求△CBD的面积．
【解答】解：（1）如图，连接OB，
∵BC＝AB，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣30°＝60°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝60°，
∵∠ABD＝∠ODB﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，
∴∠OBD+∠ABD＝60°+30°＝90°，
即OB⊥AB，
∵OB是⊙O半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，CD＝2OC＝4，
∴BC＝CD＝2，BC＝CD＝2，
∴S△BCD＝BC•BD＝×2×2＝2．
26．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，
当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，
∴QG＝＝2，
∵点Q在第一象限，
∴﹣x2+3x＝2，
解得x＝1或x＝2，
∴Q（1，4）或（2，3），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，4）或（2，3）．
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