初中数学青岛版九年级上册第4章 一元二次方程4.4 用因式分解法解一元二次方程精品当堂检测题

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4.4用因式分解法解一元二次方程同步练习

青岛版初中数学九年级上册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若，则  

A. 或 B.  C.  D. 或

2. 某个三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的根，则这个三角形的周长是   

A.  B.  C.  D. 或

3. 定义表示不超过实数的最大整数，如、、。函数的图象如图所示，则方程的解为

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

4. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为

A.  B.  C.  D. 或

5. 三角形的两边长分别为米和米，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为

A.  B.  C. 或 D.

6. 一个等腰三角形的底边长是，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是  

A.  B.  C.  D. 或

7. 已知实数、满足，则的值为              

A.  B.  C. 或 D. 或

8. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是   

A.  B.  C.  D.

9. 对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数等于

A.  B.  C.  D. 或

10. 若，则代数式的值

A. 或 B. 或 C.  D.

11. 方程的实数解的个数为  

A.  B.  C.  D.

12. 已知实数，同时满足，，则的值是   

A.  B. ， C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 若实数、满足，则______．
14. 对于实数，，定义运算“”如下：若，则______．
15. 如图，已知，，是数轴上异于原点的三个点，且点为的中点，点为的中点．若点对应的数是，点对应的数是，则______．
     
16. 方程的根是________．
17. 对于实数，，定义运算“”╔╔:\:a * b= \ begin{cases}a^{2}-ab(a \geqslant b),\\ab-b^{2}(a2╗╗，所以若，是一元二次方程的两个根，则           ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 解下列方程
    
    
    
    
    
    
    
    
     
19. 先化简，其中满足方程．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解方程：
    用配方法解方程：
    
    
    
    
    
    
     
21. 解方程：
    
    
    
    
    
    
     
22. 若规定两数、通过运算得，即。如。

求的值  
若，求的值






 

23. 阅读下面的材料，回答问题：

解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设，那么，于是原方程可变为  ，解得，．

当时，，；

当时，，；

原方程有四个根：，，，．

在由原方程得到方程的过程中，利用___法达到___的目的，体现了数学的转化思想．

方程的解为_______________．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了用换元法解一元二次方程，正确进行换元是解题的关键．
设，则，解方程即可求得．
【解答】
解：设，则，
，
，，
又此题中，
．
故选C．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯．
先求出方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符题意的边，进而求得三角形周长即可．

【解答】

解：
 

或，

当时，，不符合三角形的三边关系定理，所以舍去，

当时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是，
故选C．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了解一元二次方程因式分解法和实数的大小比较的知识点：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
根据新定义和函数图象讨论：当时，则；当时，则，当时，则，然后分别解关于的一元二次方程即可．
【解答】
解：当时，，解得，；
当，，；
当时，，方程没有实数解；
当时，，方程没有实数解；
所以方程的解为或．

故选A．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
【解答】
解：

解得：或，
当等腰三角形的三边为，，时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为，，时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为，
故选A．  

5.【答案】
 

【解析】解：，即，
或，
解得：或，
若，则三角形的三边，构不成三角形，舍去；
当时，这个三角形的周长为，
故选：．
解方程求得的值，再根据三角形三边之间的关系得出符合条件的的值，最后求出周长即可．
本题考查了一元二次方程的解法及三角形三边之间的关系．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
先利用因式分解法解方程求出的值，再根据三角形三边关系得出三角形的三边长度，继而相加即可得．
【解答】
解：解方程，得：或，
若腰长为，则三角形的三边为、、，显然不能构成三角形；
若腰长为，则三角形三边长为、、，此时三角形的周长为，
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

此题考查的是换元法解方程和代数式的求值解决此题先设，将已知根据中的等式变形为关于的一元二次方程，解方程求出的值，即可确定代数式的值．

【解答】

解：设，

则，

，

，

或，

不合题意，舍去，，

即，

故选B．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查解一元二次方程以及直角三角形斜边上的中线性质．先利用因式分解法解方程得到直角三角形两直角边分别为、，再利用勾股定理计算出斜边，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．
【解答】
解：，
，
或，
所以，，
则直角三角形两直角边分别为、，
所以斜边，
所以该直角三角形斜边上的中线长．
故选D．  

9.【答案】
 

【解析】解：当时，，
解得：，不合题意，舍去；
当时，，
解得：不合题意，舍去；
．
故选：．
根据定义，分和两种情况进行解方程，得出的值．
本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分和两种情况进行解方程是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查换元法，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是将看做整体，并熟练掌握因式分解法解一元二次方程．令，则原方程可变形为，利用因式分解法求出的值，再结合可确定的值．
【解答】
解：令，
则原方程可变形为，
，
或，
解得，，
又，
，
故选D．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是换元法解一元二次方程，无理方程的有关知识，设，则原方程可化为，利用因式分解法解出的值，然后求出，最后检验即可．
【解答】
解：设，则原方程可化为，解得，，
当时，即，两边平方得，
即，解得或，
当时，即，无解，
经检验：和都是原方程的解，
原方程的解有个，
故选C．  

12.【答案】
 

【解析】解：，，
，得 
．
．．
当时，，不合题意，舍去．
．
故选A．
 

13.【答案】或
 

【解析】解：设，则由原方程得到：，
整理得：，
解得或，
即或．
故答案是：或．
设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解新方程求得的值即可．
本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
 

14.【答案】或
 

【解析】解：根据题意得，
，
，
或，
所以，．
故答案为或．
利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

15.【答案】
 

【解析】解：是原点，且是的中点，
，
点表示的数是，
点表示的数是．
是的中点，
，
，
解得：，．
异于原点，
，
．
故答案为：．
由题意可以知道是原点，且是的中点，就有、表示的数互为相反数，就可以表示出点的数，再根据数轴两点间的距离列出方程求出其值即可．
本题考查了数轴与一元二次方程运用及一元二次方程的解法的运用，解答时用代数式表示出各个点表示的数是关键．
 

16.【答案】，
 

【解析】

【分析】

本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解原方程的左边是两个一次因式乘积的形式，而方程的右边为，令每个因式的值为，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求出原方程的解．

【解答】

解：

或

或．

故答案为，．

17.【答案】或
 

【解析】解：原方程可化为，解得或．
当，时，
当，时，．
故或．
 

18.【答案】解：，
，
，
，；

，
开方得：，
解得：，．
 

【解析】先求出的值，再代入公式求出即可；
先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
 

19.【答案】解：


，
，
解得，或，
满足方程，
或，
时原分式无意义，
当时，原式．
 

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据满足方程，可以求得的值，然后将使得原式有意义的的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

20.【答案】解：，
，
，
，，
，；

，
，
，
，
，
，
，．
 

【解析】移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
移项，系数化成，再配方，开方，即可求出答案．
本题考查了解一元二次方程，能灵活运用各个方法解一元二次方程是解此题的关键．
 

21.【答案】解：
 


，
 

【解析】本题考查了了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解得方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

22.【答案】解：原式．
依题意可以列方程：



或
，．
 

【解析】根据新定义写出式子，并计算求值，根据新定义写出一元二次方程，并用因式分解法求出方程的根．
本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，题是根据新定义写出式子计算求值，题是根据新定义写出一元二次方程，然后用因式分解法求出方程的根．
 

23.【答案】解：换元，降次；
设，原方程可化为，
解得，，
由，得，，
由，得方程，
，此时方程无实根．
所以原方程的解为，．
 

【解析】

【分析】
本题应用了换元法，把关于的方程转化为关于的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．
本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程；
利用题中给出的方法先把当成一个整体来计算，求出的值，再解一元二次方程．
【解答】
解：在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到降次的目的，
故答案为换元，降次；
见答案．