湖北省潜江市2021-2022学年九年级上学期联考数学【试卷+答案】（10月份）

这是一份湖北省潜江市2021-2022学年九年级上学期联考数学【试卷+答案】（10月份），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省潜江市九年级（上）联考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2+＝0B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣2）（x﹣2）＝0D．3x2﹣5xy﹣5y2＝0
2．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝3
3．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．最大值是2
4．“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．500（1+x）＝800B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800D．500（1+x）2＝800
5．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．
C．D．
6．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019B．2020C．2021D．2022
7．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k且k≠1B．k≥且k≠1C．kD．k≥
8．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（　　）
A．﹣6B．﹣1C．1或﹣6D．6或﹣1
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，点P，Q同时从点A出发，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）

A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）
11．一元二次方程x（x﹣7）＝8（7﹣x）的根是 　 　．
12．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　 　．
13．把抛物线y＝2x2+1向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　 　．
14．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为 　 　．
15．已知方程（a2+b2）2+a2+b2＝6，则a2+b2的值是 　 　．
16．如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点Pn（n为正整数）的坐标是 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分72分.）
17．（10分）解方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0；
（2）（2x﹣3）2＝（3x+1）2．
18．（6分）在西安市争创全国教育强市的宏伟目标指引下，高新一中初中新校区在今年如期建成．在校园建设过程中，规划将一块长18米，如图，内部修建三条宽相等的小路，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，求广场中间小路的宽．

19．（8分）已知某抛物线的顶点为（2，4），且过点（1，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P（a，6）能否在抛物线上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝14，求k的值．
22．（10分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，且要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 　 　件．
（2）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
23．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，求t的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M是该二次函数图象上第一象限内一点，且S△BCM＝3，求点M的坐标；
（3）在二次函数图象上是否存在一点P使△BCP是以BC为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由，请求出点P的坐标．


2021-2022学年湖北省潜江市九年级（上）联考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2+＝0B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣2）（x﹣2）＝0D．3x2﹣5xy﹣5y2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是分式方程，不是一元二次方程；
B．当a＝0时2+bx+c＝3不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程；
D．是二元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝3
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程x2+4x+3＝0，
整理得：x2+5x＝﹣1，
配方得：（x+2）3＝3．
故选：D．
3．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．最大值是2
【分析】直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．
【解答】解：由y＝（x﹣1）2+2得，开口向上，不符合题意；
对称轴为直线x＝1，故选项B错误；
顶点坐标为（1，5），符合题意；
最小值为2，故选项D错误．
故选：C．
4．“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．500（1+x）＝800B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800D．500（1+x）2＝800
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×（1+增长率）2＝2020年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝800，
故选：D．
5．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．
C．D．
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：A、∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限；
B、∵二次函数图象开口向上，
∴a＞6，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限；
C、∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，b＜5，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限；
D、∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限．
故选：C．
6．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m＝2021，则m2+2m+n＝2021+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴m7+m﹣2021＝0，
∴m2+m＝2021，
∴m6+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x6+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m3+2m+n＝2021﹣1＝2020．
故选：B．
7．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k且k≠1B．k≥且k≠1C．kD．k≥
【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．
【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠5时．
∵关于x的方程（k﹣1）2x6+（2k+1）x+8＝0有实数根，
∴Δ＝（2k+8）2﹣4×（k﹣7）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥；
当k﹣1＝0，即k＝8时，显然有解；
综上，k的取值范围是k≥，
故选：D．
8．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣5x﹣4＝（x﹣4）（x+2）＝（x﹣）2﹣，
A．函数图象开口向上；
B．与x轴的交点为（4，2）；
C．当x＝时，故C选项符合题意；
D．函数对称轴为直线x＝时，y的值随x值的增大而增大．
故选：C．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（　　）
A．﹣6B．﹣1C．1或﹣6D．6或﹣1
【分析】先根据判别式的意义得到a＜3，再根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，利用x12+x22﹣x1x2＝16得到4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解关于a的方程，然后利用a的范围确定满足条件的a的值．
【解答】解：根据题意得△＝4（a﹣1）3﹣4（a2﹣a﹣8）＞0，
解得a＜3，
根据根与系数的关系得x6+x2＝2（a﹣3），x1x2＝a3﹣a﹣2，
∵x17+x22﹣x5x2＝16，
∴（x1+x3）2﹣3x5x2＝16，
即4（a﹣5）2﹣3（a4﹣a﹣2）＝16，
整理得a2﹣6a﹣6＝0，
解得a6＝﹣1，a2＝8，
而a＜3，
∴a的值为﹣1．
故选：B．
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，点P，Q同时从点A出发，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】先证明△ABC、△ACD都是等边三角形，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，根据图形得到函数解析式，由二次函数、一次函数的图象与性质逐项排除即可得到正确解．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°．
∴△ABC、△ACD都是等边三角形，
∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．
如图1所示，当7≤x≤1时，AP＝xcm，
作PE⊥AB于E，
∴PE＝sin∠PAE×AP＝（cm），
∴y＝AQ•PE＝＝，
故D选项不正确；
如图2，当1＜x≤4时，CQ＝（4﹣2x）cm，
作QF⊥AC于点F，
∴QF＝sin∠ACB•CQ＝（cm），
∴y＝＝＝，
故B选项不正确；
如图3，当2＜x≤3时，CP＝（x﹣2）cm，
∴PQ＝CQ﹣CP＝2x﹣5﹣x+2＝（x﹣2）cm，
作AG⊥DC于点G，
∴AG＝sin∠ACD•AC＝×2＝，
∴y＝＝＝．
故C选项不正确，
故选：A．



二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）
11．一元二次方程x（x﹣7）＝8（7﹣x）的根是 　x1＝7，x2＝﹣8　．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x（x﹣7）＝8（4﹣x），
∴x（x﹣7）+8（x﹣3）＝0，
则（x﹣7）（x+4）＝0，
∴x﹣7＝5或x+8＝0，
解得x6＝7，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝7，x3＝﹣8．
12．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　m＜1且m≠0　．
【分析】由题意可得Δ＞0且m≠0，然后解不等式即可．
【解答】解：由题意得：Δ＞0，
∴（﹣2）7﹣4m×1＞2，
整理得：m＜1．
又∵m≠0，
∴实数m的取值范是m＜8且m≠0．
故答案是：m＜1且m≠7．
13．把抛物线y＝2x2+1向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　y＝2（x﹣1）2﹣2　．
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【解答】解：把抛物线y＝2x2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度8+1﹣3，即y＝4（x﹣1）2﹣6，
故答案为：y＝2（x﹣1）4﹣2．
14．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为 　8或9　．
【分析】当4为腰长时，将x＝4代入原一元二次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n＝8符合题意；当4为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式Δ＝0，解之可得出n值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n＝9符合题意．
【解答】解：当4为腰长时，将x＝4代入x3﹣6x+n＝0，得：52﹣6×2+n＝0，
解得：n＝8，
当n＝6时，原方程为x2﹣6x+4＝0，
解得：x1＝4，x2＝4，
∵6+4＞4，
∴n＝3符合题意；
当4为底边长时，关于x的方程x2﹣2x+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）6﹣4×1×n＝6，
解得：n＝9，
当n＝9时，原方程为x8﹣6x+9＝4，
解得：x1＝x2＝2，
∵3+3＝6＞4，
∴n＝9符合题意．
∴n的值为7或9．
故答案为：8或6．
15．已知方程（a2+b2）2+a2+b2＝6，则a2+b2的值是 　2　．
【分析】设a2+b2＝y，则原方程换元为 y2﹣y﹣2＝0，可得y1＝2，y2＝﹣1，即可求解．
【解答】解：设a2+b2＝y，则原方程换元为 y7+y﹣6＝0，
∴（y﹣2）（y+3）＝0，
解得：y7＝2，y2＝﹣3，
即 a2+b2＝2或 a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴a2+b2＝4，
故答案为：2．
16．如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点Pn（n为正整数）的坐标是 　（0，n2+n）　．

【分析】由点（1，1）和A1B1⊥OA1，推出等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和二次函数求出前几个P点，得出规律．
【解答】解：∵点A1（1，6），
∴OA1＝，∠A8OP1＝45°，
∵A1B2⊥OA1，
∴△A1OP8是等腰直角三角形，
∴∠A1P1O＝∠B5P1P2＝45°，OP8＝2，
∴P1（2，2），
∵B1A7⊥A1B1，
∴△B5P1P2是等腰直角三角形，
设P8P2＝2a，则：点B6（﹣a，2+a），
把点B1（﹣a，7+a）代入y＝x2得：a2＝8+a，
解得：a＝2或a＝﹣1（舍），
∴P3P2＝4，
∴P2（0，6），
同理：△A7P3P2是等腰直角三角形，
设P4P2＝2b，则：点A2（b，b+6），
把点A2（b，b+7）代入y＝x2得：b2＝b+6，
解得：b＝3或b＝﹣2（舍），
∴P6P2＝6，
∴P7（0，12），
由P1（7，2），P2（5，6），P3（4，12）可推：
点Pn（0，n2+n）．
故答案为：（3，n2+n）．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分.）
17．（10分）解方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0；
（2）（2x﹣3）2＝（3x+1）2．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）∵2x2﹣4x+1＝0，
∴（x﹣2）（2x﹣1）＝6，
则x﹣1＝0或2x﹣1＝0，
解得x4＝1，x2＝；
（2）∵（2x﹣6）2＝（3x+2）2，
∴2x﹣2＝3x+1或7x﹣3＝﹣3x﹣3，
解得x1＝﹣4，x3＝．
18．（6分）在西安市争创全国教育强市的宏伟目标指引下，高新一中初中新校区在今年如期建成．在校园建设过程中，规划将一块长18米，如图，内部修建三条宽相等的小路，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，求广场中间小路的宽．

【分析】设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的80%，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设广场中间小路的宽为x米，
依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝18×10×80%，
整理，得：x2﹣19x+18＝2，
解得：x1＝1，x4＝18．
又∵18﹣2x＞0，
∴x＜4，
∴x＝1．
答：广场中间小路的宽为1米．
19．（8分）已知某抛物线的顶点为（2，4），且过点（1，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P（a，6）能否在抛物线上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）设抛物线顶点式y＝a（x﹣2）2+4，然后将（1，2）代入解析式求解．
（2）根据抛物线线解析式求出函数最大值判断．
（3）由抛物线开口方向及对称轴判断y1，y2的大小．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+8，
将（1，2）代入上式得6＝a（1﹣2）7+4，
解得a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣4（x﹣2）2+2，
（2）动点P（a，6）不在抛物线上
∵抛物线y＝﹣2（x﹣5）2+4的最大值为4，
∴动点P（a，6）不在抛物线上；
（3）∵抛物线的函数关系式为：y＝﹣2（x﹣5）2+4，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝3，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，
∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线上，且m＜n＜0＜2，
∴y3＜y2．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；
（2）先确定k＝2，再解方程x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，然后分别把x＝1和x＝2代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0可得到满足条件的m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤；
（2）满足条件的k的最大整数为2，此时方程x2﹣3x+k＝0变形为方程x2﹣4x+2＝0，解得x2＝1，x2＝7，
当相同的解为x＝1时，把x＝1代入方程（m﹣2）x2+x+m﹣3＝3得m﹣1+1+m﹣4＝0，解得m＝；
当相同的解为x＝2时，把x＝2代入方程（m﹣6）x2+x+m﹣3＝4得4（m﹣1）+7+m﹣3＝0，解得m＝8，不符合题意，
所以m的值为．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝14，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ＝（k﹣1）2+12，结合偶次方的非负性可得出Δ＞0，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝k+3，x1x2＝2k﹣1，结合x12+x22＝14，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．
【解答】（1）证明：根据题意得Δ＝[﹣（k+3）]2﹣7（2k﹣1）＝k4﹣2k+13＝（k﹣1）2+12＞0，
∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得 x1+x6＝k+3，x1x3＝2k﹣1，
∴，
解得：k4＝1，k2＝﹣8．
22．（10分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，且要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 　100　件．
（2）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
【分析】（1）根据实际销量＝原销售量+10×列式计算即可；
（2）根据以上等量关系求解即可；
（3）根据“每月销售利润＝实际销售量×（实际售价﹣每件成本）”列出方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为50+10×，
故答案为：100；

，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；

（3）依题意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x3＝70，x2＝90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠．
23．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，求t的值．
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；
（3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n，进而根据m﹣n＝5得到关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+8，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵顶点坐标为（2，4），
∴当x＝3时，y最大值＝3，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝8时，y最小值＝0，
∵当3＜x≤2时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝4时，y最小值＝3．
∴当2≤x≤4时，函数的最大值为4；
（3）当t≤x≤t+2时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜3，
当x＝t+3时，m＝（t+3）6+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣t5+4﹣（﹣t2+7t﹣5）＝﹣6t+3，
∴﹣6t+9＝4，解得t＝，舍去），
②当5≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝4，
i）当6≤t≤时，在x＝t时2+6t﹣5，
∴m﹣n＝5﹣（﹣t2+6t﹣6）＝t2﹣6t+4，
∴t2﹣6t+8＝5，解得t1＝8﹣，t2＝7+（不合题意；
ii）当＜t＜3时，n＝﹣t2+5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+5）＝t2，
∴t2＝8，解得t1＝，t3＝﹣（不合题意，
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t6+6t﹣5，
当x＝t+4时，n＝﹣（t+3）2+7（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝﹣t2+2t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝5，解得t＝，舍去），
综上所述，t＝3﹣或．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M是该二次函数图象上第一象限内一点，且S△BCM＝3，求点M的坐标；
（3）在二次函数图象上是否存在一点P使△BCP是以BC为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由，请求出点P的坐标．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，连接OM，设点M（m，﹣m2+2m+3），利用S△BCM＝S△COM+S△BOM﹣S△OBC，可得S△BCM＝m+（﹣m2+2m+3）﹣，建立方程求解即可；
（3）根据△BCP是以BC为底边的等腰三角形，可得点P在BC的垂直平分线上，求出BC的中点D（，），利用待定系数法求得直线OD的解析式为y＝x，联立方程组求解即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），6）的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c，
得：．
解得：，
∴此二次函数的解析式为y＝﹣x7+2x+3；
（2）如图5，连接OM，﹣m2+2m+4），
在y＝﹣x2+2x+2中，当x＝0时，
∴点C的坐标为（0，4），
∴S△BCM＝S△COM+S△BOM﹣S△OBC＝m+2+6m+3）﹣，
∵S△BCM＝3，
∴m+2+2m+8）﹣＝3，
解得：m1＝5，m2＝2，
∴点m的坐标为（7，4）或（2；
（3）∵B（4，0），3），
∴OB＝OC＝4，
∴BC的中点D（，），
则直线OD垂直平分BC，
设直线OD的解析式为y＝kx，将D（，，
得：k＝，
∴k＝1，
∴直线OD的解析式为y＝x，
联立方程组，得：，
解得：，；
∴点P的坐标为．