湖北省潜江市2025届九年级上学期期末考试数学试卷

这是一份湖北省潜江市2025届九年级上学期期末考试数学试卷，共14页。
（本卷共 6 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷第 1 页装订线内和答题卡上，
并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号。
2．选择题的答案选出后，必须使用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，
先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案必须使用 0.5mm 黑色墨水签字笔填写
在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分．）
1．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四
幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是
中心对称图形的是
A B C D
2．已知方程 x2－（k－1）x＋2＝0 有一个根是 x＝－1，则 k 的值是
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．下列事件中是必然事件的是
A．守株待兔 B．水中捞月 C．瓮中捉鳖 D．百步穿杨
4．关于二次函数 y＝（x＋2）2＋6 的图象，下列结论正确的是
A．开口向下 B．对称轴是 x＝2
C．与 y 轴交于点（0，6） D．当 x＜－2 时，y 随 x 的增大而减小
5．若 a，b 是方程 x2＋x－2024＝0 的两个不相等的实数根，则 a2＋2a＋b 的值为
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
6．汽车刹车后行驶的距离 S（单位：米）关于行驶时间 t（单位：秒）的函数关系式是
S＝6t－t2，则该汽车从刹车到停止所用时间为
A．3 秒 B．6 秒 C．9 秒 D．10 秒
九年级数学试卷 第 1 页 （共 6 页）
7．若用半径为 30，圆心角为 120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是
A．20 B．15 C．10 D．5
8．如图，点 P 是反比例函数 （k≠0）的图象上任意一点，过点 P 作 PM⊥x 轴，垂足为
M，若△POM 的面积等于 4，则 k 的值等于
A．－8 B．－4 C．4 D．8
9．如图，△ABC 内接于⊙O，连接 OA，OB．若 OA＝4，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为
A．π－2 B． C． D．
10．抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点为 A（2，m），且经过点 B（5，0），其部分图象如图所示．
对于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②a－b＋c＝0；③4a＋b＝0；④若此抛物线经
过点 C（－2，n），则不等式 ax2＋bx＋c－n＞0 的解集是－2＜x＜6．其中所有正确结论
的序号是
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分．请直接将答案填写在答题卡中，不写过程）
11．在平面直角坐标系中，点 P（－4，5）关于原点的对称点 P ′ 的坐标是 ．
12．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，
只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积 864 平方步，宽比长少 12
步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的宽为 步．
13．一只不透明的袋中装有 8 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随
机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球
的频率是 0.4，则袋中约有红球 个．
14．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分，CO⊥AB，垂足为 M，
路面 AB 宽为 6 m，若圆的半径为 5 m，则隧道的最大高度 CM＝ m．
第 14 题图
九年级数学试卷 第 2 页 （共 6 页）
15．点 D 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形 ABC 内一点，若 BD=2，CD=4，AD=6，则△ABC
的面积是 ．
三、解答题（本题 9 个小题，满分 75 分．）
16．（6 分）
解方程：
（1）x2－6x－7＝0； （2）x（x－2）＝3x－6．
第 15 题图
17．（6 分）
某校一年级开设人数相同的 A，B，C 三个班级，甲、乙两位同学是该校一年级新生，开
学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到 A 班”的概率是 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位同学分到同一个班的概率．
18．（6 分）
如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC 关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°后的△A2B2C2 并写出点 C2 的坐标．
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19．（8 分）
已知关于 x 的一元二次方程 x2＋（2m＋1）x＋m2－1＝0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）设方程的两个根分别是 x1，x2，且 x12＋x22＋x1x2－6=0，求 m 的值．
20．（8 分）
如图，PA 切⊙O 于点 A，AB 是⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，PA PC AB，连接 PO 交 AC
（2）若 BC 2，求 AB 的长．
B
C
21．（8 分）
如图，已知一次函数 y1 ax＋b 与反比例函数 的图象在第一，第三象限分别交于
A(1，4)，B(n，－1)两点，直线 AB 与 y 轴，x 轴分别交于 C，D 两点．
（1）求一次函数和反比例函数关系式；
（2）比较大小： （填“＜”，“ ”或“＞” ；
（3）当 y1＞y2 时，请直接写出 x 的取值范围．
y
A C
D O x B
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22．（10 分）
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自
动喷灌系统．图 1 中某庭院内有一个可垂直
到最高，高度为 0.45 m，且水柱刚好落在庭
院围墙和地面的交界 B 点处．
为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛
种花，花坛高 DC =0.4 m，宽 BC=DE =0.8 m，
理石厚度不计），从而达到给花坛喷灌的效
果．
问题解决
任务 2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器OA与围墙的水平距离OB；
调整喷水口的高度，使花坛的上方 DE
任务 3 拟定喷头升降方案 边上刚好都能被水柱喷灌，直接写出喷
水口距离地面的高度 OA 的取值范围．
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于点 D．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
A
P D
O
素
材
1
升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成
抛物线形．图 2 是该喷灌器 OA 喷水时的截
面示意图，喷水口 A 点离地高度 AO=0.25 m，
喷出的水柱在离喷水口水平距离为 2 m 处达
素
材
2
侧面用大理石包围，矩形BCDE是花坛截面，
如图 3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形
状与原来相同且随之上下平移，使花坛的上
方从 D 到 E 的区域刚好都能被水柱浇灌（大
任务 1 确定水柱的形状
在图 2 中，建立合适的平面直角坐标
系，求抛物线的解析式；
23．（11 分）
如图 1，在等腰 Rt△ABC 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，
，连结 ， ，取 中点 ，连结 ．
（1）求证： ， ；
（2）将 绕点 顺时针旋转到图 2 的位置．
①请直接写出 与 的位置关系： ；
②求证： ．
24．（12 分）
已知二次函数 ， 为常数）的图象经过点 ，对称轴为直线 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点 向上平移 2 个单位长度，向左平移 个单位长度后，恰好落在
的图象上，求 的值；
（3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值
范围．
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潜江市 2024—2025 学年度上学期期末质量检测
九年级数学考答案及评分说明
说明：本评分说明一般只给出一种解法，对其他解法，只要推理严谨，运算合理，结果正确，
均给满分；对部分正确的，参照此评分说明，酌情给分．
一、选择题（每小题 3 分，满分 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D B A C A C D
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．（4，－5）； 12．24； 13．12； 14．9； 15．
三、解答题（共 75 分）
16．解：（1）x2－6x－7＝0；
(x－7)(x＋1)=0
x1＝－1，x2＝7； ………………………………3 分
（2）x（x－2）＝3x－6．
x（x－2）＝3（x－2）．
（x－2）（x－3）=0
x1＝2，x2＝3． ………………………………6 分
17．解：（1）由题意知，共有 3 种等可能的结果，其中学生甲分到 A 班的结果有 1 种，
∴“学生甲分到 A 班”的概率是 ．
故答案为： ． ………………………………2 分
（2）列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
数学答案 第 1 页 共 7 页
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有 9 种等可能的结果，其中甲、乙两位同学分到同一个班的结果有 3 种，
∴甲、乙两位同学分到同一个班的概率为 ． ………………………………6 分
18．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； ………………………………3 分
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；C2（4，－3）． ………………………………6 分
19．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=(2m＋1)2－4(m2－1)=4m＋5＞0 ………………………………2 分
∴m 的取值范围是 m＞ ； ………………………………4 分
（2）∵方程的两个根分别是 x1，x2，
∴x1＋x2=－（2m＋1），x1x2=m2－1， ………………………………5 分
∵x12＋x22＋x1x2－6=0，
∴(x1＋x2)2－x1x2－6=0，
∴(2m＋1)2－(m2－1)－6=0， ………………………………6 分
解得 m1= ，m2=－2（舍）． ………………………………7 分
∴ m= ………………………………8 分
20．（1）证明：如图，连接 OC， A
数学答案 第 2 页 共 7 页
B
C
P D
O
∵ PA 是⊙O 的切线，
∴PA⊥OA ．
∴∠PAO 90° ．
∵ OC OA，PC PA，OP OP．
∴△POC≌△POA（SSS）． ………………………………2 分
∴ ∠PCO ∠PAO 90° ．
∴ PC⊥OC．
又点 C 在⊙O 上，
∴ PC 是⊙O 的切线； ………………………………4 分
（2）解：如图，由（1）可得：
∠PDA ∠ACB 90°，∠APD ∠BAC．
又 PA AB，
∴△PAD≌△ABC（AAS）． ………………………………6 分
∴ AD BC 2，AC 2AD 4．
在 Rt△ABC 中，由勾股定理可得：
AB ． ………………………………8 分
21． 解：（1）将 A(1， 4)代入 ，可得： ．
∴反比例函数关系式为： ． ………………………………1 分
将 y －1 代入 可得 x －4，
y
∴n －4； A ……………2 分
C 把 A(1， 4)，B(－4， －1)代入 y1 ax＋b，
数学答案 第 3 页 共 7 页
得：
B
D O x
∴
∴一次函数关系式为 y1 x＋3； ………………………………4 分
（2） ； ………………………………6 分
（3）由图可知：当 时，y1＞y2． ………………………………8 分
22．解：（1）如图，以点 O 为原点，OB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， …………1 分
设抛物线解析式为 y＝a（x－2）2＋0.45，
把 A（0，0.25）代入得：0.25＝a（0－2）2＋0.45，
解得：a＝－0.05．
∴抛物线的表达式为 y＝－0.05（x－2）2＋0.45； ………………………4 分
（2） 把 y＝0 代入，得－0.05（x－2）2＋0.45＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1（舍），∴B（5，0），
∴OB＝5，
∴喷灌器 OA 与围墙的距离 OB 为 5 m； ………………………………6 分
（3）如图，由题意得：CD＝0.4 m，BC＝0.8 m，
∴D（4.2，0.4），E（5，0.4），
设 y＝－0.05（x－2）2＋k，把 D（4.2，0.4）代入
得，0.4＝－0.05（4.2－2）2＋k，
解得：k＝0.642，∴y＝－0.05（x－2）2＋0.642，
当 x＝0 时，y＝0.442，∴（OA）min＝0.442 m， ………………………………8 分
设 y＝－0.05（x－2）2＋k′，把 E（5，0.4）代入得，0.4＝－0.05（5－2）2＋k′，
解得：k′＝0.85，∴y＝－0.05（x－2）2＋0.85，
当 x＝0 时，y＝－0.05（0－2）2＋0.85＝0.65，
∴（OA）max＝0.65 m，
数学答案 第 4 页 共 7 页
∴0.442≤OA ≤0.65． ………………………………10 分
23. （1）证明：在 和 中，
， ， ，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
， ．
是 Rt△ABE 斜边 的中点，
，
， ………………………………2 分
，
．
，
，
．
； ………………………………4 分
（2）① ； ………………………………7 分
附理由如下：延长 到点 ，使 ，连结 ．延长 到 ，使 ，连接
并延长交 于点 ．
证△AGB≌△BDC（具体证法过程跟②一样）．
，
是 中点， 是 中点，
是 中位线，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ；
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②证明：延长 到点 ，使 ，连结 ．
， ， ，
∴△AGF≌△EBF（SAS），
， ．
．
，
，
，
．
，
．
在 和 中，
， ， ，
∴△AGB≌△BDC（SAS），
．
，
． ………………………………11 分
24．解：（1） 二次函数 ， 为常数）的对称轴为直线 ，
．
．
抛物线为 ．
又图象经过点 ，
．
．
抛物线为 ． ………………………………4 分
（2）由题意， 点 向上平移 2 个单位长度，向左平移 个单位长度 ，
平移后的点为 ．
数学答案 第 6 页 共 7 页
又 在 ，
．
或 （舍）．
． ………………………………8 分
（3）抛物线为 ，顶点（ ， ），
由题意，当 时，
最大值与最小值的差为 ．
，不符合题意，舍去．
当 时，
最大值与最小值的差为 ，符合题意．
当 时，最大值与最小值的差为 ，
解得 或 ，不符合题意．
综上所述， 的取值范围为 ． ………………………………12 分
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