辽宁省大连市普金新区2019-2020学年 九年级上学期期中数学试卷

这是一份辽宁省大连市普金新区2019-2020学年 九年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解笞题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年辽宁省大连市普金新区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．点A（﹣6，7）关于原点的对称点的坐标为（　　）
A．（6，7） B．（﹣6，﹣7） C．（6，﹣7） D．（7，﹣6）
3．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．40° B．30° C．20° D．15°
4．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　）

A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
5．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．平行四边形
6．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，已知点B坐标为（2，0），则点A坐标为（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．（0，﹣3） D．（0，﹣4）
7．将抛物线y＝（x+3）2﹣2向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线解析式为（　　）
A．y＝（x+6）2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x﹣6）2 D．y＝（x+6）2
8．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心、3为半径的圆，一定（　　）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
9．如图，△DEC是由△ABC绕点C顺时针旋转得到的图形，若点E恰好落在AB上，且∠A＝20°，DE与AC交于点F，则∠AFD的度数是（　　）

A．70° B．60° C．50° D．40°
10．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是　 　．

12．已知三角形的三条边分别为3、4、5，则该三角形的外接圆半径是 　 　．
13．如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB垂足为E，且AB＝8，CE＝2，则OC＝　 　．

14．抛物线y＝2x2﹣4x﹣3，当﹣1≤x≤4时，y的取值范围是　 　．
15．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k（k＜0）与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，其中x1＜0＜x2，当x＝x1+2时，y　 　0（填“＞”“＝”或“＜”号）．

16．如图，CD是⊙O的直径，CD＝4，∠ACD＝20°，点B为弧AD 的中点，点P是直径CD 上的一个动点，则PA+PB的最小值为　 　．

三、解笞题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的解析式并写出图象的顶点．
18．（9分）如图，平面直角坐标系中，A、B、C坐标分别是（﹣2，﹣4）、（0，﹣4）、（1，﹣1）．
（1）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．

19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为P．
求证：PC2＝PA•PB．

20．（12分）如图，BD、CE是△ABC的高，BD与CE相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）当∠A＝60°，BC＝6，求DE的长．

四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为240元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？最大利润是多少？
22．（9分） 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点在x轴上，且OA＝1，与一次函数y＝﹣x﹣1的图象交于y轴上一点B和另一交点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段BC上一点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，交抛物线于点F，请求出线段DF的最大值．

23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）直线AB、CD交于点E，若AB＝6，AC＝4，请画出点E，求CE的长．
五、解答题（本题共3小题，24题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，以BC边上的点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF．设PC＝x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y．
（1）当x＝4时，求y的值；
（2）求y与x的函数解析式，并求自变量的取值范围．

25．（12分）已知：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．

（1）填空：∠EAC＝　 　°；
（2）如图2，将△ABE以AE为轴翻折，点B的对称点为点F，过E作EG⊥AF，垂足为点GO为AC的中点，连接EO，延长OG交BC于点H．探究GO、GE和GA的数量关系；
（3）如图3，若（2）中，点F为EC的中点，求的值．
26．（12分）定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数l关于点P的相关函数．
例如：当m＝2时，函数y＝（x﹣1）2+2关于点P（2，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣2．
（1）当m＝0时，
①一次函数y＝﹣x+3关于点P的相关函数为 　 　；
②点A（﹣1，）在二次函数y＝﹣2ax2+4ax﹣1（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数y＝2（x+1）2﹣3关于点P的相关函数是y＝﹣2（x﹣7）2+3，则m＝　 　；
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣3mx+m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为9，求m的值．

2019-2020学年辽宁省大连市普金新区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．点A（﹣6，7）关于原点的对称点的坐标为（　　）
A．（6，7） B．（﹣6，﹣7） C．（6，﹣7） D．（7，﹣6）
【分析】根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系进行判断即可．
【解答】解：点A（﹣6，7）关于原点的对称点B的坐标为（6，﹣7），
故选：C．
【点评】本题考查关于原点对称点的坐标特征，掌握点P（a，b）与点P1（﹣a，﹣b）关于原点对称是正确判断的前提．
3．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．40° B．30° C．20° D．15°
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接CO，如图：
∵在⊙O中，＝，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠ADC＝∠AOC＝20°，
故选：C．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
4．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　）

A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∴＝
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
5．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．平行四边形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
6．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，已知点B坐标为（2，0），则点A坐标为（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．（0，﹣3） D．（0，﹣4）
【分析】利用抛物线的对称性得到A点坐标为（﹣4，0）．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，
∴点A和点B关于直线x＝﹣1对称，
∵B（2，0），
∴A点坐标为（﹣4，0），
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
7．将抛物线y＝（x+3）2﹣2向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线解析式为（　　）
A．y＝（x+6）2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x﹣6）2 D．y＝（x+6）2
【分析】根据左加右减，上加下减，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝（x+3）2﹣2向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝（x+3+3）2﹣2+2，即y＝（x+6）2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．
8．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心、3为半径的圆，一定（　　）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
【分析】由已知点（2，3）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵点（2，3）到x轴的距离是3，等于半径，
到y轴的距离是2，小于半径，
∴圆与y轴相交，与x轴相切．
故选：B．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
9．如图，△DEC是由△ABC绕点C顺时针旋转得到的图形，若点E恰好落在AB上，且∠A＝20°，DE与AC交于点F，则∠AFD的度数是（　　）

A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】由旋转的性质可得CB＝CE，∠B＝∠DEC＝70°，由等腰三角形的性质可求∠B＝∠CEB＝70°，即可求解．
【解答】解：∵∠A＝20°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝70°，
∵△DEC是由△ABC绕点C顺时针旋转得到的图形，
∴CB＝CE，∠B＝∠DEC＝70°，
∴∠B＝∠CEB＝70°，
∴∠AEF＝40°，
∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
10．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】根据顶点P在线段MN上移动，又知点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），分别求出对称轴过点M和N时的情况，即可判断出A点坐标的最小值．
【解答】解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，
此时的A点坐标为（﹣1，0），
当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），
此时A点的坐标最小为（﹣3，0），
故点A的横坐标的最小值为﹣3，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点，此题难度一般．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是　150°或210°　．

【分析】由旋转的性质可得旋转角为∠CAC'，由平角的性质可求解．
【解答】解：当顺时针旋转时，
∵将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，
∴旋转角为∠CAC'，∠BAC+∠CAC'＝180°，
∴∠CAC'＝150°，
当逆时针旋转时，旋转角为210°，
故答案为：150°或210°．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
12．已知三角形的三条边分别为3、4、5，则该三角形的外接圆半径是 　2.5　．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，根据其外接圆的半径等于斜边的一半即可求得三角形的外接圆半径．
【解答】解：∵三角形的三条边长分别为3、4、5，
∴32+42＝52，
∴此三角形是以5为斜边的直角三角形，
∴这个三角形外接圆的半径为5÷2＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题主要考查直角三角形的外接圆半径的求法；判断出三角形的形状是解决本题的关键．
13．如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB垂足为E，且AB＝8，CE＝2，则OC＝　3　．

【分析】连接OA，根据垂径定理求出AE，设⊙O的半径为R，根据勾股定理得出方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：连接AO，

∵直径CD⊥AB垂足为E，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，∠AEO＝90°，
设⊙O的半径为R，
由勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，
∵AO＝OC＝R，CE＝2，AE＝4，
∴R2＝42+（R﹣2）2，
解得：R＝5，
即OC＝5，
∴OE＝OC﹣CE＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
14．抛物线y＝2x2﹣4x﹣3，当﹣1≤x≤4时，y的取值范围是　﹣5≤y≤13　．
【分析】首先利用配方法求出二次函数的最值，进而利用x的取值范围得出y的取值范围．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x﹣3
＝2（x2﹣2x）﹣3，
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣3，
＝2（x﹣1）2﹣5，
∴当x＝1时，y最小值＝﹣5，
∵﹣1≤x≤4，且|4﹣1＞|﹣1﹣1|，
∴x＝4时，y最大＝13，
∴当﹣1≤x≤4时，y的取值范围是：﹣5≤y≤13．
故答案为﹣5≤y≤13．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及配方法的应用，根据已知得出顶点坐标是解题关键．
15．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k（k＜0）与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，其中x1＜0＜x2，当x＝x1+2时，y　＜　0（填“＞”“＝”或“＜”号）．

【分析】根据抛物线方程求出对称轴方程x＝1，然后根据二次函数的图象的对称性知x1与对称轴x＝1的距离大于1，所以当x＝x1+2时，抛物线图象在x轴下方，即y＜0．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k（k＜0）的对称轴方程是x＝1，
又∵x1＜0，
∴x1与对称轴x＝1的距离大于1，
∴x1+2＜x2，
∴当x＝x1+2时，抛物线图象在x轴下方，
即y＜0．
故答案是：＜．
【点评】本题考查了二次函数的性质．解答此题时，利用了二次函数图象的对称性．
16．如图，CD是⊙O的直径，CD＝4，∠ACD＝20°，点B为弧AD 的中点，点P是直径CD 上的一个动点，则PA+PB的最小值为　2　．

【分析】首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和等边三角形的性质解答．
【解答】解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB＝QP+PB＝QB，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接OQ，OB，
∵点B为弧AD 的中点，
∴∠BOD＝∠ACD＝20°，
∴∠QOD＝2∠QCD＝2×20°＝40°，
∴∠BOQ＝20°+40°＝60°．
∵OB＝OQ，
∴△BOQ是等边三角形，
BQ＝OB＝CD＝2，即PA+PB的最小值为2．
故答案为2．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．
三、解笞题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的解析式并写出图象的顶点．
【分析】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得
，
解得．
则抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+5；
由y＝2x2﹣3x+5＝2（x﹣）2+可知，抛物线顶点坐标为（，）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18．（9分）如图，平面直角坐标系中，A、B、C坐标分别是（﹣2，﹣4）、（0，﹣4）、（1，﹣1）．
（1）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．

【分析】（1）根据旋转的性质，找到△A1B1C1的三个顶点位置即可；
（2）根据点的位置可直接写出坐标；
（3）根据中心对称的性质，找到△A2B2C2的三个顶点位置即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）由（1）知：A1 （﹣4，2），B1 （﹣4，0），C1 （﹣1，﹣1）；
（3）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题主要考查了作图＝旋转变换，坐标与图形的性质，中心对称等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为P．
求证：PC2＝PA•PB．

【分析】连接AC、BC，根据圆周角定理以及同角的余角相等证得∠ACP＝∠ABC，则根据有两个角对应相等的三角形相似即可证得．
【解答】证明：连接AC、BC．
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠ABC+∠BCP＝90°，
∴∠ACP＝∠ABC，
又∵∠APC＝∠CPB＝90°，
∴△APC∽△CPB，
∴，
∴CP2＝AP•BP．

【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质，正确证明∠ACP＝∠B是解决本题的关键．
20．（12分）如图，BD、CE是△ABC的高，BD与CE相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）当∠A＝60°，BC＝6，求DE的长．

【分析】（1）依据两角对应相等的两个三角形相似，即可得出△ADB∽△AEC；
（2）依据相似三角形的对应边成比例，即可得到，再根据∠A是公共角，即可判定△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可得到DE的长．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
又∵∠EAC＝∠BAD，
∴△ADB∽△AEC；

（2）解：∵△ADB∽△AEC，
，
∴，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
又∵∠BAC＝60°，
∴Rt△ACE中，，
∴，
∴DE＝3．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为240元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？最大利润是多少？
【分析】设每个房间每天的定价增加x元，宾馆所得利润为y元，则可列方程：y＝（240+x﹣20）（50﹣），进行求解即可．
【解答】解：设每个房间每天的定价增加x元，宾馆所得利润为y元，
根据题意，得y＝（240+x﹣20）（50﹣），
整理，得y＝﹣x2+26x+11000，
其中0≤x≤500，且x是10的倍数，
当x＝﹣＝﹣＝130，
∴房价定为240+130＝370时，宾馆利润最大，
∴y最大值＝＝＝12690，
故房价定为370元时，宾馆利润最大，一天的最大利润为12690元．
【点评】此题考查的是二次函数的应用，根据题意列出方程，要求最值问题，即可转化为求二次函数的顶点问题．此题求最值也可用配方法进行求解．
22．（9分） 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点在x轴上，且OA＝1，与一次函数y＝﹣x﹣1的图象交于y轴上一点B和另一交点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段BC上一点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，交抛物线于点F，请求出线段DF的最大值．

【分析】（1）根据直线解析式求得点B坐标，由顶点A坐标设抛物线的顶点式，将点B坐标代入求解可得；
（2）令DF＝W，根据DF＝DE﹣EF可得W关于x的解析式，配方后根据x的范围可得最值情况．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴抛物线的顶点A的坐标为（1，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2，
在直线y＝﹣x﹣1中，当x＝0时，y＝﹣1，
则点B（0，﹣1），代入得：a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2＝﹣x2+2x﹣1．

（2）由，解得或，
即点B（0，﹣1）、点C（3，﹣4），
∴0＜x＜3，
令DF＝W，
则W＝﹣（﹣x﹣1）﹣[﹣（﹣x2+2x﹣1）]＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，W最大值＝，
即线段DF的最大值．
【点评】本题主要考查待定系数求二次函数解析式、一次函数和二次函数图象上点的坐标特征及直线与抛物线相交问题，熟练掌握待定系数求函数解析式是解题的关键．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）直线AB、CD交于点E，若AB＝6，AC＝4，请画出点E，求CE的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥DC，进而证明OC∥AD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得出∠OAC＝∠DAC，证明结论；
（2）连接OC，BC，根据AB为⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，根据勾股定理可得BC的长，证明△DAC∽△OAC，对应边成比例计算得DC＝，AD＝，由△COE∽△DAE，可得＝，进而可得CE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴AC平分∠DAB；

（2）解：如备用图，连接OC，BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝6，AC＝4，
∴BC＝＝2，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠OAC，
∴△DAC∽△OAC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DC＝，AD＝，
∵∠OCE＝∠ADE＝90°，∠CEO＝∠DEA，
∴△COE∽△DAE，
∴＝，
∴＝，
解得EC＝．
答：CE的长为．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，切线的性质，圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
五、解答题（本题共3小题，24题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，以BC边上的点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF．设PC＝x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y．
（1）当x＝4时，求y的值；
（2）求y与x的函数解析式，并求自变量的取值范围．

【分析】（1）根据△CMP∽△CQN∽△CBA，可得：S△CMP＝S△ABC＝×24＝6，S△CQN＝S△ABC＝×24＝，再利用S四边形MNQP＝S△CQN﹣S△CMP，求面积；
（2）点P从C点逐渐向B移动时，有三种情况，它是由BC上的三段组成的P点的三个取值范围，如图所示，即P在CP1上、P在P1P2上、P在P2B上这三段．其中的P1、P2是两个特殊的位置：P1的位置是FD与AB有部分重合；P2的位置是FE过A点．首先求出CP1的长．对于图2中的P1位置，即是下图1中，当AN＝0时的情况．由PC＝x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC＝x，MN＝x，FN＝x，进而可求得x＝；由△CP2A∽△CAB，可得CP2＝；再分三种情况：①当点P在CP之间，即0＜x≤时，②当P在P1P2之间，即＜x≤时，③当P在P2B之间，即＜x＜10时，分别求出函数解析式即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝＝10，
S△ABC＝×AB×AC＝×6×8＝24，
∵PF＝PC＝4，△ABC绕点P逆时针旋转90°得到△DEF，设AC分别与EF、DF交于M、N，BC与DF交于Q，
∴∠CPM＝∠FPQ＝90°，∠C＝∠F，△CMP≌△FQP，
∴PQ＝PM，
∵∠C+∠CMP＝90°，∠CMP＝∠FMN，
∴∠F+∠FMN＝90°，
∴∠FNM＝∠CNQ＝90°，
∴∠CNQ＝∠CPM＝∠A＝90°，∠MCP＝∠QCN＝∠BCA，
∴△CMP∽△CQN∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴MP＝3，
∴PQ＝3，CQ＝CP+PQ＝4+3＝7，
∴＝（）2＝（）2，＝，＝（）2＝（）2＝，
∴S△CMP＝S△ABC＝×24＝6，S△CQN＝S△ABC＝×24＝，
∴S四边形MNQP＝S△CQN﹣S△CMP＝﹣6＝，
∴y＝；
（2）点P从C点逐渐向B移动时，有三种情况，它是由BC上的三段组成的P点的三个取值范围，
见图2所示，即P在CP1上、P在P1P2上、P在P2B上这三段．其中的P1、P2是两个特殊的位置：P1的位置是FD与AB有部分重合；P2的位置是FE过A点．下面先求出CP1的长．
对于图2中的P1位置，即是图1中，当AN＝0时的情况．由PC＝x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC＝x，MN＝x，FN＝x，
∴NC＝MN+MC＝x+x＝x，
∴AN＝AC﹣NC＝8﹣x，
由AN＝0，得8﹣x＝0，解得：x＝；
对于图2中点P2的位置，∵∠CP2A＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，
∴△CP2A∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴CP2＝；
①当点P在CP之间，即0＜x≤时，
y＝S△FPQ﹣S△FMN＝S△CPM﹣S△FMN＝PC•MP﹣FN•MN＝x•x﹣×x•x＝x2，
②当P在P1P2之间，即＜x≤时，
y＝S△ABC﹣S△CPM＝24﹣•x•x＝24﹣x2，
③当P在P2B之间，即＜x＜10时，
y＝S△MPB＝•（10﹣x）•（10﹣x）＝（10﹣x）2，
故当0＜x≤时，y＝x2；
当＜x≤时，y＝24﹣x2；
当＜x＜10时，y＝（10﹣x）2．


【点评】此题主要考查了旋转的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．据此得判断出相等的对应角，得到相似三角形，利用相似三角形的性质解答．
25．（12分）已知：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．

（1）填空：∠EAC＝　45　°；
（2）如图2，将△ABE以AE为轴翻折，点B的对称点为点F，过E作EG⊥AF，垂足为点GO为AC的中点，连接EO，延长OG交BC于点H．探究GO、GE和GA的数量关系；
（3）如图3，若（2）中，点F为EC的中点，求的值．
【分析】（1）过A作AF⊥CD，交CD延长线于F，证出四边形AECF是矩形，得出∠FAE＝90°＝∠BAD，证明△AEB≌△AFD，得出AE＝AF，证出四边形AECF是正方形，得出∠ACB＝∠ACD＝45°，即可得出结论；
（2）过O作OH⊥OG，交AF于H，证出△ACE是等腰直角三角形，AE＝CE，证明△OAH≌△OEG，得出AH＝GE，HO＝GO，证出△OGH是等腰直角三角形，得出GH＝GO，即可得出结论；
（3）连接OF，延长AE、OH交于点M，由等腰直角三角形的性质得出AE＝CE＝2EF，△OEF是等腰直角三角形，得出OF＝EF，证明△AEG∽△AFE∽△EFG，得出＝＝＝，因此AG＝2EG＝4FG，得出＝，证明OF是△ACE的中位线，得出OF∥AE，OF＝AE，得出△OFG∽△MAG，得出＝＝，因此AM＝4OF，得出EM＝2OF，由平行线得出△OHF∽△MHE，＝＝，设FH＝a，则EH＝2a，OF＝EF＝3a，由勾股定理得出HO＝＝a，即可得出结果．
【解答】解：（1）过A作AF⊥CD，交CD延长线于F，如图1所示：
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠AFD＝90°，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴四边形AECF是矩形，
∴∠FAE＝90°＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠BAE＝90°﹣∠EAD，
在△AEB和△AFD中，，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
∴四边形AECF是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠EAC＝45°，
故答案为：45；
（2）GE+GO＝GA；理由如下：
过O作OH⊥OG，交AF于H，如图2所示：
则∠GOH＝90°，
∵AE⊥BC，∠EAC＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，AE＝CE，
∵O为AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，OE＝AC＝OA＝OC，
∴∠OEC＝AEC＝45°，∠AOH＝∠EOG，
∵EG⊥AF，∠AEC＝90°，
∴∠EAG＝∠GEF，
∴∠OAH＝∠OEG，
在△OAH和△OEG中，，
∴△OAH≌△OEG（AAS），
∴AH＝GE，HO＝GO，
∴△OGH是等腰直角三角形，
∴GH＝GO，
∵AH+GH＝GA，
∴GE+GO＝GA；
（3）连接OF，延长AE、OH交于点M，如图3所示：
∵点F为EC的中点，AE＝CE，
∴AE＝CE＝2EF，△OEF是等腰直角三角形，
∴OF＝EF，
∵∠AEF＝90°，EG⊥AF，
∴∠AGE＝∠FGE＝∠AEF＝90°，
∵∠EAG＝∠FAE，∠EFG＝∠AFE，
∴△AEG∽△AFE∽△EFG，
∴＝＝＝，
∴AG＝2EG＝4FG，
∴＝，
∵O为AC的中点，点F为EC的中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OF∥AE，OF＝AE，
∴△OFG∽△MAG，
∴＝＝，
∴AM＝4OF，
∴EM＝2OF，
∵OF∥AE，OF＝AE，
∴△OHF∽△MHE，＝＝，
设FH＝a，则EH＝2a，OF＝EF＝3a，
∴HO＝＝＝a，
∴＝＝．



【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
26．（12分）定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数l关于点P的相关函数．
例如：当m＝2时，函数y＝（x﹣1）2+2关于点P（2，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣2．
（1）当m＝0时，
①一次函数y＝﹣x+3关于点P的相关函数为 　y＝﹣x﹣3　；
②点A（﹣1，）在二次函数y＝﹣2ax2+4ax﹣1（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数y＝2（x+1）2﹣3关于点P的相关函数是y＝﹣2（x﹣7）2+3，则m＝　3　；
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣3mx+m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为9，求m的值．
【分析】（1）①一次函数关于原点对称后k值不变，b值变为相反数．
②先求出二次函数关于原点对称后的解析式，然后将点A坐标代入求解．
（2）分别求出两函数图象的顶点坐标，两顶点中点即为点P，进而求m的值．
（3）讨论抛物线对称轴与直线x＝m﹣1和直线x＝m+2的位置关系，分别得到抛物线最高点，利用其纵坐标为9列方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数l关于点P的相关函数，
∴当m＝0时，函数l与l'关于原点对称，
①一次函数y＝﹣x+3关于原点对称后的解析式为y＝﹣x﹣3，
故答案为：y＝﹣x﹣3；
②二次函数y＝﹣2ax2+4ax﹣1（a≠0）关于点P的相关函数为y＝2ax2+4ax+1，
把点A（﹣1，）代入y＝2ax2+4ax+1得＝2a﹣4a+1，
解得a＝﹣；
（2）函数2（x+1）2﹣3的顶点坐标为（﹣1，﹣3），y＝﹣2（x﹣7）2+3的顶点为（7，3），
而点（﹣1，﹣3）与（7，3）的中点坐标为（3，0），
∴m＝3，
故答案为：3．
（3）函数y＝x2﹣3mx+m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝﹣x2+mx+m2，
抛物线y＝﹣x2+mx+m2＝﹣（x﹣）2+m2，顶点坐标为（，m2），
∵抛物线开口向下，
∴当m+2≤时，即m≤﹣4时，抛物线上最高点为直线x＝m+2与抛物线交点，
把x＝m+2代入y＝﹣（x﹣）2+m2得y＝m2﹣2m﹣4，
当m2﹣2m﹣4＝9时，
解得m＝1+（舍）或m＝1﹣（舍），
当m≤m﹣1时，即m≥2时，图象最高点为直线x＝m﹣1与抛物线交点，
把x＝m﹣1代入y＝﹣（x﹣）2+m2得y＝m2+m﹣1，
当m2+m﹣1＝9时，
解得m＝或m＝（舍），
当m﹣1＜m＜m+2时，即﹣4＜m＜2时，抛物线顶点为最高点，
当m2＝9时，
解得m＝（舍）或m＝﹣，
综上所述，m的值为或﹣．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的解析式变化规律及用分类讨论的方法求解．