第06讲-函数的奇偶性与周期性（解析版）学案

这是一份第06讲-函数的奇偶性与周期性（解析版）学案，共18页。

第06讲-函数的奇偶性与周期性
一、 考情分析
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；
2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.
二、 知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数
关于原点对称
偶函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数
关于y轴对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[微点提醒]
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.
三、 经典例题
考点一　判断函数的奇偶性
【例1-1】(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
【解析】　(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
【例1-2】（2020·枣庄市第三中学高二月考）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【分析】
根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【详解】
解：是奇函数，是偶函数，
，，
，故函数是奇函数，故错误，
为偶函数，故错误，
是奇函数，故正确．
为偶函数，故错误，
故选：．
规律方法　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
考点二　函数的周期性及其应用
【例2-1】 (1)(2020·南充一模)设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则f＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
(2)(2019·山东期末)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x
[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
【解析】(1)∵f(x)是周期为4的奇函数，
∴f＝－f＝－f
又0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)
故f＝－f＝－＝－.
(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，
又f(x)在R上是偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.
规律方法　1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.
2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.
考点三　函数性质的综合运用
【例3－1】（2020·四川省泸县第四中学高三三模（理））定义运算，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案．
【详解】
根据题意得，且函数为奇函数，排除、；
；
当时，，
令，
令，
函数在上是先递减再递增的，排除选项；
故选：．
【例3－2】（2020·湖北省武汉二中高二期中）已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增.设，当时，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
结合奇函数的性质，函数为增函数，对分类讨论，即可求解.
【详解】
因为函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，
所以，在上为增函数，
由题意得，，否则不成立，
当时，，
，且，
，
即时，恒成立，
当时，，
，且，
，
故当时，不成立.
综上所述，

【例3－3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））定义在实数集上的偶函数满足，则____________.
【答案】
【分析】
，令，则，进一步可得函数的周期为4，，解方程即可.
【详解】
因为，
所以，
即，
即，
令，则，
所以
故函数的周期为4，
所以，
又因为是偶函数，则为偶函数，
又因为，所以，即，
解得，
又，
即，即.
故答案为：
规律方法　1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.
2.本题充分利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.

规律方法　周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

[方法技巧]
1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.
3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.
[易错防范]
1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
四、 课时作业
1．函数(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【答案】C
【解析】
函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数．
2．关于函数，下列说法错误的是（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C．有零点 D．在上单调递增
【答案】B
【解析】对于A，函数定义域为，且，
则为奇函数，故A正确；
对于B，若是周期函数，设其最小正周期为，则，
即，变形得，，对任意恒成立，令，可得，，设，而，
，所以只有唯一的解，故由
，由此可知它不是周期函数，故B错误；
对于C，因为，在上有零点，故C正确；
对于D，由于，故在上单调递增，故D正确.
3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由基本函数的性质得：为偶函数，为非奇非偶函数，为非奇非偶函数，为奇函数，且在区间上单调递减.
4．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数在为奇函数．若，满足
则：
函数在单调递减
即：
5．已知函数为奇函数,且当时, ,则 ( )
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为是奇函数，所以，故选A.
6．已知是定义在上的偶函数，且，如果当时，，则（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】C
【解析】由，得，所以是周期为8的周期函数，当时，，所以，又是定义在R上的偶函数所以.
7．已知定义在上的函数满足：，当时，有，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
则，，则，则，即；
故选：B
8．已知函数的定义域为的奇函数，当时， ，且， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以函数图像关于 对称
因为的定义域为的奇函数，所以函数的周期为T=4
所以
因为函数图像关于 对称
所以
所以选B
9．（多选）已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（ ）
A．为偶函数
B．
C．在上的最大值为
D．在区间上至少有一个零点
【答案】ABCD
【解析】因为，所以其的定义域为，
A选项，，所以函数为偶函数，故A正确；
B选项，，故B正确；
C选项，因为，当，单调递增，所以单调递减，因此，故C正确；
D选项，因为，所以，，
即，由零点存在性定理可得：在区间上存在零点，故D正确；
10．（多选）已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是( )
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数在上有3个零点
【答案】AB
【解析】在中，令，得，又函数是上的奇
函数，所以，，故是一个周期为4的奇函
数，因是的对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，
故A、B正确；作出函数的部分图象如图所示，
易知函数在上不具单调性，故C不正确；函数在上有7个零点，故D不正确.

11．（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，对都有成立，当且时，有.则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上有5个零点
C． D．直线是函数图象的一条对称
【答案】ABC
【解析】对都有成立,则是以2为周期的周期函数.
当且时，有，则在上单调递减.
由函数是定义在R上的奇函数有………①，
又是以2为周期的周期函数，有…………②，
所以①②可得，所以A正确.
由，则，
为奇函数，则，又是以2为周期的周期函数，则.
又在上单调递减且，则时.
由为奇函数，所以则时.
根据是以2为周期的周期函数 ，则时，时
所以在上有，有5个零点,故B正确
由是以2为周期的周期函数有，故C正确.
由上可知，当时，时，则其图象不可能关于对称，故D不正确.
12．（多选）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，若，则( )
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为是定义在上的奇函数，且为偶函数，
故可得，
则，故选项正确；
由上述推导可知，故错误；
又因为，故选项正确.
又因为，故错误.
故选：AD.
13．已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则___________.
【答案】1
【解析】∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，
∴．
14．若函数为偶函数，则 ．
【答案】1
【解析】由函数为偶函数函数为奇函数，
．
15．已知奇函数满足：对一切，且时，，则__________.
【答案】
【解析】由题可知：因为对一切，，
故关于对称；
又因为是奇函数，
则可得，
故可得，
故函数是周期为的函数.
则，
又当，，故，
则.
故答案为：.
16．定义在上的函数对任意，都有，，则______.
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以是周期为4的周期函数，
故，
由已知可得，
所以.

17．已知是定义域为R的奇函数，满足．
（1）证明：；
（2）若，求式子的值．
【解析】（1）证明：根据题意，是定义域为的奇函数，则，
又由满足，则，则有，
变形可得：，
即可得证明；
（2）由（1）的结论，，
又由是定义域为的奇函数，则，
则，
则，
则有
．
18．已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式的解集.
【解析】（1）要使函数有意义．则，
解得.故所求函数的定义域为．
（2）由（1）知的定义域为，设，则．
且， 故为奇函数．
（3）因为在定义域内是增函数， 因为，所以，解得．
所以不等式的解集是．
19．已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义证明：在上为减函数.
【解析】为R上的奇函数，
，

解得：．
又，

解得．
经检验，符合题意．
证明：任取，，且，
则

．
，
，
又
，
在上为减函数．
20．已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求a的值：
（2）求函数的值域；
（3）当时，恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）∵是R上的奇函数，
∴
即：.
即
整理可得.
（2）在R上递增
∵，
,

∴函数的值域为.
（3）由
可得，，.
当时，
令），
则有，
函数在1≤t≤3上为增函数，
∴，
，
故实数m的取值范围为