解密07 空间几何中的向量方法（分层训练）-【高考数学之高频考点解密】（原卷版）

解密07 空间几何中的向量方法

A组 考点专练

一、选择题

1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.   C.   D.

2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为(　　)

A.   B.   C.   D.

3.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设N为线段ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　　)

A.λ   B.   C.λ  D.

4.(多选题)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED＝FB＝1，G为线段EC上的动点，下列结论正确的是(　　)

A.EC⊥AF

B.该几何体外接球的表面积为3π

C.若G为线段EC的中点，则GB∥平面AEF

D.AG2＋BG2的最小值为3

二、填空题

5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________.

6.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________.

7.如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED所成二面角的余弦值为________.

三、解答题

8.已知三棱锥M－ABC，MA＝MB＝MC＝AC＝2，AB＝BC＝2，O为AC的中点，点N在边BC上，

且＝.(1)求证：BO⊥平面AMC；(2)求二面角N－AM－C的正弦值.

9.在如图所示的多面体中，四边形ABEG是矩形，梯形DGEF为直角梯形，平面DGEF⊥平面ABEG，且DG⊥GE，DF∥GE，AB＝2AG＝2DG＝2DF＝2.

(1)求证：FG⊥平面BEF.

(2)求二面角A－BF－E的大小.

B组  专题综合练

10.已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一点E满足2AE＝ED.现将△CDE沿CE折起使点D移动至P点处，使得PA＝PB.

(1)求证：平面PCE⊥平面ABCE；

(2)求二面角B－PA－E的余弦值.

11.如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝2BC＝2CD.△EAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且平面EAB⊥平面ABCD.点F满足：＝λ(λ∈[0，1]).

(1)试探究λ为何值时，CE∥平面BDF，并给予证明；

(2)在(1)的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值.