专题28 平面向量的数量积求解两法（解析版）学案

专题28  平面向量的数量积求解两法

【热点聚焦与扩展】

平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．关于数量积的运算，除上一专题介绍的利用投影定义，本专题继续介绍两种方法，一是遇到几何图形中计算某两个向量数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（模长，夹角），那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将两个向量表示出来，进而进行运算.这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法.二是若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解.

（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：

1、平面向量基本定理：若向量为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量，均存在唯一一对实数，使得.其中成为平面向量的一组基底.（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）

2、向量数量积运算，其中为向量的夹角

3、向量夹角的确定：向量的夹角指的是将的起点重合所成的角，

其中：同向          ：反向           ： 

4、数量积运算法则：

（1）交换律：

（2）系数结合律：

（3）分配律：

因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同：

例如：    

5、若，则

由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将用基底表示出来，则可计算

（二）选择合适基底解题的步骤与技巧：

1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了.所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知.常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.

2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法有：

（1）向量的加减运算 

（2）“爪”字型图：在中，是上的点，如果，则，其中知二可求一.特别的，如果是边上的中线，则

3、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要注意基底的夹角

（二）平面向量的坐标运算

1、向量的坐标表示

（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量不共线，则对于平面上的任一向量，存在，使得，且这种表示唯一.其中称为平面向量的一组基底，而有序实数对称为在基底下的坐标

（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底，在方向上它们分别与轴的正方向同向，在长度上，，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量，均有，其坐标为，从图上可观察到恰好是将向量起点与坐标原点重合时，终点的坐标

（3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设，则 （可记为“终”“起”），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求.另外三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标

2、向量的坐标运算：设，则有：

（1）加减运算：

（2）数乘运算：

（3）数量积运算：

（4）向量的模长：

3、向量位置关系的判定：

（1）平行：

（2）垂直：

（3）向量夹角余弦值：

4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解.但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解.如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决

（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形

（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形

（3）具备特殊角度的图形（等）

【经典例题】

例1．【2020年高考山东卷7】已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是 （   ）

A．            B．            C．             D．

【答案】A

【思路导引】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果．

【解析】解法一：的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A．

解法二：如图，建立平面直角坐标系，由题意知，，，，设，则，∵，∴，∴的取值范围是．

【专家解读】本题的特点是注重向量的应用，本题考查了平面向量数量积运算，考查平面向量数量积的几何意义，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是理解平面向量数量积的定义．

例2．【2020年高考天津卷15】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【答案】       

【思路导引】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值．

【解析】，，，

，解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则，设，则（其中），

，，

，

所以，当时，取得最小值，故答案为：；．

【专家解读】本题的特点是注重知识的应用，本题考查了平面向量数量积，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是建立适当的坐标系，合理转化，应用函数求最值．

例3．（2020·河南焦作·高三三模）在中，点，在线段上，，当点在线段上运动时，总有，则一定有（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，

设AB=4，则B（4，0），C（a，b），N（x，0），，M（3，0），得，

，，，，

，

由题意可得，解得，.

故选：D

例4．（2020·四川省绵阳南山中学三模）如图，在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，其中，则的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为,所以,，

所以==

==

==.

当时,取得最大值5;

当时,取得最小值2,

的取值范围是.

本题选择C选项.

例5．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高三三模）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】由题意建立如图所示直角坐标系

因为，，则，，，，，设，因为，所以，解得.由，得，所以解得所以，故选：B.

例6．（2020·湖北武汉·高三三模）在中，为线段的中点，为线段垂直平分线上任一异于的点，则（     ）

A． B． C． D．7

【答案】A

【解析】

由，得，，

由勾股定理，得，

因为为线段垂直平分线上任一异于的点，

所以，

可得

，故选A.

例7．（2020·河南高三三模）已知中，点M在线段上，，且.若，则（    ）

A． B． C．27 D．18

【答案】C

【解析】依题意，得，而A，B，M三点共线，所以.

以C为原点，为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设，，则，

由，则，

又，则.

由于，即，

所以解得所以，

所以.故选：C

例8．（2020·四川宜宾·高三三模）如图，在平面四边形中，，，，，，若点F为边上的动点，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【解析】以为原点建立如图所示平面直角.

依题意，，，

在三角形中，由余弦定理得

.

所以，所以.

而，所以.

在三角形中，由余弦定理得.

所以，所以.

在三角形中，，所以三角形是等边三角形，

所以.

所以，设

依题意令，即，

所以，所以，

所以

.

对于二次函数，其对称轴为，开口向上，所以当时，有最小值，也即有最小值为.

故选：B

【精选精练】

1．（2020·湖北沙区·沙市中学高三三模）菱形中，，，点为线段的中点，则为(    )

A． B．3 C． D．

【答案】B

【解析】建立如图所示坐标系，，，，，

所以，

则，，

所以，故选：B.

2．（2020·宁夏银川·高三三模）在△ABC中，D为BC的中点，且AB＝6，AC＝8，则的值是（    ）

A．﹣28 B．﹣14 C．14 D．28

【答案】C

【解析】在△ABC中，D为BC的中点，AB＝6，AC＝8，

则；

∴．

故选：C．

3．（2020·河南洛阳·高三三模）在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（    ）．

A． B． C．4 D．9

【答案】B

【解析】根据题意，，则

在中，又,

则

则

则

则

故选：B

4．（2020·湖南益阳·高三三模）在中，，，，则（    ）

A．-4 B．-2 C．2 D．4

【答案】D

【解析】因为，所以，

以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，

因为，所以，，，，

又，所以，

所以点，所以，

所以.

故选：D.

5．（2020·江西东湖·南昌二中高三三模）中，，，是的中点，若，则（    ）

A．0 B．2 C．4 D．8

【答案】D

【解析】根据题意，作出如下所示的图形：

，，

是的中点，，

，

.故选：.

6．（2020·北京市八一中学三模）在中，，，点在边上，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】以的中点为原点，过垂直于的直线为轴，为轴，

建立平面直角坐标系，如图：

则，，

设，，，

，，

则由，得，

化简，

所以，

由，因为，所以，

所以，

所以的取值范围为.故选：A

7．（2020·长春市第八中学高三三模）已知菱形的边长为2，，点、分别在直线、上，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由已知可得，

，

，

所以

，

所以.故选：D

8．（2020·四川青羊·树德中学高三三模）已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，

则，，，设，

所以，，，

所以，

，

当时，所求的最小值为.

故选：B

9．（2020·四川省绵阳南山中学三模）若向量的模均为1，且，则的最大值为（    ）

A． B．3 C．5 D．7

【答案】D

【解析】设，依题意，而向量的模均为.以分别为轴建立平面直角坐标系，如下图所示，由于，所以点在单位圆上.由此可得.

所以

，其中.

由于，所以当时，取得最大值为.故选：D

10．（2020·邵阳市第二中学三模）已知四边形是边长为1的正方形，P为对角线上一点，则的最小值是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【解析】作出图形如下图所示，，而此时，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是，

故选：B.

11．（2020·浙江三模）空间向量，，两两垂直，，，，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【解析】由题意

，

又，

，

.故选：A.

12．（2020·四川青羊·石室中学高三三模）已知单位向量，满足，若存在向量，使得，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意,设向量,的夹角为,若,

则,

即,解得:.

则在直角坐标系中,设,

则,

则有,若,

则有,

即,

变形可得: ,

点C在以为圆心,半径为1的圆上,设,

则,则有,

则有,

所以的取值范围是故选:C.