第28讲-向量的分解与向量的坐标运算（解析版）学案

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第28讲-向量的分解与向量的坐标运算
一、 考情分析
1.了解平面向量的基本定理及其意义；
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
二、 知识梳理
1.平面向量的基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[微点提醒]
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
三、 经典例题
考点一　平面向量基本定理及其应用
【例1-1】 （2020·天津一中高三月考）已知菱形的边长为，，点分别在边上，，.若，则的值为 .
【答案】.
【解析】∵BC＝3BE，DC＝λDF，
∴，，
，，
∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，
∴||＝||＝2，•2×2×cos120°＝﹣2，
∵•1，
∴（）•（）（1）•1，
即44﹣2（1）＝1，
整理得，
解得λ＝2，
【例1-2】（2020·江苏省高三一模）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2＝_____．
【答案】
【解析】由题,因为,
所以,
所以,,
则,
故答案为:
【例1-3】（2020·全国高三（文））在平行四边形ABCD中，，，，若，则__________.
【答案】21
【解析】如图所示：

因为，，所以，
又，
，又，
所以，
，，所以，
代入数据可得.
【例1-4】（2020·辽宁省高三其他（文））已知，若点满足，且，则________．
【答案】
【解析】由，可得，
所以，，即，
所以，，故．
【例1-5】（2020·天津高三二模）在平行四边形中，已知，，，若，，则_______.
【答案】
【解析】由题意，如图所示，设，则，
又由，，所以为的中点，为的三等分点，
则，，
所以
．
故答案为：


规律方法　1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
考点二　平面向量的坐标运算
【例2-1】 （2020·天津市第一百中学高三其他）已知菱形的边长为，，点、分别在边，上，，，若，则的最小值__________．
【答案】
【解析】,.由于,在区间上为增函数,故当时取得最小值为.
【例2-2】（2020·陕西省高三其他（理））已知，，则_____．
【答案】
【解析】因为，，
所以，
则，
故答案为：.
【例2-3】（2020·福建省高三其他（理））已知向量，，若，则______.
【答案】12
【解析】，，，
，，解得，
故答案为：12.
【例2-4】（2020·安徽省高三三模（文））已知向量，，，若，则的值是_____．
【答案】
【解析】，，，
，且，，解得.
【例2-5】（2020·浙江省杭师大附中高三其他）是边长为6的正三角形，点C满足，且，，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，

∴ ，，，
∴ ，
∴
∴，
∵ ，，
∴ ，，
∴，
∴ 由二次函数的性质知，∴

规律方法　1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.
2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.
考点三　平面向量共线的坐标表示　
【例3－1】（2020·河南省高三三模（文））已知向量若与平行，则m＝_____．
【答案】4
【解析】由题意可知若和平行，
则，解得：
【例3－2】（2020·辽宁省高三其他（文））设向量，若向量与同向，则x＝_______.
【答案】3
【解析】若向量与同向,则，解得，
又当时，与反向，所以.
【例3－3】（2020·四川省阆中中学高三其他（文））已知向量，，且，共线，则______；
【答案】－20
【解析】由题知：，共线，所以，解得.
所以，.
【例3－4】（2020·山东省高三其他）已知，，且，则实数__________．
【答案】
【解析】由题意，，由，得，解得.
【例3－5】（2020·广东省高三其他（文））已知向量，，若与共线，则实数的值为_____．
【答案】2
【解析】根据题意，向量，，
若与共线，则有，解得；

规律方法　1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.

[方法技巧]
1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.
3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.
4.注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.
5.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.
四、 课时作业
1．（2020·广西壮族自治区高三一模（文））已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由，得，解得.
2．（2020·广东省深圳第三高中高三学业考试）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以=（5，7），故选A.
3．（2020·江西省江西师大附中高三三模（文））已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为向量，，
所以，
所以，
4．（2020·河南省高三其他（文））已知向量，，且，则（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
又因为，
所以.
5．（2020·北京八中高三月考）已知向量若与共线，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为与共线，所以，解得：
6．（2020·河南省高三其他（文））设，，若，则( )
A． B． C．1 D．1或
【答案】A
【解析】因为，又，所以，
解得.
7．（2020·河南省高三其他（理））已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以；
因为向量，的夹角为锐角，所以有，解得.
又当向量，共线时，，解得：，
所以实数的取值范围为.
8．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（理））“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ）

A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】由题意建立如图所示直角坐标系

因为，，则，，，，，设，因为，所以，解得.由，得，所以解得
所以，故选：B.
9．（2020·四川省眉山市彭山区第二中学高三其他（文））若向量BA=2,3，CA=4,7，则BC等于( )
A．6,10 B．2,4 C．−2,−4 D．−6,−10
【答案】C
【解析】AC=−4,−7，所以BC=BA+AC=2,3+−4,−7=−2,−4.
10．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（文））“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意建立如图所示的直角坐标系，

因为，，则，，.
设，则，，
因为，所以，
解得，
由，得，
所以
解得，
所以.
11．（2020·四川省仁寿第二中学高三三模（理））在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．-1 D．
【答案】C
【解析】以A为原点，直线AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，
直线，圆C与直线BD相切，所以圆C的半径，圆C的方程为，
设点，即，
又，
∴，
所以.
即时，取得最小值．
故选：C．

12．（2020·浙江省高二期末）如图，，与的夹角为，若，则（　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵与 的夹角为135°，
∴，
若，
则
∴16＝4λ2+16×2+8λ×（﹣2），
∴λ＝2
13．（2020·全国高三其他（文））在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,DC//AB,AD=DC=1，AB=2，E,F分别为AB,BC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE中点为P(如图所示).若AP=λED+μAF，其中λ,μ∈R，则λ+μ的值是（ ）

A．22 B．324 C．2 D．34
【答案】B
【解析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，E(1,0)，D(0,1)
P(22,22)，F(32,12)，
∵AP=λED+μAF，∴(22,22)=λ(−1,1)+μ(32,12)，
∴{22=−λ+32μ22=λ+12μ，解得：{λ=24μ=22，则λ+μ=324，故选B.
14．（2020·全国高三其他（文））向量，，，满足条件．，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】向量，则，
故解得.
15．（2020·山西省高三月考（理））已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点．把点绕点顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，
把点绕点A逆时针方向旋转后，
得，
∴点A（1，2），
∴点P的坐标为．
16．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模（理））已知向量，其中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，.
，，则，
解得，又，因此，，故选：A.
17．（2020·山西省高三月考（理））如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的动点（，不取端点），且．设，则的范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，如图所示，
设，则，
所以，
可得，，
所以,
设，（其中）
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，此时，
又由，即函数，
所以，即，
即的取值范围是.
故选：D.

18．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】D
【解析】由题意可知：，
三点共线，则：，据此有：
，
当且仅当时等号成立.
综上可得：的最小值是12.
19．（2020·四川省高三期末（文））设中边上的中线为，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：

为的中点，则，
，，
，
20．（2020·全国高三月考（理））设点在的内部,且有,则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，取中点，，则，∴，
∵，∴，∴.
21．（2020·重庆高一期末）已知P为在平面内的一点，，若点Q在线段上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，
，
，
设，则（当时取等号）.
所以的最小值为.
故选：B.

22．（2020·安徽省舒城中学高一月考（理））在中，已知分别是边上的三等分点，则的值是（ ）
A． B． C．6 D．7
【答案】B
【解析】∵，
∴
∴
∵
∴
∴是等边三角形，即.
∵分别是边上的三等分点
∴，

∴

∵，，
∴

23．（2020·全国高三其他（理））已知平面内的两个单位向量，，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为30°，且，若，则值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】由题意，可得在的角平分线上，所以,
再由可得，即，
再由，
得，
解得，故，所以，故选D.
24．（2020·辽宁省高三月考（理））如图是由等边△和等边△构成的六角星，图中的，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为.若，则（ ）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由平行四边形法则，，所以，，所以
以点为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，


设等边三角形的边长为.
则等边三角形的高为，
由，，，，，均为三等分点，
则,
所以
,,

所以，解得
所以
故选：B.
25．（2016·河北省高三一模（理））延长正方形的边至，使得．若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，下列判断正确的是（ ）

A．满足的点必为的中点
B．满足的点有且只有一个
C．的最小值不存在
D．的最大值为
【答案】D
【解析】设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则的坐标为，则设，由得
，所以，当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；由以上讨论可知，当时，可为的中点，也可以是点，所以A错；使的点有两个，分别为点与中点，所以B错，当运动到点时，有最小值，故C错，当运动到点时，有最大值，所以D正确，故选D．


26．（多选题）（2020·上海高三专题练习）在下列向量组中，不能把向量表示出来的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【解析】对A，零向量与任何向量都是共线向量，故 ，不能做为一组基底，故A不能；
对B，，∴ ，不共线，故B能．
对C，∵，∴ ，不能做为一组基底，故C不能．
对D，，∴，不能做为一组基底，故D不能．
27．（多选题）（2020·山东省高三其他）已知向量其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A． 与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为
C． D．的最大值为2
【答案】CD
【解析】由题意知，，所以与的夹角为锐角，故选项A错误；
向量在方向上的投影为，故选项B错误；
，因为，均为正数，所以为非零向量，
且，故选项C正确；
由基本不等式知，，，当且仅当时取等号，
故的最大值为2，故选项D正确.
28．（多选题）（2019·江苏省高一期末）已知向量，，若向量，则可使成立的可能是 （ ）
A．(1,0) B．(0,1) C．(−1,0) D．(0,−1)
【答案】AC
【解析】
若,则,解得,,满足题意;
若,则,解得,,不满足题意;
因为向量与向量共线,所以向量也满足题意.
29．（多选题）（2019·全国高一课时练习）已知向量，，则下列叙述中，不正确是（ ）
A．存在实数x，使 B．存在实数x，使
C．存在实数x，m，使 D．存在实数x，m，使
【答案】ABC
【解析】由，得，无实数解，故A中叙述错误；，由，得，即，无实数解，故B中叙述错误；，由，得，即，无实数解，故心中叙述错误；由，得，即，所以，，故D中叙述正确．
30．（多选题）（2020·山东省高三三模）已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由题意，A错；
.B正确，C错误；
，D正确．
31．已知，求和，使.
【解析】
，解得
32．（2020·上海高三专题练习），，，在线段上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标．
【解析】设，则．
则，
．
∵，
∴．
整理得，解得或．
∴点的坐标为或．
33．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（理））已知，.
（1）求；
（2）当为何实数时，与平行.
【解析】(1)由题, .故.
(2) ,又由(1)有.
因为与平行,故,解得.
34．（2020·上海高三专题练习）如图，在中，，分别在，上，，，与交于点，，，求和的值．

【解析】因为，
所以，
因为且，
所以，即，
解得，
35．（2019·浙江省学军中学高三期中）已知在中，，．
（1）若的平分线与边交于点，求；
（2）若点为的中点，求的最小值．
【解析】（1）因为是角平分线，从而得到
所以可得，
所以；
（2）在和由用余弦定理可得
，，
而，，
所以得到
整理得：



当且仅当时，等号成立.