2018-2019学年东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等高三（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等高三（上）期末数学试卷（理科），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，，集合与关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为　　A． B．，2， C．，1， D．，2．（5分）虚数单位，复数在复平面内对应的点的坐标为　　A． B． C． D．3．（5分）等比数列各项均为正数，若，，则的前6项和为　　A．1365 B．63 C． D．4．（5分）如图，点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则　　A． B． C． D．5．（5分）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为　　A． B．5 C． D．26．（5分）已知，，，则　　A． B． C． D．7．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入，的值分别为5，2，则输出的值为　　A．64 B．68 C．72 D．1338．（5分）如图所示是某三棱锥的三视图，其中网格纸中每个小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的体积为　　A． B． C． D．9．（5分）为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为　　A．336 B．340 C．352 D．47210．（5分）在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点．有以下三个命题：①异面直线与所成的角是定值；②三棱锥的体积是定值；③直线与平面所成的角是定值．其中真命题的个数是　　A．3 B．2 C．1 D．011．（5分）2018年，国际权威机构发布的全球手机销售报告显示：华为突破2亿台出货量超越苹果的出货量，首次成为全球第二，华为无愧于中国最强的高科技企业．华为业务余承东明确表示，华为的目标，就是在2021年前，成为全球最大的手机厂商．为了解华为手机和苹果手机使用的情况是否和消费者的性别有关，对100名华为手机使用者和苹果手机使用者进行统计，统计结果如表：手机品牌性别华为苹果合计男301545女451055合计7525100附：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828根据表格判断是否有的把握认为使用哪种品牌手机与性别有关系，则下列结论正确的是　　A．没有把握认为使用哪款手机与性别有关 B．有把握认为使用哪款手机与性别有关 C．有把握认为使用哪款手机与性别无关 D．以上都不对12．（5分）已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，直线，分别交抛物线与，两点，若，则　　A．1 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设，满足条件，则的最小值为　　．14．（5分）由曲线与它在处切线以及轴所围成的图形的面积为　　．15．（5分）已知正方形的边长为4，是的中点，动点在正方形的内部或其边界移动，并且满足，则的取值范围是　　．16．（5分）已知数列的前项和为，若是和的等比中项，设，则数列的前60项和为　　．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为，（1）求；（2）若，，求的值．18．（12分）2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在，之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：（1）求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，作者年龄服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．利用该正态分布，求；央视媒体平台从年龄在，和，的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间，的人数是，求变量的分布列和数学期望．附：，若，则，19．（12分）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面．（1）若点是的中点，求证：平面；（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知平面直角坐标系内的动点到直线的距离与到点的距离比为．（1）求动点所在曲线的方程；（2）设点为曲线与轴正半轴的交点，过坐标原点作直线，与曲线相交于异于点的不同两点、，点满足，直线和分别与以为圆心，为半径的圆相交于点和点，求与的面积之比的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）若，证明：；（2）若只有一个极值点，求的取值范围．选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）已知曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数．（1）若（a），解不等式（a）；（2）求证：．
2018-2019学年东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【解答】解：集合对应的集合为，，1，2，，，则，，故选：．【解答】解：，复数在复平面内对应的点的坐标为．故选：．【解答】解：设公比为，，，，等比数列各项均为正数，，解得，，故选：．【解答】解：点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，，，即，，且，．则，故选：．【解答】解：焦点到渐近线的距离等于实轴长，，、故选：．【解答】解：，，，因为为增函数，，所以，故，因为为增函数，，所以，故，故，故选：．【解答】解：模拟程序的运行，可得，，，满足进行循环的条件，执行循环体，，，，满足进行循环的条件，执行循环体，，，，满足进行循环的条件，执行循环体，，，，满足进行循环的条件，执行循环体，，，，满足进行循环的条件，执行循环体，，，，不满足进行循环的条件，退出循环，输出的值为68．故选：．【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：故几何体的外接球的半径为2，故：，故选：．【解答】解：分2类，政部门选1人，再分两种，第一种，另外2人来自同一部门，种，第二种，另外2人来自两个部门，则有种，政部门选2人，则有种，根据分类计数原理，得，故选：．【解答】解：由正方体可得在平面内，与在平面内的射影为，由，由三垂线定理可得，同理可得，可得平面，即有，故①正确；三棱锥的体积即为的体积，由为的中点，三角形在平面内，即有到平面的距离为定值，三角形的面积为矩形的面积的一半，故②正确；由于到平面的距离为定值，线段的长不为定值，即与平面所成的角不是定值，故③错误．故选：．【解答】解：根据题意计算，对照表中数据判断没有的把握认为使用哪种品牌手机与性别有关系．故选：．【解答】解：如图，由题意，图形关于轴对称，，、，、三点共线，由焦半径公式，，，．，由可得，，，，，．故选：．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；设目标函数，可化为，由图形知，目标函数过点时，取得最小值；由，解得，则的最小值为．故答案为：2．【解答】解：函数的导数，则在处的导数（1），即切线斜率，（1），即切点为，则切线方程为，即，与的交点坐标为，则所围成图形的面积，故答案为：【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：则，，，，设，，它表示以为直径的右半圆，，则，它表示圆心为，半径为的左半圆，依题意：两个半圆有交点，圆心距且点在半圆上或外，且，且，即，故答案为：，【解答】解：是和的等比中项，可得，时，，即有，解得；时，，，即有，由，，，，显然时上式成立，，，即有，，，可得数列的前60项和为．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【解答】解：（1）的面积为，，，；又，，即；又，，，；（2）由，，，，，，，，，【解答】解：（1）由频率分布直方图，求得这100位作者年龄的样本平均数为；方差为；（2）由（1）知，，从而；根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在，内有3人，在，内有4人，故可能的取值为0，1，2，3；计算，，，；所以的分布列为：0123所以的数学期望为．【解答】证明：（1）连接，由已知得，，且所以四边形是平行四边形，即（2分）又平面，平面，所以平面（4分）解：（2）取中点，连接，因为是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，由于平面（6分）所以，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，0，，，0，，，1，，假设点存在，设点的坐标为，，，（7分）设平面的法向量则，即，可取（9分）平面的法向量为（10分）所以，，解得：（11分）又由于二面角大小为锐角，由图可知，点在线段上，所以，即（12分）【解答】解：（1）设点的坐标为．由题意知，化简得，动点的轨迹方程为：．（2），．的方程为：．设直线的方程为，，点，，，，不妨设，．．直线的方程为：，直线的方程为：．点到直线的距离，．的面积．同理可得：点到直线的距离，．的面积．．联立，可得：，解得．令．，．【解答】解：（1）当时，等价于，即；（1分）设函数，则，（2分）当时，；当时，．所以在上单调递减，在单调递增．故（2）为的最小值，（3分）而，故，即．（4分）（2），设函数，则；当时，，在上单调递增，又，取满足且，则（b），故在上有唯一一个零点，且当时，，，时，，由于，所以是的唯一极值点；（6分）当时，在上单调递增，无极值点；（7分）当时，若时，；若时，．所以在上单调递减，在单调递增．故为的最小值，①若时，由于，故只有一个零点，所以时，因此在上单调递增，故不存在极值；②若时，由于，即，所以，因此在上单调递增，故不存在极值；③若时，，即．又，且，而由（1）知，即，令，则，则，所以，取满足，则故在有唯一一个零点，在有唯一一个零点；且当时，当，时，，当，时，由于，故在处取得极小值，在处取得极大值，即在上有两个极值点．（11分）综上，只有一个极值点时，的取值范围是（12分）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解答】解：（1）由曲线的参数方程为参数），得：，即曲线的普通方程为．又，，曲线的极坐标方程为，即．曲线的极坐标方程可化为，故曲线的直角方程为．（2）由已知，设点和点的极坐标分别为，，，其中，则，．于是．由，得，故的取值范围是．[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解答】解：（1）因为，所以（a），（1分）即，或（3分）故不等式（a）的解集为（4分）（2）由已知得：（6分）所以在上递减，在递增（7分）即，所以（10分）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/12/17 21:20:39；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267