2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（理科），共45页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）已知（i是虚数单位），那么z的共轭复数对应的点位于复平面内的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）（2017秋•河南期末）若x＞0，y＞0，则“”的一个充分不必要条件是（　　）
A．x＝y B．x＝2y C．x＝2，且y＝1 D．x＝y或y＝1
3．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）若a＜b＜0，则下列不等式中一定不成立的是（　　）
A． B． C．|a|＞﹣b D．
4．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2015，S6﹣2S3＝18，则S2017＝（　　）
A．2016 B．2017 C．﹣2015 D．﹣2018
5．（5分）（2017秋•盐湖区期末）设点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝x+2 D．y＝x﹣2
7．（5分）（2014•滨州二模）已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值为（　　）
A．9 B．12 C．18 D．24
8．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）已知数列{an}为等比数列，若a5＝2，则数列{an}的前9项之积T9等于（　　）
A．512 B．256 C．128 D．64
9．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）若函数f（x）＝a（x﹣2）ex+lnx﹣x存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a的取值范围为（　　）
A．（，） B．（，）
C．（，0] D．（，0]
10．（5分）（2016春•德州期末）定义为n个正数p1，p2…pn的“平均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“平均倒数”为，又bn，则等于（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）（2018•大观区校级模拟）已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是（　　）
A．（0，2） B．[2，+∞） C．（0，2] D．（2，+∞）
12．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）已知可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f′（x）+2，且f（x）﹣2019为奇函数，则不等式f（x）﹣2017ex＜2的解集为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置）
13．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣y的最小值是　 　．
14．（5分）（2017春•廊坊期末）已知命题p：∀x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则命题p的否定为　 　．
15．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）若∫（2x）dx＝　 　．
16．（5分）（2017•海淀区二模）已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|＝|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是　 　．
三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）
17．（10分）（2017秋•皇姑区校级期末）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：
（Ⅰ）点A所在的象限；
（Ⅱ）向量对应的复数．
18．（12分）（2016秋•宁城县期末）已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程1表示焦点在x轴上的双曲线．
（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．
19．（12分）（2017秋•皇姑区校级期末）已知函数f（x）＝ax2+2x+c的最低点为（﹣1，﹣2）．
（1）求不等式f（x）＞7的解集；
（2）若对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2恒成立，求实数t的取值范围．
20．（12分）（2017秋•皇姑区校级期末）在数列{an}中，a1＝4，前n项和Sn满足Sn＝an+1+n．
（1）求证：当n≥2时，数列{an﹣1}为等比数列，并求通项公式an；
（2）令，求数列{bn}的前n项和为Tn．
21．（12分）（2017秋•定远县期末）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率是，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴顶点分别为A，B，如图所示，△ABF2的面积为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（﹣1，1）且斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B点），证明：直线BM和BN的斜率和为定值．

22．（12分）（2018•香坊区校级模拟）已知函数f（x）＝x（lnx﹣k﹣1），k∈R
（1）当x＞1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求实数k的取值范围；
（3）若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），证明：x1•x2＜e2k．

2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）已知（i是虚数单位），那么z的共轭复数对应的点位于复平面内的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简，求出对应的点的坐标得答案．
【解答】解：由，
得，
则．
∴对应的点的坐标为：（，），位于复平面内的第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．（5分）（2017秋•河南期末）若x＞0，y＞0，则“”的一个充分不必要条件是（　　）
A．x＝y B．x＝2y C．x＝2，且y＝1 D．x＝y或y＝1
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质求出答案即可．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，
∴x+2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号，
故“x＝2且y＝1”是“x+2y＝2”的充分不必要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．
3．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）若a＜b＜0，则下列不等式中一定不成立的是（　　）
A． B． C．|a|＞﹣b D．
【考点】R3：不等式的基本性质．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．
【分析】根据不等式的基本性质判断即可．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴，
故A错误，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质的应用，是一道基础题．
4．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2015，S6﹣2S3＝18，则S2017＝（　　）
A．2016 B．2017 C．﹣2015 D．﹣2018
【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据a1＝﹣2015，S6﹣2S3＝18，利用求和公式可得d，即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝﹣2015，S6﹣2S3＝18，
∴d﹣218，
化为：9d＝18，解得d＝2．
则S2017＝2017×（﹣2015）2017．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）（2017秋•盐湖区期末）设点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设F1（﹣c，0），A（﹣c，y0），c2＝a2+2，A点代入双曲线的方程，解得y0，由三角形的面积公式，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，可得渐近线方程．
【解答】解：设F1（﹣c，0），A（﹣c，y0），c2＝a2+2，
则1，则y02＝2•，
又2，
即为•2c•|2y0|2，
即为，则，
故该双曲线的渐近线方程为y＝±x．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．
6．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝x+2 D．y＝x﹣2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用．
【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．
【解答】解：y＝xex﹣1的导数为y′＝（1+x）ex﹣1，
可得曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线斜率为2，
曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），
即为y＝2x﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．
7．（5分）（2014•滨州二模）已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值为（　　）
A．9 B．12 C．18 D．24
【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】变形利用基本不等式即可得出．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，不等式恒成立，∴．
∵612，当且仅当a＝3b时取等号．
∴m的最大值为12．
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
8．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）已知数列{an}为等比数列，若a5＝2，则数列{an}的前9项之积T9等于（　　）
A．512 B．256 C．128 D．64
【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由等比数列的性质可得：a1a9＝a2a822＝4．即可得出数列{an}的前9项之积T9．
【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a9＝a2a822＝4．
∴数列{an}的前9项之积T9＝a1a9•a2a8•…a5＝44×2＝29＝512．
故选：A．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）若函数f（x）＝a（x﹣2）ex+lnx﹣x存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a的取值范围为（　　）
A．（，） B．（，）
C．（，0] D．（，0]
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】先求导，再由f'（x）＝0得到x＝1或aex0（*），根据（*）无解和函数的极值大于0即可求出a的范围，
【解答】解：f（x）＝a（x﹣2）ex+lnx﹣x，x＞0，
∴f′（x）＝a（x﹣1）ex1＝（x﹣1）（aex），
由f'（x）＝0得到x＝1或aex0（*）
由于f（x）仅有一个极值点，
关于x的方程（*）必无解，
①当a＝0时，（*）无解，符合题意，
②当a≠0时，由（*）得，a，
设g（x）＝xex，
∴g′（x）＝ex（x+1）＞0恒成立，
∴g（x）为增函数，
∴函数y为减函数
∴当x→+∞时，y→0
∴a＜0
∴x＝1为f（x）的极值点，
∵f（1）＝﹣ae﹣1＜0，
∴a
综上可得a的取值范围是（，0]
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．（5分）（2016春•德州期末）定义为n个正数p1，p2…pn的“平均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“平均倒数”为，又bn，则等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由题意和“平均倒数”的定义列出方程，求出数列{an}的前n项和为Sn，根据求出an，代入bn化简求出bn，代入化简后利用裂项相消法求出式子的和．
【解答】解：由题意和“平均倒数”得，，
设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n2+n，
当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1
＝（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]＝4n﹣1，
当n＝1时也适合上式，∴an＝4n﹣1，则bnn，
∴，
∴（1）+（）+…+（）
，
故选：B．
【点评】本题考查新定义的理解与应用，利用公式求数列的通项，以及裂项相消法求数列的和，考查化简、变形能力．
11．（5分）（2018•大观区校级模拟）已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是（　　）
A．（0，2） B．[2，+∞） C．（0，2] D．（2，+∞）
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设直线PQ的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得R点坐标，求得OR的方程，代入抛物线方程，即可求得S点坐标，由则，即可求得答案．
【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），
，消去y，整理得：k2x2﹣4（k2+2）x+4k2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0），S（x3，y3），
则x1+x2，则x0，y0＝k（x0﹣2），
∴kOS，则直线OS的方程为yx，，解得：x3，
由k2＞0，则k2+2＞0，
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
12．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）已知可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f′（x）+2，且f（x）﹣2019为奇函数，则不等式f（x）﹣2017ex＜2的解集为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C． D．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4M：构造法；53：导数的综合应用．
【分析】令2017g（x），（x∈R），从而求导g′（x）＜0，从而可判断y＝g（x）单调递减，再由奇函数的性质可得，f（0）＝2019，从而可得到不等式的解集．
【解答】解：设2017g（x），由f（x）＞f′（x）+2，
得：g′（x）0，
故函数g（x）在R递减，
由f（x）﹣2019为奇函数，得f（0）＝2019，
∴2017g（0）＝f（0）﹣2＝2017，即g（0）＝1，
∵不等式f（x）﹣2017ex＜2，
∴2017，即2017g（x）＜2017g（0），
即有g（x）＜g（0），
结合函数的单调性得：x＞0，
故不等式f（x）﹣2017ex＜2的解集是（0，+∞），
故选：B．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置）
13．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣y的最小值是　﹣2　．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5T：不等式．
【分析】作出满足不等式组的可行域，由z＝2x﹣y可得y＝2x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图形可求z的最大值
【解答】解：作出变量x，y满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：
由于z＝2x﹣y可得y＝2x﹣z，则﹣z表示目标函数在y轴上的截距，截距越大，z越小
作直线L：y＝2x，然后把直线l向平域平移，由题意可得，直线平移到A时，z最小，
由可得A（，3），此时z＝﹣2．
故答案为：﹣2

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．
14．（5分）（2017春•廊坊期末）已知命题p：∀x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则命题p的否定为　∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0　．
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可
【解答】解：∵p：∀x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则￢p为∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0，
故答案为：∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0
【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．
15．（5分）（2017秋•皇姑区校级期末）若∫（2x）dx＝　3+ln2　．
【考点】67：定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】根据微积分基本定理计算即可
【解答】解：∫（2x）dx22+ln2﹣12﹣ln1＝3+ln2
故答案为：3+ln2．
【点评】本题主要考查了微积分定理，关键是求出原函数，属于基础题．
16．（5分）（2017•海淀区二模）已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|＝|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是　①③　．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】运用椭圆的定义可得P也在椭圆1上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；
通过b的变化，可得②不正确；由图象可得当P的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|OP|的值取得最小，即可判断③．
【解答】解：椭圆G：的两个焦点分别为
F1（，0）和F2（，0），
短轴的两个端点分别为B1（0，﹣b）和B2（0，b），
设P（x，y），点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|＝|PF1|+|PF2|，
由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|＝2a＝22b，
即有P在椭圆1上．
对于①，将x换为﹣x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，
故①正确；
对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b，
则椭圆G上满足条件的点P有4个，
不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确；
对于③，由图象可得，当P满足x2＝y2，即有6﹣b2＝b2，即b时，
|OP|取得最小值，可得x2＝y2＝2，即有|OP|的最小值为2，故③正确．
故答案为：①③．

【点评】本题考查椭圆的定义和方程的运用，以及对称性，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题．
三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）
17．（10分）（2017秋•皇姑区校级期末）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：
（Ⅰ）点A所在的象限；
（Ⅱ）向量对应的复数．
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】（I）利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
（II）利用复数的几何意义即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）z1+i，所以1﹣i，
所以点A（1，﹣1）位于第四象限．…（5分）
（Ⅱ）又点A，B关于原点O对称．
∴点B的坐标为B（﹣1，1）．
因此向量对应的复数为﹣1+i．…（10分）
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（12分）（2016秋•宁城县期末）已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程1表示焦点在x轴上的双曲线．
（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．
【考点】2E：复合命题及其真假；KB：双曲线的标准方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．
【分析】（Ⅰ）命题q为真命题，由已知得，可求实数k的取值范围；
（Ⅱ）根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q真”即可得出实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当命题q为真时，由已知得，解得1＜k＜4
∴当命题q为真命题时，实数k的取值范围是1＜k＜4…（5分）
（Ⅱ）当命题p为真时，由k2﹣8k﹣20≤0解得﹣2≤k≤10…（7分）
由题意得命题p、q中有一真命题、有一假命题 …（8分）
当命题p为真、命题q为假时，则，
解得﹣2≤k≤1或4≤k≤10．…（10分）
当命题p为假、命题q为真时，则，k无解．…（12分）
∴实数k的取值范围是﹣2≤k≤1或4≤k≤10．…（13分）
【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．
19．（12分）（2017秋•皇姑区校级期末）已知函数f（x）＝ax2+2x+c的最低点为（﹣1，﹣2）．
（1）求不等式f（x）＞7的解集；
（2）若对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2恒成立，求实数t的取值范围．
【考点】3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】（1）根据二次函数的性质求出a＝1，c＝﹣1，再解f（x）＞7即可，
（2）对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2恒成立转化为（）2t﹣1≤（）2，求出范围即可
【解答】解：（1）依题意，得1，①
f（﹣1）＝a﹣2+c＝﹣2，②
由①②解得，a＝1，c＝﹣1．
∴f（x）＝x2+2x﹣1．
则原不等式可化为x2+2x﹣8＞0，解得x＜﹣4或x＞2．
故不等式f（x）＞7的解集为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．
（2）对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2恒成立，得（x﹣t+1）2﹣2≤x﹣2，
即x﹣t+1，则xt﹣1≤x，
即（）2t﹣1≤（）2．
∵x∈[2，4]，
∴（）2的最小值是（）22．
∴（）2的最大值是（）22．
∴2≤t﹣1≤2，即3≤t≤3．
故实数t的取值范围是[3，3]．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次不等式的求解及恒成立问题，深刻把握“三个二次”间的关系是解决问题的关键，恒成立问题常转化为函数最值解决．
20．（12分）（2017秋•皇姑区校级期末）在数列{an}中，a1＝4，前n项和Sn满足Sn＝an+1+n．
（1）求证：当n≥2时，数列{an﹣1}为等比数列，并求通项公式an；
（2）令，求数列{bn}的前n项和为Tn．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；33：函数思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）由已知数列递推式可得当n≥2时，an＝sn﹣sn﹣1＝an+1+n﹣an﹣n+1，即an+1﹣1＝2（an﹣1），再由等比数列的通项公式可得数列{an}的通项公式；
（2）把{an}的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列{bn}的前n项和为Tn．
【解答】（1）证明：n＝1，a1＝4．
当n≥2时，an＝sn﹣sn﹣1＝an+1+n﹣an﹣n+1，
∴an+1﹣1＝2（an﹣1），
∴，
则，得 ，
∴an；
（2）解：当n＝1时，．
当n≥2时，，
∴当n＝1时，，
当n≥2时，，
令，
∴，
∴，
∴，
∴．
经检验n＝1时，T1也适合上式．
∴（n∈N*）．
【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．
21．（12分）（2017秋•定远县期末）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率是，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴顶点分别为A，B，如图所示，△ABF2的面积为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（﹣1，1）且斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B点），证明：直线BM和BN的斜率和为定值．

【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用离心率以及三角形的面积，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．
（2）联立直线与椭圆方程．设出MN的坐标，利用韦达定理，转化求解斜率，推出定值即可．
【解答】解：（1），a2＝2c2，b2＝c2，又bc＝1，∴
所以椭圆的标准方程为
（2）证明：设直线l的方程为y＝k（x+1）+1，M（x1，y1），N（x2，y2）
联立得（2k2+1）x2+4k（k+1）x+2k2+4k＝0，
∴，
∴
．
．
∴直线BM与BN的斜率之和为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
22．（12分）（2018•香坊区校级模拟）已知函数f（x）＝x（lnx﹣k﹣1），k∈R
（1）当x＞1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求实数k的取值范围；
（3）若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），证明：x1•x2＜e2k．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；36：整体思想；4M：构造法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）由题意x＞0，lnx﹣k，由此根据k≤0，k＞0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．
（2）问题转化为k+1对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x），则，令t（x）＝4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．
（3）设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2，即证，由此利用导数性质能证明x1x2＜e2k．
【解答】解：（1）∵f（x）＝（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），
∴x＞0，lnx﹣k，
①当k≤0时，∵x＞1，∴f′（x）＝lnx﹣k＞0，
函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；
②当k＞0时，令lnx﹣k＝0，解得x＝ek，
当1＜x＜ek时，f′（x）＜0；当x＞ek，f′（x）＞0，
∴函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+∞），
在区间（1，+∞）上的极小值为f（ek）＝（k﹣k﹣1）ek＝﹣ek，无极大值．
（2）∵对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，
∴f（x）﹣4lnx＜0，
即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x∈[e，e2]恒成立，
即k+1对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x），则，
令t（x）＝4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，
∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min＝t（e）＝e﹣4+4＝e＞0，故g′（x）＞0，
∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max＝g（e2）＝2，
要使k+1对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，
∴k+1＞2，即实数k的取值范围是（1，+∞）．
证明：（3）∵f（x1）＝f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，
在区间（ek，+∞）上单调递增，且f（ek+1）＝0，
不妨设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，
要证x1x2＜e2k，只要证x2，即证，
∵f（x）在区间（ek，+∞）上单调递增，∴f（x2）＜f（），
又f（x1）＝f（x2），即证f（x1），
构造函数h（x）＝f（x）﹣f（）＝（lnx﹣k﹣1）x﹣（lnk﹣1），
即h（x）＝xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x∈（0，ek）
h′（x）＝lnx+1﹣（k+1）+e2k（）＝（lnx﹣k），
∵x∈（0，ek），∴lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，
∴函数h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h′（x）＜h（ek），
∵，故h（x）＜0，
∴f（x1）＜f（），即f（x2）＝f（x1）＜f（），∴x1x2＜e2k成立．
【点评】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．

考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
键
词

等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）

是


能


都
是



没
有


至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任 意 的
任 两 个
P
且
Q
P
或
Q
否 定 词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）

不
是


不
能

不
都
是

至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个

某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．
3．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．

【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．

【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
4．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a恒成立
即a≤x2
⇒a≤22
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
5．定积分、微积分基本定理
【定积分】
　定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由 y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．

【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间（a，b）内连续．

例1：定积分
解：
∫12|3﹣2x|dx

＝（3x﹣x2）|（x2﹣3x）|

通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则．
解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
9．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
10．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．

（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．

【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （　　）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．

题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．

点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．

题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．

解析　设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．

题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为　　．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是　　．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
11．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x•（8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
12．等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
【例题解析】
eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝　　
解：∵d＝1，S5＝15，
∴5a1d＝5a1+10＝15，即a1＝1，
则S10＝10a1d＝10+45＝55．
故答案为：55
点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．
eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．
解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，
该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．
∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，
n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，
∴．
点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．
【考点点评】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
13．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn．

2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
14．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
15．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
16．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z0且z≠0．
17．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则

18．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
19．双曲线的标准方程
【知识点的认识】
双曲线标准方程的两种形式：
（1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
（a＞0，b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上
（a＞0，b＞0）
中心在原点，焦点在y轴上
图形


顶点
（a，0）和（﹣a，0）
（0，a）和（0，﹣a）
对称轴
x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b
焦点在实轴上
x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b
焦点在实轴上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2+b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2+b2
离心率
e（e＞1）
e（e＞1）
渐近线

即y＝±x

即y＝±x
准线
x＝±
y＝±
20．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
21．直线与椭圆的综合
v．
22．直线与抛物线的综合
v．
23．不等式的基本性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
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