2022年中考数学总复习第3讲《因式分解》讲解(含答案) 学案

第3讲　因式分解

因式分解

1．(·台州)把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．2(x2－8)              B．2(x－2)2             C．2(x＋2)(x－2)       D．2x(x－)

2．(·台州)因式分解：x2＋6x＝____________________.

3．(·金华)分解因式：x2－4＝____________________.

4．(·绍兴)分解因式：a3－9a＝　　　　　　　　.

【问题】给出三个多项式：x2＋x－1，x2＋3x＋1，x2－x.

(1)请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．

(2)结合以上解题的体验，回答因式分解有哪些方法，一般步骤怎样？

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．

类型一　因式分解的意义

　下列式子从左到右变形是因式分解的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21

B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)

C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21

D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25

【解后感悟】此题主要考查因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．

1．下面的多项式中，能因式分解的是(　　)

A．m2＋n　　        B．m2－m＋1      C．m2－n　　　   D．m2－2m＋1

2．(·滨州)把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是(　　)

A．a＝2，b＝3                  B．a＝－2，b＝－3

C．a＝－2，b＝3               D．a＝2，b＝－3

类型二　因式分解的几何性

　如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是____________________________．

【解后感悟】利用图形的面积来解释代数式的恒等变形，这是数形结合思想的应用，是我们学习过程中，常见的列等量关系的依据．

3．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式____________________．

类型三　因式分解的方法

　分解因式：(1)(·绍兴)x2y－y＝__________．

(2)(·安徽模拟)ax2－6ax＋9a＝________．

(3)(x－1)2－9＝________．

(4)(·荆门)(m＋1)(m－9)＋8m＝________．

【解后感悟】多项式分解因式有公因式首先提取公因式，然后再用公式法或其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．第(4)题利用多项式的乘法运算法则展开整理成一般多项式是解题的关键．

4．因式分解：(1)(·温州)m2＋4m＝____________________.

(2)(·丽水)9－x2＝____________________．

(3)a3－4a＝____________________.

(4)(·杭州市江干区模拟)a3b－2a2b＋ab＝____________________.

(5)(·南京)(a－b)(a－4b)＋ab＝____________________．

类型四　因式分解的应用

　(1)已知a＋b＝2，ab＝1，则a2b＋ab2的值为________；

(2)已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x的值为________．

【解后感悟】此题是因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．

5．(1)(·衡阳)已知a＋b＝3，a－b＝－1，则a2－b2的值为____________________．

(2)(·盐城)若2m－n2＝4，则代数式10＋4m－2n2的值为____________________．

6．仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式为(x＋n)，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，∴.解得：n＝－7，m＝－21，∴另一个因式为(x－7)，m的值为－21.

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是(2x－5)，求另一个因式以及k的值．

【阅读理解题】

阅读下列文字与例题：

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)；

(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x－y－1)．

试用上述方法分解因式a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝________．

【方法与对策】(1)当某项正好为公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(2)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(3)公因式也可以是多项式．该题型是中考命题方向．

【忽视提系数的最大公约数、分解不彻底】

因式分解：(1)a3－16a；　(2)4x2－16y2.

参考答案

第3讲　因式分解

【考点概要】

乘积　m(a＋b＋c)　(a＋b)(a－b)　(a±b)2　提公因式　公式法

【考题体验】

1．C　2.x(x＋6)　3.(x＋2)(x－2)　4.a(a＋3)(a－3)

【知识引擎】

【解析】(1)(x2＋x－1)＋(x2＋3x＋1)＝x2＋4x＝x(x＋4)；(x2＋x－1)＋(x2－x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)；(x2＋3x＋1)＋(x2－x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2；(2)因式分解的方法：①提公因式法；②公式法．因式分解的步骤：一提、二套、三查．

【例题精析】

例1　B　例2　a2－b2＝(a＋b)(a－b)．　例3　(1)y(x＋1)(x－1)；(2)a(x－3)2；(3)(x＋2)(x－4)；(4)(m＋3)(m－3)．例4　(1)2；(2)6.

【变式拓展】

1．D　

2.       B　

3.a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2　4.(1)m(m＋4)  (2)(3＋x)(3－x)　(3)a(a＋2)(a－2)　(4)ab(a－1)2  (5)(a－2b)2　5.(1)－3　(2)18　6.设另一个因式为(x＋a)，得2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)，则2x2＋3x－k＝2x2＋(2a－5)x－5a，∴，解得：a＝4，k＝20，故另一个因式为(x＋4)，k的值为20.

【热点题型】

【分析与解】原式＝(a2＋2ab＋b2)＋(ac＋bc)＝(a＋b)2＋c(a＋b)＝(a＋b)(a＋b＋c)．

【错误警示】

(1)a(a＋4)(a－4)；　(2)4(x＋2y)(x－2y)．