2022年中考数学总复习第6讲《一元一次方程与分式方程及其应用》讲解(含答案) 学案

第6讲　一元一次方程与分式方程及其应用

1．一元一次方程及解法

2.分式方程及解法

3.列方程解应用题的一般步骤

1．(·杭州)已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．518＝2(106＋x)               B．518－x＝2×106

C．518－x＝2(106＋x)            D．518＋x＝2(106－x)

2．(·宁波)分式方程＝的解是____________________．

3．(·温州)甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：____________________.

4．(·金华)解分式方程：＝.

【问题】给出以下五个代数式：2x－4，x－2，x，，3.

(1)选取其中的几个代数式，组成一个一元一次方程和一个分式方程；

(2)解出(1)中所选的一元一次方程和分式方程．

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一元一次方程和分式方程的概念，以及它们的解法．

类型一　等式性质和方程的解的含义

　(1)(·杭州)设x，y，c是实数，(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．若x＝y，则x＋c＝y－c

B．若x＝y，则xc＝yc

C．若x＝y，则＝

D．若＝，则2x＝3y

(2)已知关于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，则a＝________.

(3)已知关于x的方程＝2的解是负数，则n的取值范围为______________．

【解后感悟】(1)熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键；(2)本题利用方程的思想，通过方程的解来构造关于a的一元一次方程，求出a值；(3)本题是分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出n－2＜0和n－2≠－，注意题目中的隐含条件2x＋1≠0不要忽略．

1．(1)已知等式3a＝2b＋5，则下列等式中不一定成立的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．3a－5＝2b               B．3a＋1＝2b＋6

C．3ac＝2bc＋5            D．a＝b＋

(2)如果方程x＋2＝0与方程2x－a＝0的解相同，那么a＝____________________．

(3)(·成都)已知x＝3是分式方程－＝2的解，那么实数k的值为(　　)

A．－1             B．0            C．1            D．2

类型二　一元一次方程的解法

　解方程：x－＝2－.

【解后感悟】(1)去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项(尤其是常数项)，若分子是多项式，则要把它看成一个整体加上括号；(2)去括号可用分配律，注意符号，勿漏乘．

2．解方程：(1)(·贺州)解方程：－＝5；

(2)7x－＝(x－1)．

类型三　分式方程的解法　　

　(·营口)若关于x的分式方程＋＝2有增根，则m的值是(　　)

A．m＝－1　           B．m＝0           C．m＝3         D．m＝0或m＝3

【解后感悟】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程：③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

　(1)(·湖州)解方程：＝＋1；

(2)(·陕西模拟)解方程：＝－2.

【解后感悟】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

3．解分式方程：(1)＝＋3；

(2)－＝1.

类型四　一元一次方程和分式方程的应用

　(·宁波)宁波火车站北广场将于年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．

(1)A，B两种花木的数量分别是多少棵？

(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？

【解后感悟】此题主要考查了分式方程的应用，此题关键是正确理解题意，找到合适的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验．

4．(·黄冈)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用5000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？

【探索规律题】

一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接．

(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？

(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？

【方法与对策】根据寻找的规律，每增加1张这样的餐桌可增加4人求解即可．这是探索规律题(图形的变化类)，并利用方程思想来解决．它是中考热点题之一．

【解分式方程去分母时，漏乘整式项，忘记验根】

解分式方程：＋1＝.

参考答案

第6讲　一元一次方程与分式方程及其应用

【考点概要】

1．整式　等式　等式　相等　一　1　括号　同类项　2.未知数　整式　最简公分母　不为0　3.间接　等量关系

【考题体验】

1．C　2.x＝1　3.＝　4.x＝3

【知识引擎】

【解析】(1)答案不唯一，2x－4＝3和＝；(2)2x－4＝3，解得x＝3.5；＝，解得x＝2，代入方程x＝2是方程的增根，舍去，所以，方程无解．

【例题精析】

例1　(1)B；(2)5；(3)解方程＝2得x＝n－2.∵关于x的方程＝2的解是负数，∴n－2＜0.解得：n＜2.又∵原方程有意义的条件为：x≠－，∴n－2≠－，即n≠.∴n＜2且n≠.　例2　6x－3(x－1)＝12－2(x＋2)，6x－3x＋3＝12－2x－4，3x＋3＝8－2x，3x＋2x＝8－3，5x＝5，∴x＝1.　例3　方程两边都乘以(x－3)得，2－x－m＝2(x－3)，∵分式方程有增根，∴x－3＝0，解得x＝3，∴2－3－m＝2(3－3)，解得m＝－1.故选A.　例4　(1)方程两边都乘以x－1得：2＝1＋x－1，解得：x＝2，检验：∵当x＝2时，x－1≠0，∴x＝2是原方程的解，即原方程的解为x＝2.　(2)方程的两边同乘(x－3)，得：2－x＝－1－2(x－3)，解得：x＝3，检验：把x＝3代入(x－3)＝0，即x＝3不是原分式方程的解．则原方程无解．　例5　(1)设B花木数量为x棵，则A花木数量是(2x－600)棵，由题意得：x＋2x－600＝6600，解得：x＝2400，2x－600＝4200，答：B花木数量为2400棵，则A花木数量是4200棵；　(2)设安排a人种植A花木，由题意得：＝，解得：a＝14，经检验：a＝14是原分式方程的解，26－a＝26－14＝12，答：安排14人种植A花木，12人种植B花木．

【变式拓展】

1．(1)C　(2)－4　(3)D　

2.       (1)x＝30；　(2)x＝－. 

3.(1)解得x＝3，经检验x＝3是增根，分式方程无解.  (2)x＝－3.　

4.设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为(x＋5)元．根据题意，得＝.解得x＝.经检验，x＝是原方程的解，且符合题意，则科普类图书平均每本的价格为＋5＝元，答：文学类图书平均每本的价格为元，科普类图书平均每本的价格为元．

【热点题型】

【分析与解】(1)寻找规律：

1张这样的餐桌四周可坐6人，2张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4人，3张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4×2人，4张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4×3人，…n张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4(n－1)人．∴4张这样的餐桌拼接起来四周可坐18人，8张这样的餐桌拼接起来四周可坐34人．(2)∵n张这样的餐桌拼接起来四周可坐6＋4(n－1)人，∴若用餐的人数有90人，则6＋4(n－1)＝90，解得n＝22.∴若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要22张．

【错误警示】

原方程变形为＋1＝.方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得x2－4x＋(x＋1)(x－1)＝2x(x－1)．整理得x2－4x＋x2－1＝2x2－2x，即2x＝－1，x＝－.检验：当x＝－时，(x＋1)(x－1)≠0，所以x＝－是原方程的根．