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人教版 (2019)2 简谐运动的描述学案设计
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这是一份人教版 (2019)2 简谐运动的描述学案设计，共15页。学案主要包含了描述简谐运动的物理量，简谐运动的表达式等内容，欢迎下载使用。
一、描述简谐运动的物理量
1．振幅
振动物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离叫作振动的振幅．振幅是标量，用A表示，单位是米(m)．振幅是反映振动强弱的物理量，振幅越大表示振动越强．
2．周期和频率
做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫作振动的周期．单位时间内完成全振动的次数叫作振动的频率．周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量．它们的关系是T＝1/f.在国际单位制中，周期的单位是秒．频率的单位是赫兹，1 Hz＝1 s－1.
3．相位
用来描述周期性运动的物体在各个时刻所处的不同状态的物理量．
二、简谐运动的表达式
简谐运动的正弦函数表达式可以写成x＝Asin(ωt＋φ)．其中A代表简谐运动的振幅；ω叫作简谐运动的“圆频率”，它与周期的关系是ω＝eq \f(2π,T).它和周期、频率都表示简谐运动的快慢；ωt＋φ代表简谐运动的相位，其中φ称为初相位．
从简谐运动的正弦函数表达式中，我们知道(ωt＋φ)表示相位，你能据此表达式导出相位的单位吗？
提示：由ω＝eq \f(2π,T)及ωt＋φ知ωt＋φ＝eq \f(2π,T)t＋φ，其中φ表示角度，eq \f(2π,T)t也表示角度，所以其单位应为角度的单位——弧度．
考点一 描述简谐运动的物理量
1．振幅
说明：振幅的两倍(2A)表示振动物体的运动范围，如上图所示．
振幅、位移和路程的关系
1在一个稳定的振动系统中，振幅是不变的，它与振动系统的周期频率或质点的位移无关.
2振幅是标量，它没有负值，也无方向，它等于振子最大位移的大小，却不是最大位移.
2．全振动
(1)如图，如果从振子向右通过O点的时刻开始计时，它将运动到M，然后向左回到O，又继续向左运动到达M′，之后又向右回到O.这样一个完整的振动过程称为一次全振动．
若从图中P0点向右运动开始计时，经历的一次全振动应为P0→M→P0→O→M′→O→P0.
(2)全振动的等时性：不管以哪里作为开始研究的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的．
(3)对一次全振动的认识
对做简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断：
①从物体经过某点时的特征物理量看，如果物体的位移和速度都回到原值(大小、方向与初始状态完全相同)，即物体完成了一次全振动．
②看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的四倍．
3．周期
eq \a\vs4\al(【拓展延伸】) 简谐运动的周期与什么因素有关？
简谐运动的周期公式：T＝2πeq \r(\f(m,k)).
公式中m为做简谐运动物体的质量，k为做简谐运动物体受到的合外力跟位移大小的比值．(特例：水平方向的弹簧振子，k指弹簧的劲度系数)
4．频率
(1)单位时间内完成全振动的次数，叫作振动的频率，用f表示．
(2)单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹(Hz)．
(3)意义：频率是表示物体振动快慢的物理量．频率越大，表示振动得越快；频率越小，表示振动得越慢．
(4)频率与周期的关系：T＝eq \f(1,f).
(1)简谐运动的频率(周期)由振动系统本身的因素决定，与振幅和其他因素无关，因此又称固有频率(周期)．
(2)简谐运动的频率不是用来描述振动物体某时刻运动快慢的物理量，而是用来描述完成一次全振动快慢的物理量．
简谐运动的振幅和周期(频率)分别表示振动的强弱和快慢，各自是独立的，即振动的强弱与振动的快慢没有关系．或者说：周期(频率)与振幅无关．
5．相位
在物理学中，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态．
【例1】如右图所示，弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则( )
A．从B→O→C为一次全振动
B．从O→B→O→C为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．从D→C→O→B→O为一次全振动
【审题指导】
思路1：全振动的意义是什么？物体完成一次全振动时，一定回到了初位置，且以与原来相同的速度回到初位置．
思路2：全振动中路程与振幅有固定关系，即一次全振动通过的路程是振幅的4倍．
【解析】 一次全振动不是必须从平衡位置开始计时，只要再次同向经过某一位置，就完成了一次全振动，运动时间就是一个周期，运动的路程为4个振幅．
【答案】 C
(多选)如图，弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，B、C间距离是10 cm，B→C运动时间是1 s，则( CD )
A．振动周期是1 s，振幅是10 cm
B．从B→O→C振子做了一次全振动
C．经过两次全振动，通过的路程是40 cm
D．从B开始运动经过3 s，振子通过的路程是30 cm
解析：明确描述振动的物理量，弄清它们之间的关系是解题的关键．由题，BC间距离为10 cm，则振幅A＝5 cm，B→C运动时间为1 s，则周期T＝2 s．故A错误；从B→O→C，振子通过的路程是两个振幅，不是一次全振动，B错误；经过两次全振动，通过的路程s＝8A＝40 cm，C正确；从B开始经过3 s，振子振动了1.5个周期，通过的路程s＝1.5×4A＝30 cm，故D正确．
【例2】 一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动周期的值为多少？
【审题指导】
由于振动的往复性，质点经过某一位置时因速度方向不确定会导致多解．
【解析】 将物理过程模型化，画出具体情景．设质点从平衡位置O向右运动到M点，那么质点从O点到M点运动时间为0.13 s，再由M点经最右端A点返回M点经历时间为0.1 s，如图甲、乙所示．
根据以上分析，可以看出从O→M→A历时0.18 s，根据简谐运动的对称性，可得到T1＝4×0.18 s＝0.72 s.
另一种可能如图丙所示，由O→A→M历时t1＝0.13 s，
由M→A′历时t2＝0.05 s，则eq \f(3,4)T2＝t1＋t2，故T2＝eq \f(4,3)(t1＋t2)＝0.24 s，所以周期的可能值为0.72 s和0.24 s.
【答案】 0.72 s或0.24 s
一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则( C )
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于eq \f(T,2)的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝eq \f(T,2)，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等
解析：弹簧振子做简谐运动的图像如图所示，图中A点与B、E、F、I等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T或T的整数倍，因此A选项不正确．
图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等，方向相反，由图可知A点与C、G等点对应的时间差为eq \f(T,2)或eq \f(T,2)的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为eq \f(T,2)或eq \f(T,2)的整数倍，因此B选项不正确．
如果t时刻和(t＋Δt)时刻相差一个周期T，则这两个时刻的振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C正确．
如果t时刻和(t＋Δt)时刻相差半个周期，则这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，弹簧的长度显然是不相等的，选项D也不正确.
考点二 简谐运动的表达式
1．简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ)．
(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示振动的时间．
(2)A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．
(3)ω称为简谐运动的圆频率，它也表示做简谐运动的物体振动的快慢．ω与周期T及频率f的关系为ω＝eq \f(2π,T)＝2πf.所以简谐运动的表达式也可写成：
x＝Asin(eq \f(2π,T)t＋φ)或x＝Asin(2πft＋φ)．
(4)φ表示t＝0时，简谐运动的质点所处的状态，称为初相位或初相．
(5)(ωt＋φ)代表了简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位．
2．相位差
(1)相位差是指两个相位之差，在实际应用中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，它反映出两个简谐运动的步调差异．
设两频率相同的简谐运动的振动方程分别为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，
它们的相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.
可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差．
(2)若Δφ＝φB－φA>0，则称B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ；若Δφ＝φB－φA<0，则称B的相位比A的相位落后Δφ或A的相位比B的相位超前Δφ.
1在比较相位或计算相位差时，一定要用同种函数来表示振动方程.
2相位差的取值范围：－π≤φ≤π；相位每增加2π就意味着完成了一次全振动.
【例3】 (多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100t＋\f(π,2))) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100t＋\f(π,6))) m．比较A、B的运动( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位eq \f(π,3)
【审题指导】
1．振动位移公式x＝Asin(ωt＋φ)，各物理量分别表示什么？
2．振动的超前、落后由什么物理量决定？
【解析】 振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别为3 m、5 m．A错．A、B振动的周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,100) s＝6.28×10－2 s，B错；因TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA－φB＝eq \f(π,3)为定值，D对，故选C、D.
应用简谐运动的表达式解决相关问题时，首先明确振幅A、周期T、频率f的对应数值，其中T＝eq \f(2π,ω)，f＝eq \f(ω,2π)；然后把确定的物理量与所要求解的问题相对应，找到关系．
【答案】 CD
某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)t)) cm，则下列关于质点运动的说法中正确的是( C )
A．质点做简谐运动的振幅为5 cm
B．质点做简谐运动的周期为4 s
C．在t＝4 s时质点的速度最大
D．在t＝4 s时质点的位移最大
解析：由x＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)t)) cm可知，A＝10 cm，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,4) rad/s，得T＝8 s．t＝4 s时，x＝0，说明质点在平衡位置，此时质点的速度最大、位移为0，所以只有选项C正确．
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振幅与位移和路程的关系
1．振动的振幅与振动的位移
(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；位移是物体相对于平衡位置的位置变化．
(2)振幅是表示振动强弱的物理量，在同一简谐运动中振幅是不变的，但位移却时刻变化．
(3)振幅是标量，位移是矢量．
(4)振幅在数值上等于最大位移的绝对值．
2．振幅与路程的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅．
(2)振动物体在半个周期内的路程一定为两个振幅．
(3)振动物体在eq \f(1,4)T内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅．只有当eq \f(1,4)T的初时刻振动物体在平衡位置或最大位移处，eq \f(1,4)T内的路程才等于一个振幅．
【典例】 如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子首次由A到B的时间为0.1 s，求：
(1)振子振动的振幅、周期和频率；
(2)振子由A到O的时间；
(3)振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小．
【解析】 (1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm，
t＝0.1 s＝eq \f(T,2)，所以T＝0.2 s.
由f＝eq \f(1,T)得f＝5 Hz.
(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等，均为0.05 s.
(3)设弹簧振子的振幅为A，则A＝10 cm.振子在1个周期内通过的路程为4 A，故在t＝5 s＝25T内通过的路程s＝25×40 cm＝1 000 cm.
5 s内振子振动了25个周期，5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm.
【答案】 (1)10 cm 0.2 s 5 Hz (2)0.05 s
(3)1 000 cm 10 cm
求路程时，首先应明确振动过程经过几个整数周期，得到这几个周期内的路程，再分析最后不到一个周期的时间内的路程，两部分之和即为总的路程，振子在eq \f(1,4)周期内的路程可能等于一个振幅，也可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅，只有从平衡位置或最大位移处开始运动，eq \f(1,4)周期内的路程才等于一个振幅．
1.如图所示是一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是( C )
A．t1至t2时刻质点完成一次全振动
B．t1至t3时刻质点完成一次全振动
C．t1至t4时刻质点完成一次全振动
D．t2至t4时刻质点完成一次全振动
解析：一次全振动结束，各物理量刚好回到本次全振动开始时的值，从图像上来看，刚好完成一次周期性变化，所以只有t1～t4时间对应一次全振动．
2．(多选)振动周期是指振动物体( CD )
A．从任一个位置出发又回到这个位置所用的时间
B．从一侧最大位移处运动到另一侧最大位移处所用的时间
C．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用的时间
D．经历了四个振幅的时间
解析：振子经历一个振动周期，速度的大小和方向又完全恢复到初始状态，振子运动的路程为四倍振幅．
3．(多选)一个质点做简谐运动，质点每次经过同一位置时，下列物理量一定相同的是( BCD )
A．速度 B．加速度
C．动能 D．位移
解析：质点做简谐运动，每次经过同一位置时，它的位移、加速度、动能一定相同；而速度大小相同，方向不一定相同．所以B、C、D选项正确．
4．一质点做简谐运动的位移—时间图线如图所示．关于此质点的振动，下列说法中正确的是( D )
A．质点做简谐运动的表达式为x＝10sin(πt) cm
B．在0.5～1.0 s时间内，质点向x轴正向运动
C．在1.0～1.5 s时间内，质点的动能在增大
D．在1.0～1.5 s时间内，质点的加速度在增大
解析：本题考查简谐振动．由图像可知，质点振幅为5 cm，振动周期T＝2.0 s，则ω＝eq \f(2π,T)＝π.因此，振动方程为x＝5sin(πt)cm；0.5～1.0 s时间内，质点向x轴负向运动；1.0～1.5 s时间内，质点由平衡位置向x轴负向运动，速度逐渐减小，动能逐渐减小，加速度逐渐增大．选项A、B、C错误，D正确．
5．一个简谐运动的振动方程为x＝5sin(2πt＋eq \f(π,2)) cm，这个振动的振幅是5 cm；频率是1 Hz；在t＝0.1 s时的相位是eq \f(7π,10)；在1 s的时间内振子通过的路程是20 cm.
解析：振幅可直接由表达式读出，A＝5 cm，圆频率ω＝2π，由ω＝2πf知其频率f＝1 Hz.t＝0.1 s时，2πt＋eq \f(π,2)＝0.2π＋eq \f(π,2)＝eq \f(7,10)π，即相位为eq \f(7,10)π，因为f＝1 Hz，则T＝eq \f(1,f)＝1 s，故1 s内通过的路程s＝4A＝4×5 cm＝20 cm.
振幅
位移
路程
定义
振动物体离开平衡位置的最大距离
从平衡位置指向振子所在位置的有向线段
运动轨迹的长度
矢、标性
标量
矢量
标量
变化
在稳定的振动系统中不发生变化
大小和方向随时间做周期性变化
随时间增加
联系
①振幅等于最大位移的大小；
②振子在一个周期内的位移等于零，在一个周期内的路程等于4个振幅，在半个周期内的路程等于2个振幅
一、描述简谐运动的物理量
1．振幅
振动物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离叫作振动的振幅．振幅是标量，用A表示，单位是米(m)．振幅是反映振动强弱的物理量，振幅越大表示振动越强．
2．周期和频率
做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫作振动的周期．单位时间内完成全振动的次数叫作振动的频率．周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量．它们的关系是T＝1/f.在国际单位制中，周期的单位是秒．频率的单位是赫兹，1 Hz＝1 s－1.
3．相位
用来描述周期性运动的物体在各个时刻所处的不同状态的物理量．
二、简谐运动的表达式
简谐运动的正弦函数表达式可以写成x＝Asin(ωt＋φ)．其中A代表简谐运动的振幅；ω叫作简谐运动的“圆频率”，它与周期的关系是ω＝eq \f(2π,T).它和周期、频率都表示简谐运动的快慢；ωt＋φ代表简谐运动的相位，其中φ称为初相位．
从简谐运动的正弦函数表达式中，我们知道(ωt＋φ)表示相位，你能据此表达式导出相位的单位吗？
提示：由ω＝eq \f(2π,T)及ωt＋φ知ωt＋φ＝eq \f(2π,T)t＋φ，其中φ表示角度，eq \f(2π,T)t也表示角度，所以其单位应为角度的单位——弧度．
考点一 描述简谐运动的物理量
1．振幅
说明：振幅的两倍(2A)表示振动物体的运动范围，如上图所示．
振幅、位移和路程的关系
1在一个稳定的振动系统中，振幅是不变的，它与振动系统的周期频率或质点的位移无关.
2振幅是标量，它没有负值，也无方向，它等于振子最大位移的大小，却不是最大位移.
2．全振动
(1)如图，如果从振子向右通过O点的时刻开始计时，它将运动到M，然后向左回到O，又继续向左运动到达M′，之后又向右回到O.这样一个完整的振动过程称为一次全振动．
若从图中P0点向右运动开始计时，经历的一次全振动应为P0→M→P0→O→M′→O→P0.
(2)全振动的等时性：不管以哪里作为开始研究的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的．
(3)对一次全振动的认识
对做简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断：
①从物体经过某点时的特征物理量看，如果物体的位移和速度都回到原值(大小、方向与初始状态完全相同)，即物体完成了一次全振动．
②看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的四倍．
3．周期
eq \a\vs4\al(【拓展延伸】) 简谐运动的周期与什么因素有关？
简谐运动的周期公式：T＝2πeq \r(\f(m,k)).
公式中m为做简谐运动物体的质量，k为做简谐运动物体受到的合外力跟位移大小的比值．(特例：水平方向的弹簧振子，k指弹簧的劲度系数)
4．频率
(1)单位时间内完成全振动的次数，叫作振动的频率，用f表示．
(2)单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹(Hz)．
(3)意义：频率是表示物体振动快慢的物理量．频率越大，表示振动得越快；频率越小，表示振动得越慢．
(4)频率与周期的关系：T＝eq \f(1,f).
(1)简谐运动的频率(周期)由振动系统本身的因素决定，与振幅和其他因素无关，因此又称固有频率(周期)．
(2)简谐运动的频率不是用来描述振动物体某时刻运动快慢的物理量，而是用来描述完成一次全振动快慢的物理量．
简谐运动的振幅和周期(频率)分别表示振动的强弱和快慢，各自是独立的，即振动的强弱与振动的快慢没有关系．或者说：周期(频率)与振幅无关．
5．相位
在物理学中，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态．
【例1】如右图所示，弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则( )
A．从B→O→C为一次全振动
B．从O→B→O→C为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．从D→C→O→B→O为一次全振动
【审题指导】
思路1：全振动的意义是什么？物体完成一次全振动时，一定回到了初位置，且以与原来相同的速度回到初位置．
思路2：全振动中路程与振幅有固定关系，即一次全振动通过的路程是振幅的4倍．
【解析】 一次全振动不是必须从平衡位置开始计时，只要再次同向经过某一位置，就完成了一次全振动，运动时间就是一个周期，运动的路程为4个振幅．
【答案】 C
(多选)如图，弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，B、C间距离是10 cm，B→C运动时间是1 s，则( CD )
A．振动周期是1 s，振幅是10 cm
B．从B→O→C振子做了一次全振动
C．经过两次全振动，通过的路程是40 cm
D．从B开始运动经过3 s，振子通过的路程是30 cm
解析：明确描述振动的物理量，弄清它们之间的关系是解题的关键．由题，BC间距离为10 cm，则振幅A＝5 cm，B→C运动时间为1 s，则周期T＝2 s．故A错误；从B→O→C，振子通过的路程是两个振幅，不是一次全振动，B错误；经过两次全振动，通过的路程s＝8A＝40 cm，C正确；从B开始经过3 s，振子振动了1.5个周期，通过的路程s＝1.5×4A＝30 cm，故D正确．
【例2】 一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动周期的值为多少？
【审题指导】
由于振动的往复性，质点经过某一位置时因速度方向不确定会导致多解．
【解析】 将物理过程模型化，画出具体情景．设质点从平衡位置O向右运动到M点，那么质点从O点到M点运动时间为0.13 s，再由M点经最右端A点返回M点经历时间为0.1 s，如图甲、乙所示．
根据以上分析，可以看出从O→M→A历时0.18 s，根据简谐运动的对称性，可得到T1＝4×0.18 s＝0.72 s.
另一种可能如图丙所示，由O→A→M历时t1＝0.13 s，
由M→A′历时t2＝0.05 s，则eq \f(3,4)T2＝t1＋t2，故T2＝eq \f(4,3)(t1＋t2)＝0.24 s，所以周期的可能值为0.72 s和0.24 s.
【答案】 0.72 s或0.24 s
一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则( C )
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于eq \f(T,2)的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝eq \f(T,2)，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等
解析：弹簧振子做简谐运动的图像如图所示，图中A点与B、E、F、I等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T或T的整数倍，因此A选项不正确．
图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等，方向相反，由图可知A点与C、G等点对应的时间差为eq \f(T,2)或eq \f(T,2)的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为eq \f(T,2)或eq \f(T,2)的整数倍，因此B选项不正确．
如果t时刻和(t＋Δt)时刻相差一个周期T，则这两个时刻的振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C正确．
如果t时刻和(t＋Δt)时刻相差半个周期，则这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，弹簧的长度显然是不相等的，选项D也不正确.
考点二 简谐运动的表达式
1．简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ)．
(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示振动的时间．
(2)A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．
(3)ω称为简谐运动的圆频率，它也表示做简谐运动的物体振动的快慢．ω与周期T及频率f的关系为ω＝eq \f(2π,T)＝2πf.所以简谐运动的表达式也可写成：
x＝Asin(eq \f(2π,T)t＋φ)或x＝Asin(2πft＋φ)．
(4)φ表示t＝0时，简谐运动的质点所处的状态，称为初相位或初相．
(5)(ωt＋φ)代表了简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位．
2．相位差
(1)相位差是指两个相位之差，在实际应用中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，它反映出两个简谐运动的步调差异．
设两频率相同的简谐运动的振动方程分别为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，
它们的相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.
可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差．
(2)若Δφ＝φB－φA>0，则称B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ；若Δφ＝φB－φA<0，则称B的相位比A的相位落后Δφ或A的相位比B的相位超前Δφ.
1在比较相位或计算相位差时，一定要用同种函数来表示振动方程.
2相位差的取值范围：－π≤φ≤π；相位每增加2π就意味着完成了一次全振动.
【例3】 (多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100t＋\f(π,2))) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100t＋\f(π,6))) m．比较A、B的运动( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位eq \f(π,3)
【审题指导】
1．振动位移公式x＝Asin(ωt＋φ)，各物理量分别表示什么？
2．振动的超前、落后由什么物理量决定？
【解析】 振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别为3 m、5 m．A错．A、B振动的周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,100) s＝6.28×10－2 s，B错；因TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA－φB＝eq \f(π,3)为定值，D对，故选C、D.
应用简谐运动的表达式解决相关问题时，首先明确振幅A、周期T、频率f的对应数值，其中T＝eq \f(2π,ω)，f＝eq \f(ω,2π)；然后把确定的物理量与所要求解的问题相对应，找到关系．
【答案】 CD
某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)t)) cm，则下列关于质点运动的说法中正确的是( C )
A．质点做简谐运动的振幅为5 cm
B．质点做简谐运动的周期为4 s
C．在t＝4 s时质点的速度最大
D．在t＝4 s时质点的位移最大
解析：由x＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)t)) cm可知，A＝10 cm，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,4) rad/s，得T＝8 s．t＝4 s时，x＝0，说明质点在平衡位置，此时质点的速度最大、位移为0，所以只有选项C正确．
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振幅与位移和路程的关系
1．振动的振幅与振动的位移
(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；位移是物体相对于平衡位置的位置变化．
(2)振幅是表示振动强弱的物理量，在同一简谐运动中振幅是不变的，但位移却时刻变化．
(3)振幅是标量，位移是矢量．
(4)振幅在数值上等于最大位移的绝对值．
2．振幅与路程的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅．
(2)振动物体在半个周期内的路程一定为两个振幅．
(3)振动物体在eq \f(1,4)T内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅．只有当eq \f(1,4)T的初时刻振动物体在平衡位置或最大位移处，eq \f(1,4)T内的路程才等于一个振幅．
【典例】 如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子首次由A到B的时间为0.1 s，求：
(1)振子振动的振幅、周期和频率；
(2)振子由A到O的时间；
(3)振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小．
【解析】 (1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm，
t＝0.1 s＝eq \f(T,2)，所以T＝0.2 s.
由f＝eq \f(1,T)得f＝5 Hz.
(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等，均为0.05 s.
(3)设弹簧振子的振幅为A，则A＝10 cm.振子在1个周期内通过的路程为4 A，故在t＝5 s＝25T内通过的路程s＝25×40 cm＝1 000 cm.
5 s内振子振动了25个周期，5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm.
【答案】 (1)10 cm 0.2 s 5 Hz (2)0.05 s
(3)1 000 cm 10 cm
求路程时，首先应明确振动过程经过几个整数周期，得到这几个周期内的路程，再分析最后不到一个周期的时间内的路程，两部分之和即为总的路程，振子在eq \f(1,4)周期内的路程可能等于一个振幅，也可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅，只有从平衡位置或最大位移处开始运动，eq \f(1,4)周期内的路程才等于一个振幅．
1.如图所示是一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是( C )
A．t1至t2时刻质点完成一次全振动
B．t1至t3时刻质点完成一次全振动
C．t1至t4时刻质点完成一次全振动
D．t2至t4时刻质点完成一次全振动
解析：一次全振动结束，各物理量刚好回到本次全振动开始时的值，从图像上来看，刚好完成一次周期性变化，所以只有t1～t4时间对应一次全振动．
2．(多选)振动周期是指振动物体( CD )
A．从任一个位置出发又回到这个位置所用的时间
B．从一侧最大位移处运动到另一侧最大位移处所用的时间
C．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用的时间
D．经历了四个振幅的时间
解析：振子经历一个振动周期，速度的大小和方向又完全恢复到初始状态，振子运动的路程为四倍振幅．
3．(多选)一个质点做简谐运动，质点每次经过同一位置时，下列物理量一定相同的是( BCD )
A．速度 B．加速度
C．动能 D．位移
解析：质点做简谐运动，每次经过同一位置时，它的位移、加速度、动能一定相同；而速度大小相同，方向不一定相同．所以B、C、D选项正确．
4．一质点做简谐运动的位移—时间图线如图所示．关于此质点的振动，下列说法中正确的是( D )
A．质点做简谐运动的表达式为x＝10sin(πt) cm
B．在0.5～1.0 s时间内，质点向x轴正向运动
C．在1.0～1.5 s时间内，质点的动能在增大
D．在1.0～1.5 s时间内，质点的加速度在增大
解析：本题考查简谐振动．由图像可知，质点振幅为5 cm，振动周期T＝2.0 s，则ω＝eq \f(2π,T)＝π.因此，振动方程为x＝5sin(πt)cm；0.5～1.0 s时间内，质点向x轴负向运动；1.0～1.5 s时间内，质点由平衡位置向x轴负向运动，速度逐渐减小，动能逐渐减小，加速度逐渐增大．选项A、B、C错误，D正确．
5．一个简谐运动的振动方程为x＝5sin(2πt＋eq \f(π,2)) cm，这个振动的振幅是5 cm；频率是1 Hz；在t＝0.1 s时的相位是eq \f(7π,10)；在1 s的时间内振子通过的路程是20 cm.
解析：振幅可直接由表达式读出，A＝5 cm，圆频率ω＝2π，由ω＝2πf知其频率f＝1 Hz.t＝0.1 s时，2πt＋eq \f(π,2)＝0.2π＋eq \f(π,2)＝eq \f(7,10)π，即相位为eq \f(7,10)π，因为f＝1 Hz，则T＝eq \f(1,f)＝1 s，故1 s内通过的路程s＝4A＝4×5 cm＝20 cm.
振幅
位移
路程
定义
振动物体离开平衡位置的最大距离
从平衡位置指向振子所在位置的有向线段
运动轨迹的长度
矢、标性
标量
矢量
标量
变化
在稳定的振动系统中不发生变化
大小和方向随时间做周期性变化
随时间增加
联系
①振幅等于最大位移的大小；
②振子在一个周期内的位移等于零，在一个周期内的路程等于4个振幅，在半个周期内的路程等于2个振幅
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