2022年中考数学一轮复习习题精选《二次函数概念、性质和图象》(含答案)

这是一份2022年中考数学一轮复习习题精选《二次函数概念、性质和图象》(含答案)，共36页。

 一、选择题
1. （东城区一模）当函数的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是
A． B． C． D．为任意实数
答案B
2、（年昌平区第一学期期末质量抽测）将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是
A． B．
C． D．
答案：C
3、（朝阳区第一学期期末检测）如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、 （1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为
(A) －1 (B) －3 (C) －5 (D) －7





答案：C
4、（大兴第一学期期末）1．抛物线的顶点坐标是
A.（-2,3） B.（2,3） C.（2,-3） D.（-3,2）
答案：B
5、（大兴第一学期期末）5. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移个单位，可以得到新的抛物线是
A. B.
C. D.
答案：D
6、（东城第一学期期末）3．若要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
答案：B
7、（东城第一学期期末）已知函数，其中，此函数的图象可以是
答案：D
8、（房山区第一学期检测）已知点（-1，2）在二次函数的图象上，那么的值是
A．1 B．2 C． D．
答案：B
9、（丰台区第一学期期末）将抛物线y = x2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为
A． B．
C． D．
答案：A
10、（丰台区第一学期期末）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…

0
1
2
3
…
y
…
3
0

m
3
…
有以下几个结论：
①抛物线的开口向下；
②抛物线的对称轴为直线；
③方程的根为0和2；
④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2.
其中正确的是
A． ①④ B．②④ C．②③ D．③④
答案：D
11、（年海淀区第一学期期末）1．抛物线的对称轴是
A． B． C． D．
答案：B
12.（怀柔区第一学期期末）2.若将抛物线y = －x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是
A． B．
C． D.
答案：A
13.（门头沟区第一学期期末调研试卷）2．将抛物线y = x2的图象向上平移3个单位后得到新的图象，那么新图象的表达式是
A． B． C． D．
答案：D
14.（密云区初三（上）期末）2. 将抛物线先向左平移2个单位再向下平移1个单位，得到新抛物线的表达式是
A. B.
C. D.
答案：B
15.（密云区初三（上）期末）8. 已知抛物线（为任意实数）经过下图中两点M（1，2）、N（，0），其中M为抛物线的顶点，N为定点.下列结论：
①若方程的两根为（），则；
②当时，函数值随自变量的减小而减小.
③，，.
④垂直于轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分别为、，则=2 .
其中正确的是
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④

答案：B
16.（平谷区第一学期期末）3．下列各点在函数图象上的是
（A）（0,0） （B）（1,1） （C）（0,﹣1） （D）（1,0）
答案：D
17.（石景山区第一学期期末）5．如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次
函数的图象可能是

（A） （B） （C） （D）
答案：C

18.（石景山区第一学期期末）6．若二次函数的图象与坐标轴有3个交点，则的取值范围是
（A）
（B）
（C） 且
（D） 且
答案：D
19.（石景山区第一学期期末）7．如图，将函数的图象沿轴向上平移得
到新函数图象，其中原函数图象上的两点、
平移后对应新函数图象上的点分别为点、．
若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为
（A）
（B）
（C）
（D）

答案：B
20.（顺义区初三上学期期末）5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是，
则这个二次函数的表达式为
A. B.
C. D.

答案：D
21.（通州区第一学期期末）5. 二次函数的图象如图所示，，则下列四个选项正确的是（ ）

A．，， B．，，
C．，， D．，，
答案：A
22.（西城区第一学期期末）3.抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.
A.，开口向上 B.，开口向下
C.，开口向上 D.，开口向下
答案：A
23.（西城区第一学期期末）6.如果函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）.
A. m≤4 B. C. m≥ D.
答案：C
24.（西城区第一学期期末）8.如图，抛物线(a≠0)的对称轴为直线， 如果关于x的方程(a≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为（ ）．
A． B． C．1 D． 3

答案：B















二、填空题
25、（东城区二模）抛物线（为非零实数）的顶点坐标为_____________.
答案：

26．（燕山地区一模）写出经过点（0，0），（-2，0）的一个二次函数的解析式
（写一个即可）
答案：
27.（市朝阳区一模）抛物线y=x26x+5的顶点坐标为 ．
答案（3，-4）
28.（2018市大兴区检测）请写出一个开口向下，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y= ．
答案答案不唯一，如；
29.（年昌平区第一学期期末质量抽测）抛物线经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为 ．
答案：直线x=1
30.（朝阳区第一学期期末检测）如图，双曲线与抛物线交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组的解集为 .








答案： x2 x3
31.（大兴第一学期期末）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0，2)的抛物线的表达式：_________．
答案： .（答案不唯一）
32.（大兴第一学期期末）若函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
答案： ＜ 且≠0.
33.（东城第一学期期末）若抛物线与轴没有交点，写出一个满足条件的的值： .
答案：答案不唯一，即可
34.（东城第一学期期末）已知函数，当时，函数的最小值是-4，则实数的取值范围是 .
答案：
35.（房山区第一学期检测）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0， 1）的抛物线的表达式：_______．

答案：
36.（房山区第一学期检测）如图，抛物线和直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的根为 .

答案：
37、（房山区第一学期检测）已知二次函数 的图象与轴的两个交点的横坐标分别为 ，. 则此二次函数图象的对称轴为 .
答案：x=-2
38.（年海淀区第一学期期末）如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 ．

答案：（，0）
39.（怀柔区第一学期期末）抛物线y=2(x+1)2+3 的顶点坐标是 .
答案：(﹣1，3)
40.（怀柔区第一学期期末）把二次函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式为__________________．
答案：y=(x-2)2+1
41.（门头沟区第一学期期末调研试卷）二次函数的图象开口方向__________.
答案：向下
42.（密云区初三（上）期末）抛物线的对称轴方程是____________________.
答案：
43.（平谷区第一学期期末）关于x的二次函数（a＞0）的图象与x轴的交点情况是 ．
答案：有两个不同交点
44.（平谷区第一学期期末）将二次函数化为的形式，则h= ，k= ．
答案：1；2
45.（顺义区初三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线可以看作是抛物线经过若干次图形的变化（平移、翻折、旋转）得到的，写出一种由抛物线y2得到抛物线y1的过程： ．
答案：略
46.（通州区第一学期期末）请你写出一个顶点在轴上的二次函数表达式 .
答案：y=x2(答案不唯一)
47.（通州区第一学期期末）二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为___________________.

答案：x＜-1或x＞5
48.（西城区第一学期期末）抛物线与y轴的交点坐标为 .
答案：（0，3）
49.（西城区第一学期期末）如图，直线(k≠0)与抛物(a≠0) 分别交于，两点，那么当时，x的取值范围是 .

答案：-1＜x＜2
50.（西城区第一学期期末）如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为，抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E.现有下列结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是 .


答案：②④

51.（西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线平移后得到抛物线.请你写出一种平移方法. 答： .
答案：答案不唯一，例如，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线
52.（年昌平区第一学期期末质量抽测）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…







…
y
…







…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象．











解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（，）．………………………………… 1分
设二次函数的解析式为：………………2分
把点（0，3）代入得
∴…………………………………3分
（2）如图所示 ……………………………………………………… 5分















53.（大兴第一学期期末）已知二次函数y = x2 ＋4x +3.
（1）用配方法将y = x2 ＋4x +3化成的形式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象.





解：（1）

…………………………… 2分
（2）





………………. 5分
54.（年昌平区第一学期期末质量抽测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx－3 (m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，垂直于轴的直线与抛物线交于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3










解：（1）∵抛物线y=mx2－2mx－3 (m≠0)与y轴交于点A，
∴点A的坐标为；…………………… 1分
∵抛物线y=mx2－2mx－3 (m≠0)的对称轴为直线，
∴点B的坐标为．…………………… 2分
（2）∵∠ACB=45°，
∴点C的坐标为，…………………… 3分
把点C代入抛物线y=mx2－2mx－3
得出，
∴抛物线的解析式为y=x2－2x－3． …………………… 4分
（3） ……………………6分
55.（大兴第一学期期末）已知一次函数，二次函数（其中m＞4）．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）利用函数图象解决下列问题：
①若，求当且≤0时，自变量的取值范围；
②如果满足且≤0时自变量的取值范围内有
且只有一个整数，直接写出的取值范围．

解：（1）∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为
………………………………………………2分
（2）①当时，．
…………………………………………………………… 4分
如图, 因为且≤0，由图象,得
2＜x≤4． ……………………………………………… 5分
②≤m＜5 …………………………………………………7分


56.（东城第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+n（m≠0）与x轴交于点A, B，点A的坐标为（）．
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）直线过点B，且与抛物线的另一个交点为C．
①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；
②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1: y=x+a和l2 : y=-x+ b组成图形G.当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围.



解：（1）抛物线的对称轴为直线；………………2分
（2）根据抛物线的对称性，∵点A(-2，0) ， ∴ ．
①抛物线过点A，直线过点B，
可得，解得
∴直线的表达式是，抛物线的表达式．………………5分
②． ………………7分

57.（房山区第一学期检测）下表是二次函数的部分，的对应值：

…


0

1

2

3
…

…









…
（1）此二次函数图象的顶点坐标是 ；
（2）当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围
是 ．
答案：


58.（丰台区第一学期期末）已知二次函数y = x2 - 4x + 3．
（1）用配方法将y = x2 - 4x + 3化成y = a(x - h)2 + k的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是 .




解：（1）
. ……2分
（2）如图： ….3分
（3） ….5分




59.（丰台区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点（2，3），对称轴为直线x =1.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A（，），B（，），其中，，与y轴交于点C，求BCAC的值；
（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后对应点为点Q，如果OP=OQ，直接写出点Q的坐标.
解：（1） ……1分
解得. ……2分
∴. ……3分

（2）如图，设l与对称轴交于点M，由抛物线的对称性可得，BM= AM. …… 3分
∴BC-AC= BM+MC-AC= AM+MC-AC= AC+CM+MC-AC=2 CM=2. ……5分
其他方法相应给分.

（3）点Q的坐标为（）或（）．……7分
60.（年海淀区第一学期期末）已知二次函数．
（1）该二次函数图象的对称轴是x ；
（2）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最大值是2，求当时，的最小值；
（3）若对于该抛物线上的两点 ，，当，时，均满足，请结合图象，直接写出的最大值．
解：
（1）2． ………………1分
（2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，
∴ 当时，y取到在上的最大值为2.
∴ .
∴ ，. ………………3分
∵ 当时，y随x的增大而增大，
∴ 当时，y取到在上的最小值.
∵ 当时，y随x的增大而减小，
∴ 当时，y取到在上的最小值.
∴ 当时，y的最小值为. ………………4分
（3）4. ………………6分
61.（怀柔区第一学期期末）一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…

0

2

0
m
-6

…
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求m的值；
(3)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(4)根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围.




解：(1)设这个二次函数的表达式为.
依题意可知，顶点为（-1，2），………………………1分
∴ .
∵图象过点（1，0），
∴.
∴.
∴这个二次函数的表达式为………2分
(2).………………………………………………3分
(3)如图…………………………………………………………………………………………5分
(4)x<-3或x>1..…………………………………………………………………………………6分
62.（怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，直线: 与抛物线相交于点A（,7）.
(1)求m、n的值；
(2)过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，设抛物线
与x轴交于点C、D(点C在点D的左侧)，求△BCD
的面积；
(3)点E（t,0）为x轴上一个动点，过点E作平行于y轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、Q.当点P在点Q上方时，求线段PQ的最大值.


解：(1)m=1………………………………………………………………………1分
n=3………………………………………………………………………………………………2分
(2)由(1)知抛物线表达式为y=x2-4x-5
令y=0得，x2-4x-5=0.
解得x1=-1，x2=5，……………………………………………………………………………3分
抛物线y=x2-4x-5与x轴得两个交点C、D的坐标分别为C(-1，0)，D(5，0)
CD=6.
∵A(,7)，AB∥x轴交抛物线于点B，根据抛物线的轴对称性，可知B(6，7)………4分
S△BCD=21.……………………………………………………………………………………5分
(3) 据题意，可知P(t，-2 t+3)，Q( t，t2-4 t-5),
由x2-4x-5=-2x+3得直线y=-2x+3与抛物线y= x2-4x-5的两个交点坐标分别为(-2,7)和(4,-5) ……………………………………………………………………………………………6分
∵点P在点Q上方
∴-2＜t＜5, PQ= -t2+2 t+8=-( t-2) 2+9
∵a=-1
PQ的最大值为9.……………………………………………………………………………7分

63.（门头沟区第一学期期末调研试卷）已知二次函数．
（1）求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值.
答案：（1）证明：令y=0，可得
∵
∴△=……………………………1分
= ………………………………………………2分
∵
∴此二次函数的图象与x轴总有交点．………………………………3分
（2）解：令y=0，得
解得 x1= ，x2=………………4分
∵k为整数，解为整数
∴. ……………………………………5分
64.（门头沟区第一学期期末调研试卷）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的表达式；
（2）函数图象上有两点，，且满足，结合函数图象回答问题；
①当时，直接写出的值；
②当，求的取值范围.




答案：
（1）选择坐标代入正确 ………………………………………………1分
得出表达式 ………………………………………………3分
（2）找到位置画出示意图
① ………………………………………………4分





②由图象易得当y=0时
由于该函数图象的对称轴为， ， ，
在对称轴左右两侧对称分布，所以两点到对称轴的距离相等
所以，当时即PQ=3
∴MP= MN－PN =………………………………………………5分
∴
代入，解得………………………………………6分
综上所述： ………………………………………7分





65.（密云区初三（上）期末）已知二次函数图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表:

…
0
1
2
3
…

…
3
0
-1
0
…



（1）求二次函数的表达式.
（2）画出二次函数的示意图，结合函数图象，直接写出y<0 时自变量x 的取值范围.










解:（1）由已知可知，二次函数经过（0，3），（1，0）则有
…………………………………………..2分
解得： ……………………………………………3分
（2） …………………………………………………………………………5分
（其中画出二次函数示意图给1分）
66.（密云区初三（上）期末）已知抛物线:.
（1）求抛物线的顶点坐标.
（2）若直线经过（2，0）点且与轴垂直，直线经过抛物线的顶点与坐标原点，且与的交点P在抛物线上.求抛物线的表达式.
（3）已知点A（0，2），点A关于轴的对称点为点B.抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出的取值范围.












答案： （1）解：将 配方得

抛物线的顶点坐标为（1，1）. ………………..3分
（2）由已知， 的表达式为， 的表达式为
交点
代入，解得 . …………….5分
（3）当抛物线过（0，2）时，解得
结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点，则

当抛物线过（0，-2），解得
结合图象可知，当抛物线开口向下且和线段AB恰有一个公共点，则

综上所述，的取值范围是 或 ………….7分

67.（平谷区第一学期期末）如图，函数的图象经过点A，B，C．
（1）求b，c的值；
（2）画出这个函数的图象．





解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1,0），B（0,3），
∴ ． 2
解得 ． 4
（2）图略． 5


68.（平谷区第一学期期末）已知函数的顶点为点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）求函数的图象与x轴的交点坐标；
（3）若函数的图象在直线y=m的上方，求m的取值范围．
解：（1）
1
∴D（m,）． 2
（2）令y=0，得．
解得．
∴函数的图象与x轴的交点坐标（0,0）,（2m,0）． 4
（3）方法一：∵函数的图象在直线y=m的上方，
∴顶点D在直线y=m的上方． 5
∴＞m． 6
即＜0．
由y=的图象可知，m的取值范围为：﹣1＜m＜0． 7
方法二：∵函数的图象在直线y=m的上方，
∴＞m． 5
∴当=m时，抛物线和直线有唯一交点．
∴= ．
解得． 6
∴m的取值范围为：﹣1＜m＜0． 7


69.（石景山区第一学期期末）用配方法求二次函数的顶点坐标．
答案： 解：

………………………………………………… 4分
∴顶点坐标是．.…………………………………………… 5分

70.（石景山区第一学期期末）次函数的图象经过点．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）当时，求y的取值范围．
解：（1）∵二次函数的图象经过点(1,-2).
∴
解得 .………………………………………………………1分
∴二次函数的表达式
∴二次函数的对称轴为：直线．………………………2分
（2）二次函数的表达式.
当时，， …………………………………………3分
当时，，
当时，，
∴时，的取值范围是. …………………5分
71.（石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点和.
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线与轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线
的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．
解：（1）∵抛物线过点和.
∴
解得：
∴抛物线的表达式为：…………………………3分
（2）∵抛物线
∴抛物线的顶点，对称轴为直线
令得：，
解得：
∴ 点C的坐标为
∵直线BC经过点和C
∴
∴直线与直线BC的交点为、与x轴的交点
如图所示
∴2
72.（顺义区初三上学期期末）已知二次函数．
（1）在网格中，画出该函数的图象．
（2）（1）中图象与轴的交点记为A，B，若该图象上存在
一点C，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．

答案：（1）
…………………………….……….,…….2分
（2）令y=0，代入，则x=1，3，
∴A（0，1），B（0，3），∴AB=2，……….……….,.………………..…….….3分
∵△ABC的面积为3，∴AB为底的高为3，
令y=3，代入，则x=0，4，
∴C（0，3）或（4，3）．…………….……….,…………………….….……….5分（各1分）
73.（顺义区初三上学期期末）28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（-3，4）．
（1）求b的值；
（2）过点A作轴的平行线交抛物线于另一点B，在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C；
①当点C恰巧落在轴时，求直线OP的表达式；
②连结BC，求BC的最小值．

答案：28．
（1）∵抛物线经过点A（-3，4）
令x=-3，代入，则，
∴b=-3．………………………………………………………………………....2分

（2）①






…………………………………….....3分

由对称性可知OA=OC，AP=CP，
∵AP∥OC，∴∠1=∠2，
又∵∠AOP=∠2，∴∠AOP=∠1，
∴AP=AO，
∵A（-3，4），
∴AO=5，∴AP=5，
∴P1（2，4），
同理可得P2（-8，4），
∴OP的表达式为或． ………………………………….5分（各1分）








…………………………………….....6分

②以O为圆心，OA长为半径作⊙O，连接BO，交⊙O于点C
∵B（12，4），
∴OB=， ∴BC的最小值为． ………………………….7分

74.（通州区第一学期期末）在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为．点在直线上.
（1）求，的值；
（2）若点在二次函数上，求的值；
（3）当二次函数与直线相交于两点时，设左侧的交点为，若，求的取值范围．

答案：


75.（西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线：．
（1）补全表格：
抛物线
顶点坐标
与轴交点坐标
与y轴交点坐标





（2）将抛物线向上平移3个单位得到抛物线，请画出抛物线，，并直接
回答：抛物线与轴的两交点之间的距离是抛物线与轴的两交点之间
距离的多少倍．
答案：


76.（西城区第一学期期末）已知抛物线G：（a为常数）．
（1）当时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；
（2）若记抛物线G的顶点坐标为．
①分别用含a的代数式表示p，q；
②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；
③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在 的图象上．
A．一次函数 B．反比例函数 C．二次函数
（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物
线H：（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个
新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．
请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式： （用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式（k，b为常数，k0）中，k= ，b= ．
答案：


77.（燕山地区第一学期初四年级期末）x
…
－ 2
－ 1
0
1
2
…
y
…
0
－ 4
－ 4
0
8
…

抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表：



（1）根据上表填空：
①抛物线与 x 轴的交点坐标是 和 ；
②抛物线经过点 ( － 3， )；
（2）试确定抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式．
答案：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
－4
－4
0
8
…
① (－2，0) 和 (1，0) ……………………..…………….2′ ；
②抛物线经过点 (－3，8)； ……………………..…………….3′
（2）试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式．
设抛物线y=a（x+2）（x-1）将（0，-4）带入得 a=2 ……………………..…………….4′
抛物线y=ax2+bx+c的解析式是y=2（x+2）（x-1）=2x2+2x-4 ……………………..…………….5′


78.（燕山地区第一学期初四年级期末）在平面直 角坐标系 xOy 中，反比例函数的图象经过点 A(1，4)，B(m，n)．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若二次函数 y ＝ (x － 1)2 的图象经过点 B，求代数式的值；
（3）若反比例函数的图象与二次函数 y ＝ a(x － 1)2 的图象只有一个交点，且该交
点在直线 y ＝ x 的下方，结合函数图象，求 a 的取值范围．
解：(1)将A(1，4)代入函数y＝．k=4
反比例函数y＝的解析式是 ……………………..…………….1′

(2)二次函数y＝(x－1)2的图象经过点 B(m，n)，
∴ 即
又B(m，n)在反比例函数y＝上，
∴mn=4,
……………………..…………….4′

(3)由反比例函数的解析式为y＝.令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2.∴反比例函数y＝的图象与直线y＝x交于点(2，2)，(－2，－2)．如图，当二次函数y＝a(x－1)2的图象经过点(2，2)时，可得a＝2；当二次函数y＝a(x－1)2的图象经过点(－2，－2)时，可得a＝－.
∵二次函数y＝a(x－1)2图象的顶点为(1，0)，∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是0






……………………..…………….7′

79.（昌平区二模）在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D．
①在的条件下，当时，n的取值范围是，求抛物线的表达式；
②若D点坐标（4，0），当时，求a的取值范围.
答案.解：（1）把 代入二次函数得：即
∴
∵点A在点B的左侧，
∴，………………………………2分
（2）①抛物线的对称轴为直线：；
由题意二次函数的顶点为，…………………………………3分
代入解析式，可得
抛物线的解析式为……………………………………………………4分
②∵D点坐标（4，0），
∴点P的横坐标为4，代入得……………………………………………5分
∵D点坐标（4，0），A点坐标（，0）
∴
∵
∴……………………………………6分
80.（朝阳区二模）已知二次函数．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线 ；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；
（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设t ≤ x1 ≤ t+1，当x2≥3时，均有y1 ≥ y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．
答案：（1）x=1 …………………………………………………………………………1分
（2）解：∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，1≤x≤5，
∴当x=5时，y的值最大，即M（5，）. ……………………………3分
把M（5，）代入y=ax2－2ax－2，解得a=. …………………………4分
∴该二次函数的表达式为y=.
当x=1时，y＝，
∴N（1，）. ……………………………………………………5分
（3）－1≤t≤2. ………………………………………………………………7分
81.（东城区二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求直线关于轴的对称直线的表达式；
（3）点是轴上的动点，过点作垂直于轴的直线，直线与该抛物线交于点，与直线交于点．当时，求点的横坐标的取值范围．







解：（1）把点和分别代入，
得
解得．
∴抛物线的表达式为． -------------------------------------------------------------2分

（2）设点关于轴的对称点为，
则点的坐标为.
∴直线AB关于轴的对称直线为直线.
设直线的表达式为，
把点和分别代入，
得
解得．
∴直线的表达式为．
即直线AB关于轴的对称直线的表达式为. --------------------------------------4分
（3）如图，直线与抛物线交于点.
设直线与直线的交点为，
则 ．
∵，
∴.
∴点在线段上（不含端点）．
∴点在抛物线夹在点与点之间
的部分上．
联立与，
可求得点的横坐标为2．
又点的横坐标为4，
∴点的横坐标的取值范围为． --------------------------------------------------7分
82.（房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象经过A（0，4），B（2，0），C（－2，0）三点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）在x轴上有一点D（－4，0），将二次函数的图象沿射线DA方向平移，使图象再次经过点B.
①求平移后图象顶点E的坐标；
②直接写出此二次函数的图象在A，B两点之间（含A，B两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.
解:（1）∵A（0，4），B（2，0），C（－2，0）
∴二次函数的图象的顶点为A（0，4）
∴设二次函数表达式为
将B（2，0）代入，得
解得，
∴二次函数表达式 ……………………………………2′
（2）①设直线DA：
将A（0，4），D（－4，0）代入，得

解得，
∴直线DA: ……………………………………………………3分
由题意可知，平移后的抛物线的顶点E在直线DA上
∴设顶点E（m，m +4）
∴平移后的抛物线表达式为
又∵平移后的抛物线过点B（2，0）
∴将其代入得，
解得，，（不合题意，舍去）
∴顶点E（5，9）…………………………………………………………5分
② 30.………………………………………………………………………………7分
83.（丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y = x2 - 4x + 2m - 1与x轴交于点A，B.（点A在点B的左侧）
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标．

解：（1）∵抛物线y=x2-4x+2m-1与x轴有两个交点，令y=0.
∴x2-4x+2m-1=0. ∵ 与x轴有两个交点， ∴方程有两个不等的实数根.
∴Δ>0.
即Δ=(-4)2-4•(2m-1)>0
∴m<2.5. ………………………2分
（2） ∵m<2.5，且m取最大整数，
∴m=2. ………………………3分
当m=2时，抛物线y=x2-4x+2m-1= x2-4x+3.
令y=0，得x2-4x+3=0，解得x1 = 1，x2=3.
∴抛物线与x轴两个交点的坐标为A（1，0），B（3，0）. ……………5分
84.（丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象的顶点为点D．
（1）当时，求点D的坐标；
（2）当≤≤时，求函数的最小值m．
（用含h的代数式表示m）



解：（1）∵抛物线=（x-h）2+h-h2，
∴顶点D的坐标为（h，h-h2），
∴当h=-1时，点D的坐标是（-1，-2）． …………3分
（2）当x=-1时，y= 3h+1，
当x=1时，y=-h+1． …………4分
① 当h<-1时，函数的最小值m= 3h+1 …………5分
② 当-1≤h≤1时，，函数的最小值m= h-h2 …………6分
③ 当h>1时，，函数的最小值m=-h+1 …………7分
85.（西城区二模） 抛物线M： (a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D.
（1）抛物线M的对称轴是直线____________；
（2）当AB=2时，求抛物线M的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，直线l：(k≠0)经过抛物线的顶点D，直线与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为，，直线与直线l的交点的横坐标记为（），若当≤n≤时，总有，请结合函数的图象，直接写出k的取值范围.











解：如图8.
（1）.…………………………… 1分
（2）∵ 抛物线 的对称轴为直线，抛物线M与x轴的
交点为点A，B（点A在点B左侧），AB=2，
∴ A，B两点的坐标分别为，.……………………………… 2分
∵ 点A在抛物线M上，
∴ 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得.
解得 . ………………………………………………………………… 3分
∴ 抛物线M的函数表达式为. ………………………… 4分
图8
（3）. ………………………………………………………………………… 6分