2023年中考数学 章节专项练习18 二次函数概念、性质和图象

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一、选择题
1.（2019山东济宁，8，3分）将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2
【答案】D
【思路分析】把抛物线y＝x2－6x＋5化成顶点式，再根据“左加右减”方法进行平移．
【解题过程】y＝x2－6x＋5＝ (x－3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得y＝ (x－3－1) 2－4＋2，即y＝(x－4)2－2．
【知识点】抛物线的平移规律．

2. (2019四川巴中,10,4分)二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b－c>0,④a+b+c<0,其中正确的是( )
A.①④ B.②④ C.②③ D.①②③④

第10题图
【答案】A
【思路分析】根据图象信息,可得开口向下,对称轴为x＝－1,与x轴有两个不同的交点,与y轴交于正半轴,x＝－3时函数值小于零,据此即可得到有关a,b,c的信息,从而做出判断.
【解题过程】①:因为图象与x轴有两个不同的交点,所以b2－4ac>0,即b2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x＝－1,所以,所以2a＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b－c<0,③错误;④当x＝1时,y＝a+b+c,由图可得,x＝－3时,y<0,由对称性可知,当x＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,选A.
【知识点】二次函数的性质,二次函数与一元二次方程的关系,二次函数的对称轴及对称性

3.（2019四川达州，9，3分）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置， AB与EF在一条直线上，点A与点F重合.现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与点B重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时t的函数图像大致是( )

【答案】C
【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.
【解题过程】运动过程中，当顶点G在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t，面积S与t的函数关系式为，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G在正方形内部时，重合部分为四边形，设运动时间为t，面积S与t的函数关系式为，函数图像为开口向下的二次函数，故选C

【知识点】二次函数的图形与性质

4. （2019四川凉山，12，4分）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a–b=0；②b2-4ac＞0；③5a-2b+c＞0； ④4b+3c＞0,其中错误结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第12题图

【答案】A
【思路分析】根据二次函数的性质和二次函数的图象可以判断题目中各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解析】根据对称轴得b=3a，故可得3a–b=0，所以结论①正确；由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2-4ac＞0，结论②正确；根据结论①可知b=3a，∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c，观察图像可知a＜0,c＞0，∴5a-2b+c=-a+c＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x=1时，y=a+b+c＜0，∵a=，∴+c＜0，∴4b+3c＜0，所以结论④错误.故选A.
【知识点】二次函数图象与系数的关系

5.（2019四川攀枝花，9，3分）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是（ ）







A． B． C． D．
【答案】C
【解析】据参数符号可排除A、D选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C．
【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象

6.（2019天津市，12，3分）二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0;(2)-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；（3）0 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】C
【解析】(1)因为当时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y随x的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当时，与其对应的函数值y>0可得，当x=-1时，m=a-b-2=2a-2>,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n，所以m+n>，故（3）错误，所以答案为C
【知识点】二次函数图像的性质.

7.（2019浙江衢州，6，3分）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A. （1.3） B.（1，-3） C.（-1.3） D.（-1.-3）
【答案】A
【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），所以y=（x-1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A。
【知识点】二次函数的性质

8.（2019重庆市B卷，5，4分）抛物线y＝的对称轴是（　　　）
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
【答案】Ｃ
【解析】设二次函数的解析式是y=，则二次函数的对称轴为直线,顶点横坐标为顶点纵坐标为.所以抛物线y＝的对称轴是直线.故选Ｃ．
【知识点】二次函数对称轴

9.（2019四川自贡，9，4分）一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是（ ）


【答案】A.
【解析】解：∵双曲线y=经过一、三象限，
∴c＞0.
∴抛物线与y轴交于正半轴.
∵直线y=ax+b经过第一、二和四象限，
∴a＜0，b＞0，即＜0.
∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.
故选A.
【知识点】一次函数的图象，反比例函数图象和二次函数的图象

10.（2019四川南充，11，4分）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：当时，；
当时，；
所以．
故选：A．
【知识点】二次函数图象及其性质

11.（2019甘肃天水，10，4分）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（　　）

【答案】D
【解析】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；
A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；
D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．
故选：D．
【知识点】动点问题的函数图象

12.（2019甘肃省，10，3分）如图是二次函数的图象，对于下列说法：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小，其中正确的是　　

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
【答案】C
【解析】解：①由图象可知：，，，故①错误；
②由于对称轴可知：，，故②正确；
③由于抛物线与轴有两个交点，△，故③正确；
④由图象可知：时，，故④正确；
⑤当时，随着的增大而增大，故⑤错误；
故选C．
【知识点】二次函数图象与系数的关系

13.（2019湖北鄂州，9，3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确；
②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∵，∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；
③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，
∴a+c＜﹣b，
∵a＞0，c＞0，﹣b＞0，
∴（a+c）2＜（﹣b）2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，
即a+b≤m（am+b），所以④正确．
故选：D．
【知识点】二次函数图象与系数的关系

二、填空题
1.（2019江苏无锡，14，2分）某个函数具有性质：当>0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是（只要写出一个符合题意的答案即可）.
【答案】y=x2
【解析】本题主要考查了一次函数与二次函数的增减性，y=kx（k>0）和y=ax2（a>0）都符合条件，故答案可以为y=x2.
【知识点】一次函数性质；二次函数性质

2.（2019山东济宁，15，3分）如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是．

【答案】x＜－3或x＞1
【思路分析】把不等式ax2＋mx＋c＞n转化为ax2＋c＞－mx＋n，其中y＝－mx＋n和y＝－mx＋n关于y轴对称，最后即可比较大小．
【解题过程】由所给的图象可知，x＜－3或x＞1时，ax2＋c＞－mx＋n．．
【知识点】函数的大小比较

3. (2019山东泰安,16,4分)若二次函数y＝x2+bx－5的对称轴为直线x＝2,则关于x的方程x2+bx－5＝2x－13的解为________.
【答案】x1＝2,x2＝4
【解析】∵二次函数y＝x2+bx－5的对称轴为直线x＝2,∴,∴b＝－4,∴原方程化为x2－4x－5＝2x－13,解之,得x1＝2,x2＝4.
【知识点】二次函数的对称轴,解一元二次方程

4.（2019四川达州， 16，3分）如图，抛物线（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.
①抛物线与直线y=m+2有且只有一个交点；②若点M（-2，y)、点N（，y)、点P（2，y)在该函数图像上，则y

【答案】①③④
【思路分析】①可以根据二次函数与一次函数图像交点的个数，把它们的解析式联立；②可以从图像上判断；③可以先把二次函数的解析式配成顶点式，再进行平移；④可以先确定好D、E的位置再计算.
【解题过程】抛物线与直线y=m+2的交点为：

得：
因为
∴抛物线与直线y=m+2有且只有一个交点，①正确.
由图可得：，故②错误；
=，将该抛物线向左平移2个单位，在向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为，故③正确；
点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为，故④正确
【知识点】二次函数的图像和性质，二次函数图像的平移

5.（2019四川凉山，23，5分）当0≤x≤3时，直线y=a与抛物线y=(x-l)2-3有交点，则a的取值范围是 ．
【答案】-3≤a≤-2
【解题过程】抛物线y=(x-1)2-3的顶点坐标为（1，-3），当x=0时，y=-2，当x=3时，y=1，∴当0≤x≤3时，-3≤y≤-2，∴直线y=a与抛物线有交点时，a的取值范围为-3≤a≤-2.
【知识点】二次函数的最值；数形结合思想

6.（2019安徽省，14，5分）在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线分别与函数和的图象相交于，两点．若平移直线，可以使，都在轴的下方，则实数的取值范围是 ．
【答案】或；
【解析】解：与轴的交点为，
平移直线，可以使，都在轴的下方，
∴当时，，
，
或；
故答案为或；
【知识点】二次函数图象与系数的关系

7.（2019甘肃天水，15，4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为M　　N．（填“＞”、“＝”或“＜”）

【答案】＜
【解析】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
M﹣N＝4a+2b﹣（a﹣b）
＝4a+2b+c﹣（a﹣b+c）＜0，
即M＜N，
故答案为：＜
【知识点】二次函数图象与系数的关系

8.（2019甘肃武威，15，4分）将二次函数化成的形式为 ．
【答案】
【解析】解：，
所以．
故答案为．
【知识点】二次函数的三种形式
三、解答题
1.(2019浙江宁波,22,10分)如图,已知二次函数y＝x2+ax+3的图形经过点P(－2,3).
(1)求a的值和图象的顶点坐标;
(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上:
①当m＝2时,求n的值;
②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.
【思路分析】(1)将点P坐标代入解析式,可得a的值,进而求得顶点坐标;(2)①将m＝2代入解析式即可求得n的值;②点Q到y轴的距离小于2,即－2 【解题过程】(1)把P(－2,3)代入y＝x2+ax+3,得3＝(－2)2+a(－2)+3,解之,得a＝2,∴y＝x2+2x+3＝(x+1)2+2,∴顶点坐标为(－1,2);
(2)①把x＝2代入y＝x2+2x+3,得y＝11,∴当m＝2,时,n＝11;
②当点Q到y轴的距离小于2时,即－2 【知识点】二次函数解析式,求函数值,二次函数的最值

2.（2019安徽省，22，12分）一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点
（1）求，，的值；
（2）过点，且垂直于轴的直线与二次函数的图象相交于，两点，点为坐标原点，记，求关于的函数解析式，并求的最小值．
【思路分析】（1）由交点为，代入，可求得，由可知，二次函数的顶点在轴上，即，则可求得顶点的坐标，从而可求值，最后可求的值
（2）由（1）得二次函数解析式为，令，得，可求的值，再利用根与系数的关系式，即可求解．
【解题过程】解：（1）由题意得，，解得，
又二次函数顶点为，

把带入二次函数表达式得，解得
（2）由（1）得二次函数解析式为，令，得
，设，两点的坐标分别为，，，则，

当时，取得最小值7
【知识点】一次函数的性质；二次函数的性质

3.（2019四川南充，26，9分）如图，在中，，，点为的中点，，将绕点顺时针旋转度，角的两边分别交直线于、两点，设、两点间的距离为，，两点间的距离为．
小涛根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小涛的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是，两点间的距离进行取点、画图、测量，分别得到了与的几组对应值：

0
0.30
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50

3.00
3.50
3.68
3.81
3.90
3.93
4.10

　　
2.88
2.81
2.69
2.67
2.80
3.15
　　
3.85
5.24
6.01
6.71
7.27
7.44
8.87
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图象．

（3）探究性质：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势：　　．
（4）解决问题：当时，的长度大约是　　．（保留两位小数）．

【思路分析】（1）①当时，则；②，则，即可求解；
（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势；
（3），即，在上图中作直线，即可求解．
【解题过程】解：（1）①当时，
连接，则，，

，则，
则；
②，
在中，，，
，，
过点作于点，

则，则，
，
则，
故，
则；
故：答案为3，；
（2）描点出如下图象，

从图象可以看出：时，随最大而减小，
当时，随最大而增大；
（3），即，
在上图中作直线，
直线与曲线交点的纵坐标为：2.68和7.45，
故答案为：2.68或7.45．
【知识点】动点问题的函数图象