北京市东城区广渠门中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学【试卷+答案】

这是一份北京市东城区广渠门中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学【试卷+答案】，共24页。试卷主要包含了选择题请把答案填在以下表格里，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市东城区广渠门中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（共10小题；共30分）请把答案填在以下表格里
1．中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方后得到的方程是（　　）
A．（x﹣1）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x+1）2＝5 D．（x+2）2＝3
3．方程x2﹣2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
4．已知由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　）
A．其图象的开口向下
B．x＞3时，y随x增大而增大
C．其顶点坐标为（4，2）
D．其图象的对称轴为直线x＝4
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）

A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＞0
7．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
8．若函数y＝x2+3x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则下列说法正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
9．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　）

A． B． C．4 D．6
10．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．+
二、填空题（共8小题；共16分）
11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是　 　．
12．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向上；②图象过原点，这个二次函数的解析式可以是 　 　．
13．某网店2020年一月份销售一种商品1000件，2020年三月份销售该种商品2500件，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　 　．
14．如果关于x的方程mx2+（m﹣1）x+5＝0有一个解是2，那么m＝　 　．
15．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是　 　．
16．点P（﹣1，4）绕原点顺时针旋转90°得到点p'，点p'的坐标为 　 　．
17．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC 内一点，且AD＝3，将△ABD绕点A旋转到△ACE的位置，连接DE，则DE的长为　 　．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，1），B（4，1），将抛物线y＝x2沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度后，使其与线段AB（含端点）没有交点，那么m的取值范围是 　 　．

三、解答题（共8小题；共54分）。
19．解方程：
（1）x2+x﹣1＝0；
（2）x2﹣2x＝3．
20．已知二次函数y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其中点A的坐标为（﹣1，0），AB＝4．求该二次函数的表达式．
21．已知关于x的一元二次方程2x2+（m﹣2）x﹣m＝0．
（1）求证：无论m取何实数，原方程总有两个实数根．
（2）若原方程的两个实数根一个小于2，另一个大于3，求m的取值范围．
22．如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）点B1的坐标为 　 　；
（3）作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2．

23．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）当AB＝4，AD：DC＝1：3时，求DE的长．

24．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8m时，水面宽AB为12m．当水面上升6m时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？

下面给出了解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为（ 　 　，　 　），抛物线的顶点坐标为（ 　 　，　 　）．
可求这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 　 　．
当y＝6时，求出此时自变量x的取值 　 　，即可解决这个问题．
方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 　 　．
当y＝　 　时，求出此时自变量x的取值为 　 　，即可解决这个问题．
由此可知，水面上升6m达到警戒水位时，此时拱桥内的水面宽度是 　 　米．
25．已知抛物线y＝mx2+2mx﹣3m（m≠0）与x轴交于A，B两点（其中A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B的坐标；
（2）若直线y＝x+n过A，C两点．
①求抛物线解析式；
②点C关于x轴的对称点为D，若过点D的直线y＝kx+b与抛物线在x轴上方（不含x轴上的点）的部分无公共点，结合函数图象，求k的取值范围．
26．已知∠MON＝α（0＜α＜180°），P为射线OM上的点，OP＝1．
（1）如图1，若α＝60°，A，B均为射线ON上的点，OA＝1，OB＞OA，△PBC为等边三角形，且O，C两点位于直线PB的异侧，连接AC．
①依题意将图1补全；
②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明；
（2）如图2，若α＝45°，Q为射线ON上一动点（Q与O不重合），以PQ为斜边作等腰直角△PQR，使O，R两点位于直线PQ的异侧，连接OR．根据（1）的解答经验，直接写出△POR的面积．
（3）若点E为射线ON上的点，OE＝3，以PE为边作等边△PEF，且O，F两点位于直线PE的异侧，连接OF．直接写出线段OF的最大值．



参考答案
一、选择题（共10小题；共30分）请把答案填在以下表格里
1．中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
2．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方后得到的方程是（　　）
A．（x﹣1）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x+1）2＝5 D．（x+2）2＝3
【分析】根据完全平方公式解答即可．
解：x2+4x﹣1＝0，
配方，得x2+4x+4＝5，
则（x+2）2＝5，
故选：B．
3．方程x2﹣2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】计算出判别式的值即可得出答案．
解：∵a＝1，b＝0，c＝﹣2，
∴Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
4．已知由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　）
A．其图象的开口向下
B．x＞3时，y随x增大而增大
C．其顶点坐标为（4，2）
D．其图象的对称轴为直线x＝4
【分析】根据二次函数的性质，可以写出二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2的图象的开口方向，顶点坐标、对称轴、增减性，从而可以判断各个选项中的说法是否正确．
解：∵二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2，
∴该函数图象的开口向上，故选项A不符合题意；
当x＞4时，y随x的增大而增大，当3＜x＜4时，y随x的增大而减小，故选项B不符合题意；
顶点坐标为（4，﹣2），故选项C不符合题意；
其图象的对称轴为直线x＝4，故选项D符合题意；
故选：D．
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．
解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故选：B．
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）

A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＞0
【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选：B．
7．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【分析】先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．
解：∵此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴直线是：x＝＝12，
∴x＝12时，函数值最大，
即第12秒炮弹所在高度最高，
故选：C．
8．若函数y＝x2+3x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则下列说法正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
【分析】求出抛物线的对称轴，求出C关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的增减性，即可求出答案．
解：∵y＝x2+3x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣，
即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
C点关于直线x＝﹣的对称点是（0，y3），
∵﹣1＜0＜2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：A．
9．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　）

A． B． C．4 D．6
【分析】根据旋转的性质得出AC＝AC1，∠BAC1＝90°，进而利用勾股定理解答即可．
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°，
∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，
∴∠BAC1＝90°，
∴在Rt△BAC1中，BC1＝＝．
故选：B．
10．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．+
【分析】作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，则△APC的周长的最小，根据抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系计算即可．
解：作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，
则△APC的周长的最小，
由抛物线的对称性可知，点C′在抛物线上，
当x＝0时，y＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴点C′的纵坐标为2，
2＝﹣x2+x+2，
解得，x1＝0，x2＝3，
则点C′的横坐标为3，
﹣x2+x+2＝0，
x1＝﹣1，x2＝4，
则点A的坐标为（﹣1，0），
∴AC′＝＝2，AC＝＝，
∴△APC的周长的最小值是3，
故选：B．

二、填空题（共8小题；共16分）
11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是　（2，﹣1）　．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，得出答案即可．
解：点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）．
12．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向上；②图象过原点，这个二次函数的解析式可以是 　y＝x2（答案不唯一）　．
【分析】根据题目中的条件和二次函数的性质，可以写出一个符合要求的函数解析式．
解：∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵图象过原点，
∴该函数过点（0，0），
∴符合要求的二次函数解析式可以为y＝x2，
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
13．某网店2020年一月份销售一种商品1000件，2020年三月份销售该种商品2500件，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　1000（1+x）2＝2500　．
【分析】由该呼吸机制造商2020年一月份及三月份生产呼吸机的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意，得：1000（1+x）2＝2500．
故答案为：1000（1+x）2＝2500．
14．如果关于x的方程mx2+（m﹣1）x+5＝0有一个解是2，那么m＝　﹣　．
【分析】直接把x＝2代入方程得到关于m的方程，然后解一次方程．
解：把x＝2代入方程得4m+2（m﹣1）+5＝0，
解得m＝﹣．
故答案为﹣．
15．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是　4　．
【分析】把抛物线化为顶点式可得出其顶点坐标，根据顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0可求得c．
解：
∵y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，
∴其顶点坐标为（2，c﹣4），
∵顶点在x轴上，
∴c﹣4＝0，解得c＝4，
故答案为：4．
16．点P（﹣1，4）绕原点顺时针旋转90°得到点p'，点p'的坐标为 　（4，1）　．
【分析】利用旋转变换的性质作出点P的对应点P′，可得结论．
解：如图，观察图象可知，P′（4，1）．

故答案为：（4，1）．
17．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC 内一点，且AD＝3，将△ABD绕点A旋转到△ACE的位置，连接DE，则DE的长为　3　．

【分析】根据旋转的性质易得AD＝AE，旋转角为60°，那么可得△ADE的形状，也就求得了DE长．
解：旋转的性质易得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD＝3．
故答案为3．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，1），B（4，1），将抛物线y＝x2沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度后，使其与线段AB（含端点）没有交点，那么m的取值范围是 　0＜m＜1或m＞5　．

【分析】将抛物线y＝x2沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度后，得到y＝（x﹣m）2，求得其经过点A、B时m的值，然后根据图象求得即可．
解：将抛物线y＝x2沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度后，得到y＝（x﹣m）2，
把A（2，1）代入得1＝（2﹣m）2，
解得m＝3或1，
把B（4，1）代入得1＝（4﹣m）2，
解得m＝3或5，
∴使y＝（x﹣m）2与线段AB（含端点）没有交点时，m的取值范围是0＜m＜1或m＞5．
故答案为0＜m＜1或m＞5．
三、解答题（共8小题；共54分）。
19．解方程：
（1）x2+x﹣1＝0；
（2）x2﹣2x＝3．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝；
（2）∵x2﹣2x＝3，
∴x2﹣2x﹣3＝0，
则（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
20．已知二次函数y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其中点A的坐标为（﹣1，0），AB＝4．求该二次函数的表达式．
【分析】A，B两点（点A在点B左侧）是二次函数与x轴的交点，根据点A的坐标和AB＝4，可以求出点B坐标，再用待定系数法求函数解析式即可．
解：∵点A的坐标为（﹣1，0），AB＝4，点A在点B左侧，
∴B的坐标为（3，0），
将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝﹣x2+mx+n得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
21．已知关于x的一元二次方程2x2+（m﹣2）x﹣m＝0．
（1）求证：无论m取何实数，原方程总有两个实数根．
（2）若原方程的两个实数根一个小于2，另一个大于3，求m的取值范围．
【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式可判断△≥0，则根据判别式的意义可得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝1，x2＝﹣m，则﹣m＞3，解不等式得到m的范围．
【解答】（1）证明：∵△＝（m﹣2）2﹣4×2×（﹣m）
＝m2﹣4m+4+8m
＝m2+4m+4
＝（m+2）2≥0，
∴无论m取何实数，原方程总有两个实数根；
（2）解：x＝，
即x1＝1，x2＝﹣m，
∵原方程的两个实数根一个小于2，另一个大于3，
∴﹣m＞3，
解得m＜﹣6．
22．如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）点B1的坐标为 　（﹣1，﹣3）　；
（3）作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2．

【分析】（1）（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（3）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）点B1的坐标为（﹣1，﹣3）；
故答案为（﹣1，﹣3）；
（3）如图，△A2B2C2为所作．

23．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）当AB＝4，AD：DC＝1：3时，求DE的长．

【分析】（1）由题意我们知道∠A+∠C＝90°，那么我们只要通过全等三角形来得出∠BCE＝∠A，就能得出∠DCE＝90°的结论，那么关键就是证明三角形ADB和CBE全等，根据题意我们知三角形CBE是由三角形ABD旋转得来，根据旋转的性质我们可得出两三角形全等．
（2）由（1）可得出三角形DEC是个直角三角形，要求DE的长，就必须求出CD和CE，由（1）可知AD＝CE，那么就必须求出AD和DC的长，有AD，CD的比例关系，那么求出AC就是关键．直角三角形ABC中，AB＝AC，有AB的长，进而可得AC的值．
解：（1）∵△CBE是由△ABD旋转得到的，
∴△ABD≌△CBE，
∴∠A＝∠BCE＝45°，
∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝90°．

（2）在等腰直角三角形ABC中，
∵AB＝4，∴AC＝4，
又∵AD：DC＝1：3，
∴AD＝，DC＝3．
由（1）知AD＝CE且∠DCE＝90°，
∴DE2＝DC2+CE2＝2+18＝20，
∴DE＝2．
24．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8m时，水面宽AB为12m．当水面上升6m时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？

下面给出了解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为（ 　12　，　0　），抛物线的顶点坐标为（ 　6　，　8　）．
可求这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 　y＝﹣x2+x　．
当y＝6时，求出此时自变量x的取值 　3或9　，即可解决这个问题．
方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 　y＝﹣x2　．
当y＝　﹣2　时，求出此时自变量x的取值为 　±3　，即可解决这个问题．
由此可知，水面上升6m达到警戒水位时，此时拱桥内的水面宽度是 　6　米．
【分析】方法一：根据顶点坐标为（4，4），设其解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，0）代入求出a的值即可得；
方法二：设抛物线解析式为y＝ax2，将点（4，﹣4）代入求得a的值，据此可得抛物线的解析式，再求出上涨3m后，即y＝﹣1时x的值即可得．
解：方法一：B（12，0），O（6，8），
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2+8，
把B点的坐标代入得，a＝﹣，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x；
当y＝6时，求出此时自变量x的取值为x＝3或x＝9；
方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，
把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2；
y＝﹣2时，求出此时自变量x的取值为±3，
水面上升6m达到警戒水位时，此时拱桥内的水面宽度是6米，
故答案为：12，0，6，8，y＝﹣x2+x，3或9；y＝﹣x2；6，﹣2，±3，6．
25．已知抛物线y＝mx2+2mx﹣3m（m≠0）与x轴交于A，B两点（其中A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B的坐标；
（2）若直线y＝x+n过A，C两点．
①求抛物线解析式；
②点C关于x轴的对称点为D，若过点D的直线y＝kx+b与抛物线在x轴上方（不含x轴上的点）的部分无公共点，结合函数图象，求k的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，求出方程mx2+2mx﹣3m＝0的解即可；
（2）①根据已知条件和待定系数法求出m，n的值即可；
②先根据①求出点C的坐标，再根据点D与点C关于x轴对称，从而求出点D坐标，再根据过点D的直线y＝kx+b与抛物线在x轴上方（不含x轴上的点）的部分无公共点，结合图象，求出k的取值范围．
解：（1）令y＝0，则mx2+2mx﹣3m＝0，
∵m≠0，
∴x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∵A在B的左侧，
∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标（1，0）；
（2）①令x＝0，则y＝﹣3m，
∴点C坐标为（0，﹣3m），
∵直线y＝x+n过A，C两点，
∴，
解得：，
∴点C坐标为（0，3），
直线AC的解析式为y＝x+3，
抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
②∴点C坐标为（0，3），
∴点C关于x轴的对称点D的坐标为（0，﹣3），
∵直线y＝kx+b过点D，
∴b＝﹣3，
过点D的直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象如图所示：

①当直线过点B，D时，
把B（1，0）代入y＝k1 x﹣3得，k1﹣3＝0，
解得：k1＝3，
②当直线过点A，D时，
把A（﹣3，0）代入y＝k2﹣3得，﹣3k2﹣3＝0，
解得：k2＝﹣1，
根据一次函数的性质，若过点D的直线y＝kx+b与抛物线在x轴上方（不含x轴上的点）的部分无公共点，
则k的取值范围为：0＜k≤3或﹣1≤k＜0．
26．已知∠MON＝α（0＜α＜180°），P为射线OM上的点，OP＝1．
（1）如图1，若α＝60°，A，B均为射线ON上的点，OA＝1，OB＞OA，△PBC为等边三角形，且O，C两点位于直线PB的异侧，连接AC．
①依题意将图1补全；
②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明；
（2）如图2，若α＝45°，Q为射线ON上一动点（Q与O不重合），以PQ为斜边作等腰直角△PQR，使O，R两点位于直线PQ的异侧，连接OR．根据（1）的解答经验，直接写出△POR的面积．
（3）若点E为射线ON上的点，OE＝3，以PE为边作等边△PEF，且O，F两点位于直线PE的异侧，连接OF．直接写出线段OF的最大值．

【分析】（1）①根据题意，画出图形即可；
②如图1，连接PA，只要证明△OBP≌△ACP（SAS）即可解决问题；
（2）作PH⊥OQ于H，取PQ的中点K，连接HK，RK．只要证明OP∥RH即可解决问题；
（3）如图3，先根据边界点确定点F的运动轨迹：点F的运动轨迹是以G为圆心以1为半径的半圆，当OF过圆心G时，OF有最大值，根据三角形的中位线定理和梯形的中位线定理可得OF的最大值是4．
解：（1）①如图1所示：

②结论：AC∥OM；
理由：连接AP，
∵OA＝OP＝1，∠POA＝60°，
∴△OAP是等边三角形，
∴OP＝PA，∠OPA＝∠OAP＝60°，
∵△PBC是等边三角形，
∴PB＝PC，∠BPC＝60°，
∴∠OPA+∠APB＝∠BPC+∠APB，
即∠OPB＝∠APC，
∴△OBP≌△ACP（SAS），
∴∠PAC＝∠O＝60°，
∴∠OPA＝∠PAC，
∴AC∥OM；

（2）如图2，作PH⊥OQ于H，取PQ的中点K，连接HK，RK，RH，

∵∠POH＝45°，
∴△POH是等腰直角三角形，
∵OP＝1，
∴PH＝OH＝，
∵∠PHQ＝∠PRQ＝90°，PK＝KQ，
∴HK＝PK＝KQ＝RK，
∴P，R，Q，H四点共圆，
∴∠RHQ＝∠RPQ＝45°，
∴∠RHQ＝∠POQ＝45°，
∴RH∥OP，
∴S△POR＝S△POH＝××＝；

（3）如图3，当α＝0°时，点P在P'上，P'H＝EH＝P'E＝3﹣1＝2，

当α＝180°时，P在P''上，ED＝P''E＝3+1＝4，
∴随着α的增大，点F的运动轨迹是以G为圆心以1为半径的半圆，当OF过圆心G时，OF有最大值，
∴EP'＝P'P''，EH＝DH，
∴P'H是△EDP''的中位线，
∴P''D∥P'H，
∵OP'＝OP''，DG＝GH，
∴OG＝（2+4）＝3，
∴PF的最大值是3+1＝4．