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人教版2021届一轮复习打地基练习 反函数
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这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 反函数，共25页。试卷主要包含了设函数f，函数y＝的反函数是，设函数y＝f，若函数y＝f，定义在R上的函数f，已知函数f，设a∈R，若f，已知f等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 反函数
一．选择题（共16小题）
1．设函数f（x）＝eax与g（x）＝blnx的图象关于直线x﹣y＝0对称，其中a，b∈R且a＞0，则a，b满足（ ）
A．a+b＝2 B．a＝b＝1 C．ab＝1 D．
2．函数y＝的反函数是（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
3．设函数y＝f（x）与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（2）＝（ ）
A．4 B． C．1 D．
4．若函数y＝f（x）与函数y＝log2x互为反函数，则＝（ ）
A．9 B．11 C．16 D．18
5．定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．不能确定
6．已知函数f（x）为R上的单调函数，f﹣1（x）是它的反函数，点A（﹣2，3）和点B（2，1）均在函数f（x）的图象上，则不等式|f﹣1（3x）|＜2的解集为（ ）
A．（0，1） B．（1，3） C．（﹣1，1） D．（0，3）
7．设a∈R，若f（x）＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），则a＝（ ）
A．7 B．3 C．1 D．﹣1
8．在同一坐标系中，函数y＝ex与y＝e﹣x的图象之间的关系是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
9．下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ）
A．y＝x﹣3和y＝x
B．y＝x和y＝x（x≥0）
C．y＝2x（x＞0）和y＝log2x（x＞1）
D．y＝lg（x﹣1）（x＞1）和y＝10x+1
10．已知f（x）＝，x∈D有反函数f﹣1（x）＝﹣，x∈A，则f（x）的定义域D可能是（ ）
A． B． C． D．[﹣3，3]
11．设f（x）＝log2x的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（a）＝4，则a等于（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
12．函数f（x）＝x2+2x﹣3（x＜﹣3）的反函数f﹣1（x）＝（ ）
A． B．
C． D．
13．设y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若y＝f（x+1）的图像过点P（﹣2，4），则y＝f﹣1（x+1）过点（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（5，﹣1） D．（﹣1，5）
14．下列函数：①； ②y＝﹣log2x； ③； ④y＝x3．其中原函数的图象与其反函数的图象有三个交点的函数为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
15．已知函数f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，且函数f（x﹣1）的图象经过点（1，1），则函数f﹣1（x）的图象一定经过点（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（1，2） D．（2，1）
16．已知函数f（x）＝log2x的反函数为g（x），则g（1﹣x）的图象为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共17小题）
17．已知f（x）＝3x﹣2，则f﹣1[f（x）]＝ ；f[f﹣1（x）]＝ ．
18．函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（4）＝ ．
19．已知函数f（x）＝log2x+1，f（x）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（1）＝ ．
20．若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为 ．
21．函数f（x）＝x2，（x＜﹣2）的反函数是 ．
22．已知函数f（x）＝的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）＝ ．
23．设函数f（x）＝的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）＝ ．
24．函数f（x）＝log2（3x+1），x∈[0，5]的反函数是 ．
25．设f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，则y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为 ．
26．已知函数f（x）＝（a）图象与它的反函数图象重合，则实数a＝ ．
27．已知函数f（x）＝1﹣x，则f﹣1（0）＝ ．
28．设函数f（x）＝的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（a）≥6，则实数a的取值范围是 ．
29．已知函数f（x）＝，则f﹣1[f﹣1（﹣9）]＝ ．
30．已知函数f（x）＝x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，若函数y＝f（x）在其定义域内有反函数，则实数t的取值范围是 ．
31．已知指数函数的图象过点（2，4），则其反函数为 ．
32．已知函数f（x）＝2+logax（a＞0且a≠1）的反函数为y＝f﹣1（x）．若f﹣1（3）＝2，则a＝ ．
33．已知函数f（x）＝）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，则y＝g（x）的定义域为 ．
三．解答题（共9小题）
34．设a＞0，函数．
（1）若a＝1，求f（x）的反函数f﹣1（x）；
（2）求函数y＝f（x）•f（﹣x）的最大值（用a表示）；
（3）设g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，求a的取值范围．
35．已知函数f（x）＝loga（a＞0，a≠1，b≠0）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求f（x）的反函数f﹣1（x）的解析式．
36．设函数f（x）＝（ex﹣e﹣x）（e是自然对数的底数）
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求f﹣1（）的值；
（3）求使f（x）＝a有解的常数a的取值范围．
37．已知函数．
（1）若g（x）为f（x）的反函数，且g（mx2+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值g（a）．
38．设f（x）＝是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）．
39．已知函数f（x）＝ax+3a（a＞0，a≠1）的反函数是y＝f﹣1（x），而且函数y＝g（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称．
（1）求函数y＝g（x）的解析式．
（2）若函数F（x）＝f﹣1（x）﹣g（﹣x）在x∈[a+2，a+3]上有意义，求a的取值范围．
40．已知函数，其中常数λ＞0．
（1）求λ＝1时，函数y＝f（x）的反函数；
（2）求证：函数y＝f（x）的图象关于点成中心对称．
41．已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求该函数的反函数f﹣1（x）；
（3）判断f﹣1（x）的奇偶性．
42．设函数f（x）＝是偶函数．
（1）求实数m的值及g（x）；
（2）设函数g（x）在区间[0，m]上的反函数为g﹣1（x），当g﹣1（2）＞loga（a＞0且a≠1）时，求实数a的取值范围．
人教版2021届一轮复习打地基练习 反函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．设函数f（x）＝eax与g（x）＝blnx的图象关于直线x﹣y＝0对称，其中a，b∈R且a＞0，则a，b满足（ ）
A．a+b＝2 B．a＝b＝1 C．ab＝1 D．
【分析】设A（x，eax）是函数f（x）＝eax图象上任一点，则它关于直线y＝x对称的点A1（eax，x）在函数g（x）＝blnx的图象上，代入解析式即可求得关系式．
【解答】解：设A（x，eax）是函数f（x）＝eax图象上任意一点，
则它关于直线x﹣y＝0对称的点在函数g（x）＝blnx的图象上，
所以x＝blneax＝abx，
即ab＝1，
故选：C．
2．函数y＝的反函数是（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
【分析】利用反函数的求法、分段函数的性质即可得出．
【解答】解：∵y＝，x≥0时，由y＝2x，解得x＝，把x与y互换可得：y＝x；
x＜0，由y＝﹣x2，解得x＝﹣，把x与y互换可得：y＝．
∴函数y＝的反函数是y＝．
故选：B．
3．设函数y＝f（x）与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（2）＝（ ）
A．4 B． C．1 D．
【分析】由于图象关于y＝x对称可得互为反函数，由题意可得f（2）即是原函数的值等于2时的自变量的值，进而求出f（2）
【解答】解：由题意可得y＝f（x）与y＝2x互为反函数，指数函数的反函数为同底的对数函数，
2x＝2，可得x＝1
所以f（2）＝1，
故选：C．
4．若函数y＝f（x）与函数y＝log2x互为反函数，则＝（ ）
A．9 B．11 C．16 D．18
【分析】首先求出反函数的关系式，进一步利用对数的运算的应用求出结果．
【解答】解：因为函数y＝f（x）与函数y＝log2x互为反函数，
所以f（x）＝2x，
所以，
故选：D．
5．定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．不能确定
【分析】分析：由 f（x）+f（﹣x）＝2，得 f（t）+f（﹣t）＝2，注意（2020﹣x ）与 （x﹣2018）的和等于2，若（x﹣2018）与 （2020﹣x）一个是t，则另一个是﹣t，再应用反函数的定义解出 t 和﹣t即得．
【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）＝2，∴f（t）+f（﹣t）＝2，
令 2020﹣x＝m，x﹣2018＝n，∴m+n＝2，
∴可令 f（t）＝m，f（﹣t）＝n，由反函数的定义知，
∴t＝f﹣1（m），﹣t＝f﹣1（n）
∴f1（m）+f1（n）＝0，
即：f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值是0，
故选：A．
6．已知函数f（x）为R上的单调函数，f﹣1（x）是它的反函数，点A（﹣2，3）和点B（2，1）均在函数f（x）的图象上，则不等式|f﹣1（3x）|＜2的解集为（ ）
A．（0，1） B．（1，3） C．（﹣1，1） D．（0，3）
【分析】根据原函数以及它对应的反函数单调性相同，以及A和B均在函数f（x）的图象上，推出函数f（x）的单调性，在根据A，B两点关于y＝x的对称点在反函数的图象上，即可得到不等式|f﹣1（3x）|＜2的解集．
【解答】解：依题意，点A（﹣2，3）和点B（2，1）均在函数f（x）的图象上，
∴f（x）为其定义域内的减函数，
∴f﹣1（x）为其定义域内的减函数，
|f﹣1（3x）|＜2⇔﹣2＜f﹣1（3x）＜2，
又点A（﹣2，3）和点B（2，1）关于y＝x的对称点A'（3，﹣2），B'（1，2）在f﹣1（x）图象上，
所以f（3）＝﹣2，f（1）＝2，
∴﹣2＜f﹣1（3x）＜2⇔1＜3x＜3，解得0＜x＜1，
故选：A．
7．设a∈R，若f（x）＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），则a＝（ ）
A．7 B．3 C．1 D．﹣1
【分析】若y＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），则函数y＝log2（x+a）的图象经过点（1，3），代入构造关于a的对数方程，解得答案．
【解答】解：若y＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），
则函数y＝log2（x+a）的图象经过点（1，3），
即log2（a+1）＝3，
解得：a＝7，
故选：A．
8．在同一坐标系中，函数y＝ex与y＝e﹣x的图象之间的关系是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
【分析】利用函数图像的对称变换求解．
【解答】解：由函数图像的对称变换可知，在同一坐标系中，函数y＝ex与y＝e﹣x的图象关于y轴对称，
故选：A．
9．下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ）
A．y＝x﹣3和y＝x
B．y＝x和y＝x（x≥0）
C．y＝2x（x＞0）和y＝log2x（x＞1）
D．y＝lg（x﹣1）（x＞1）和y＝10x+1
【分析】根据函数y＝x中x与y不是一一对应关系，故而不存在反函数．
【解答】解：∵y＝x＝是偶函数，其图象关于y轴对称，x与y不是一一对应关系，故其不存在反函数．
故选：B．
10．已知f（x）＝，x∈D有反函数f﹣1（x）＝﹣，x∈A，则f（x）的定义域D可能是（ ）
A． B． C． D．[﹣3，3]
【分析】直接利用原函数的定义域和反函数的值域的关系，不等式的解法，集合间的关系的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：根据原函数和反函数的关系，
原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域；
故函数f（x）的定义域为：9﹣4x2≥0，整理得：，
反函数f﹣1（x）＝﹣，的值域为：，
故函数的定义域为：，故函数的定义域为：x，
由于，
故选：B．
11．设f（x）＝log2x的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（a）＝4，则a等于（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】根据原函数和反函数的性质知：反函数的值域是原函数的定义域，即把x＝4代入f（x）＝log2x，求出a的值．
【解答】解：∵f（x）＝log2x的反函数为y＝f﹣1（x），
又知f﹣1（a）＝4，
∴log24＝2，
解得a＝2，
故选：C．
12．函数f（x）＝x2+2x﹣3（x＜﹣3）的反函数f﹣1（x）＝（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从条件中函数式f（x）＝x2+2x﹣3（x＜﹣3）中反解出x，再将x，y互换即得．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3（x＜﹣3），
∴x＝﹣﹣1，且x＞0，
∴函数f（x）＝x2+2x﹣3（x＜﹣3）的反函数为f﹣1（x）＝﹣﹣1（x＞0）．
故选：A．
13．设y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若y＝f（x+1）的图像过点P（﹣2，4），则y＝f﹣1（x+1）过点（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（5，﹣1） D．（﹣1，5）
【分析】由题意可知f（﹣1）＝4，即函数y＝f（x）的图像过点（﹣1，4），由反函数的概念可知f﹣1（4）＝﹣1，从而求出y＝f﹣1（x+1）过的点的坐标．
【解答】解：∵y＝f（x+1）的图像过点P（﹣2，4），
∴f（﹣1）＝4，即函数y＝f（x）的图像过点（﹣1，4），
∴函数y＝f﹣1（x）的图像过点（4，﹣1），
即f﹣1（4）＝﹣1，
∴y＝f﹣1（x+1）过点（3，﹣1），
故选：A．
14．下列函数：①； ②y＝﹣log2x； ③； ④y＝x3．其中原函数的图象与其反函数的图象有三个交点的函数为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【分析】先作出函数②y＝﹣log2x的图象可知，原函数的图象与其反函数的图象只有一个交点，而④y＝x3．其原函数的图象与其反函数的图象有三个交点，对照选项，即可得出答案．
【解答】解：作出函数②y＝﹣log2x的图象可知，原函数的图象与其反函数的图象只有一个交点，而④y＝x3．其原函数的图象与其反函数的图象有三个交点；
对于③原函数的图象与其反函数的图象有三个交点，如下图所示
．
对照选项，只有D正确．
故选：D．
15．已知函数f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，且函数f（x﹣1）的图象经过点（1，1），则函数f﹣1（x）的图象一定经过点（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（1，2） D．（2，1）
【分析】由函数y＝f（x﹣1）的图象必经过点（1，1），推出f（x）的图象经过点（0，1），根据互为反函数图象的对称性知，函数f﹣1（x）的图象一定经过点，从而解决问题．
【解答】解：因为函数f（x﹣1）的图象经过点（1，1），
所以f（x）的图象经过点（0，1），
所以函数f﹣1（x）的图象一定经过点（1，0）点，
故选：B．
16．已知函数f（x）＝log2x的反函数为g（x），则g（1﹣x）的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】函数f（x）＝log2x的反函数为g（x）＝2x，可得g（1﹣x）＝21﹣x＝，利用指数函数的单调性及其x＝0时的函数值即可得出．
【解答】解：函数f（x）＝log2x的反函数为g（x）＝2x，
则g（1﹣x）＝21﹣x＝，当x＝0时，g（1）＝1，
再利用单调性可知图象为C．
故选：C．
二．填空题（共17小题）
17．已知f（x）＝3x﹣2，则f﹣1[f（x）]＝ x ；f[f﹣1（x）]＝ x ．
【分析】因为f（x）＝3x﹣2，所以f﹣1（x）＝，代入即可．
【解答】解：∵f（x）＝3x﹣2，
∴，
∴f﹣1[f（x）]＝f﹣1（3x﹣2）＝＝x，
f[f﹣1（x）]f（）＝3×﹣2＝x．
故答案为：x，x．
18．函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（4）＝ 6 ．
【分析】由原函数的值域与其反函数的定义域的关系得对数方程，求解得答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），
要求f﹣1（4）的值，即可求使得log2（2x+4）＝4的x值，
由log2（2x+4）＝4，得2x+4＝16，则x＝6．
∴f﹣1（4）＝6．
故答案为：6．
19．已知函数f（x）＝log2x+1，f（x）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（1）＝ 1 ．
【分析】根据函数与它的反函数之间的关系知，令f（x）＝1求出x的值，即可求得f﹣1（1）的值．
【解答】解：函数f（x）＝log2x+1，
令f（x）＝1，得log2x+1＝1，
解得x＝1，所以f﹣1（1）＝1．
故答案为：1．
20．若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为 ．
【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式可得f（0）＝，又由反函数的性质可得g（）＝0，由函数零点的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（0）＝，
若函数f（x）＝的反函数为g（x），则g（）＝0，
则函数g（x）的零点为；
故答案为：．
21．函数f（x）＝x2，（x＜﹣2）的反函数是 ．
【分析】直接利用反函数的定义求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝x2，（x＜﹣2），则y＞4．
可得x＝，
所以函数的反函数为：．
故答案为：．
22．已知函数f（x）＝的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）＝ ﹣1 ．
【分析】由题意，x≤0，2x＝，求出x，即可得出结论．
【解答】解：由题意，x≤0，2x＝，∴x＝﹣1，
∴f﹣1（）＝﹣1．
故答案为﹣1．
23．设函数f（x）＝的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）＝ ﹣ ．
【分析】直接利用反函数的关系式的定义域和函数的值的对应关系求出结果．
【解答】解：在中，
令y＝2，得，
所以．
故答案为：．
24．函数f（x）＝log2（3x+1），x∈[0，5]的反函数是 y＝2x﹣，x∈[0，4] ．
【分析】通过函数的定义域，求和函数的值域，得到反函数的定义域，利用反函数的求解步骤求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝log2（3x+1），x∈[0，5]，所以函数的值域为[0，4]，
3x+1＝2y，可得x＝2y﹣，
所以函数f（x）＝log2（3x+1），x∈[0，5]的反函数是：y＝2x﹣，x∈[0，4]．
故答案为：y＝2x﹣，x∈[0，4]．
25．设f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，则y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为 ．
【分析】根据f（x）是[0，π]上的增函数，且f（x）与f﹣1（x）的单调性相同，得出y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[0，]，进而可得y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值．
【解答】解：∵f（x）＝，是[0，π]上的单调增函数，且f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，
∴f（x）和f﹣1（x）的单调性相同，
∴当x＝π时，f（x）的最大值为，
且当x＝时f（）＝＝，
∴y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[0，]，
且当x＝时＝π，
∴y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为＝＝．
故答案为：．
26．已知函数f（x）＝（a）图象与它的反函数图象重合，则实数a＝ ﹣3 ．
【分析】由y＝（a），可得反函数：y＝，利用函数f（x）＝（a）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．
【解答】解：由y＝（a），解得x＝（y≠3），把x与y互换可得：y＝＝，
∵函数f（x）＝（a）图象与它的反函数图象重合，
∴﹣a＝3，解得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
27．已知函数f（x）＝1﹣x，则f﹣1（0）＝ 1 ．
【分析】可求出f（x）的反函数为f﹣1（x）＝1﹣x，然后即可得出f﹣1（0）的值．
【解答】解：∵f﹣1（x）＝1﹣x，
∴f﹣1（0）＝1．
故答案为：1．
28．设函数f（x）＝的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（a）≥6，则实数a的取值范围是 [3，+∞） ．
【分析】利用原函数与它的反函数的关系可知f﹣1（a）≥6，等价于a≥log2（6+2），求解即可得到答案．
【解答】解：因为原函数的值域就是其反函数的定义域，原函数的定义域就是其反函数的值域，
所以f﹣1（a）≥6，等价于原函数中的x≥6的函数值y的范围，
因为y＝log2（x+2）为（0，+∞）上的增函数，
所以a≥log2（6+2）＝log28＝3，
所以实数a的取值范围是[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．
29．已知函数f（x）＝，则f﹣1[f﹣1（﹣9）]＝ ﹣2 ．
【分析】推导出，从而f﹣1（﹣9）＝3，进而f﹣1[f﹣1（﹣9）]＝f﹣1（3），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）＝，
∴x≥0时，y＝﹣x2，x＝，x，y互换，得，x≤0，
x＜0时，y＝2﹣x﹣1，x＝﹣log2（y+1），x，y互换得f﹣1（x）＝﹣log2（x+1），x＞0，
∴，
∴f﹣1（﹣9）＝3，f﹣1[f﹣1（﹣9）]＝f﹣1（3）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
30．已知函数f（x）＝x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，若函数y＝f（x）在其定义域内有反函数，则实数t的取值范围是 （﹣∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞） ．
【分析】分别讨论对称轴和区间的位置关系，即可求出t的范围．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣3tx+1的对称轴为x＝，
若 ≤0，即 t≤0，则 y＝f（x）在定义域上单调递增，所以具有反函数；
若 ≥15，即 t≥10，则 y＝f（x）在定义域上单调递减，所以具有反函数；
当3≤≤12，即 2≤t≤8时，由于区间[0，3]关于对称轴的对称区间是[3t﹣3，3t]，
于是当 或 ，即t∈[2，4）或t∈（6，8]时，
函数在定义域上满足1﹣1对应关系，具有反函数．
综上，t∈（﹣∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞）．
31．已知指数函数的图象过点（2，4），则其反函数为 y＝log2x，x∈（0，+∞） ．
【分析】求出指数函数的解析式，再根据反函数的定义写出它的反函数．
【解答】解：设指数函数y＝ax，a＞0且a≠1；
其图象过点（2，4），所以a2＝4，解得a＝2；
所以函数y＝2x，x∈R；
所以它的反函数是y＝log2x，x∈（0，+∞）．
故答案为：y＝log2x，x∈（0，+∞）．
32．已知函数f（x）＝2+logax（a＞0且a≠1）的反函数为y＝f﹣1（x）．若f﹣1（3）＝2，则a＝ 2 ．
【分析】由f﹣1（3）＝2，可得f（2）＝3，代入可得3＝2+loga2，解得a．
【解答】解：∵f﹣1（3）＝2，∴f（2）＝3，代入可得3＝2+loga2，化为loga2＝1，解得a＝2．
故答案为：2．
33．已知函数f（x）＝）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，则y＝g（x）的定义域为 （﹣∞，0）∪（1，+∞） ．
【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据数f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称可知g（x）是f（x）的反函数，由此可得y＝g（x）的定义域即为f（x）的值域．
【解答】解：函数y＝的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
所以函数y＝g（x）是y＝f（x）的反函数，
∴y＝g（x）的定义域即为f（x）的值域，
又函数f（x）＝的值域为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）
故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
三．解答题（共9小题）
34．设a＞0，函数．
（1）若a＝1，求f（x）的反函数f﹣1（x）；
（2）求函数y＝f（x）•f（﹣x）的最大值（用a表示）；
（3）设g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）根据反函数定义求解即可；
（2）根据y＝f（x）•f（﹣x），判断函数y的单调性即可求解最大值．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，
∴1+2x＝，
即2x＝﹣1＝，则0＜y＜1，
∴x＝log2（）；
故f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2（），x∈（0，1）
（2）∵y＝f（x）•f（﹣x）＝•＝，
设y＝2x+2﹣x，易知，函数y＝2x+2﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
则当x＝0时，y＝2x+2﹣x有最小值，最小值为2，
∴当x＝0时，y＝f（x）•f（﹣x）有最大值，
∴ymax＝＝；
（3）g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝﹣，令t＝a•2x，∵x∈（﹣∞，0]，a＞0，∴0＜t≤a．
∴h（t）＝，
当时h（t）在（0，a]上单调递减，所以
∵对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，且g（0）＝﹣，
∴恒成立，∴0
当时，，令＝不恒成立，舍去
综上，a的取值范围是（0，]．
35．已知函数f（x）＝loga（a＞0，a≠1，b≠0）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求f（x）的反函数f﹣1（x）的解析式．
【分析】（1）由＞0，化为：（x﹣b）（x+b）＞0．对b分类讨论即可解出．
（2）定义域关于原点对称，利用奇偶函数的定义即可判断出结论．
（3）由y＝loga，化为：＝ay，解得用y表示x，把x与y互换可得f（x）的反函数f﹣1（x）．
【解答】解：（1）由＞0，化为：（x﹣b）（x+b）＞0．
b＞0时，解得x＞b或x＜﹣b；b＜0时，解得x＞﹣b或x＜b．
∴函数f（x）的定义域为：b＞0时，x∈（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞）．b＜0时，x∈（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞）．
（2）∵定义域关于原点对称，
f（﹣x）＝＝﹣loga＝﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数．
（3）由y＝loga，化为：＝ay，解得x＝b•．
把x与y互换可得：y＝b•．
∴f（x）的反函数f﹣1（x）＝b•（x≠0）．
36．设函数f（x）＝（ex﹣e﹣x）（e是自然对数的底数）
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求f﹣1（）的值；
（3）求使f（x）＝a有解的常数a的取值范围．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）根据反函数的定义解方程求f（x）＝即可；
（3）求出函数f（x）的值域即可得到结论．
【解答】解：（1）∵f（x）＝（ex﹣e﹣x）（e是自然对数的底数），
∴f（﹣x）＝）＝（e﹣x﹣ex）＝﹣（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数；
（2设求f﹣1（）＝x，则f（x）＝（），
即f（x）＝（ex﹣e﹣x）＝，
∴ex﹣e﹣x＝，
即2（ex）2﹣3ex﹣2＝0，
解得ex＝2或ex＝（舍去），
即x＝ln2，
∴f﹣1（）＝ln2．
（3）∵f（x）＝（ex﹣e﹣x）在R上为增函数，
∴当x→+∞时，y→+∞，
当x→﹣∞时，y→﹣∞，
即函数f（x）的值域为R，
∴使f（x）＝a有解的常数a∈R．
37．已知函数．
（1）若g（x）为f（x）的反函数，且g（mx2+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值g（a）．
【分析】（1）g（mx2+2x+1）的定义域为R，可得mx2+2x+1＞0恒成立，即可求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，换元，利用配方法求函数y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值g（a）．
【解答】解：（1）令y＝，则x＝，∴g（x）＝，
∵g（mx2+2x+1）的定义域为R，
∴mx2+2x+1＞0恒成立，
∴，∴m＞1；
（2）当x∈[﹣1，1]时，t＝f（x）＝∈[，3]．
y＝t2﹣2at+3＝（t﹣a）2﹣a2+3．
∴a时，g（a）＝g（）＝﹣a+．
时，g（a）＝﹣a2+3，
a＞3时，g（a）＝g（3）＝12﹣6a，
综上所述，g（a）＝．
38．设f（x）＝是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）．
【分析】（1）利用奇函数的定义f（﹣x）＝﹣f（x）对x∈R恒成立，解方程求出a的值．
（2）由（1）知f（x）＝，由y＝，解出 x的解析式，再把自变量和函数交换位置，并注明反函数的定义域（即原函数的值域）即得反函数．
【解答】解：（1）由题意知f（﹣x）＝﹣f（x）对x∈R恒成立，即＝﹣，
即（a﹣1）（2x+1）＝0，
∴a＝1．
（2）由（1）知f（x）＝，由y＝，得 2x＝，x＝log2，
∴f﹣1（x）＝log2（﹣1＜x＜1）．
39．已知函数f（x）＝ax+3a（a＞0，a≠1）的反函数是y＝f﹣1（x），而且函数y＝g（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称．
（1）求函数y＝g（x）的解析式．
（2）若函数F（x）＝f﹣1（x）﹣g（﹣x）在x∈[a+2，a+3]上有意义，求a的取值范围．
【分析】（1）直接利用函数的反函数的定义求出函数的关系式，进一步利用函数的图象关于点的对称的应用求出结果．
（2）利用（1）的结论求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域的应用求出结果．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ax+3a（a＞0，a≠1）的反函数是y＝f﹣1（x），
所以f﹣1（x）＝loga（x﹣3a），
设（x0，y0）是y＝f﹣1（x）的图象上的点，则y0＝loga（x0﹣3a），设（x，y）是y＝g（x）上的点，
由于函数y＝g（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称．
所以，，
所以x0＝2a﹣x，y0＝﹣y，代入y0＝loga（x0﹣3a），得到﹣y＝loga（﹣a﹣x），
整理得y＝﹣loga（﹣a﹣x），即g（x）＝﹣loga（﹣a﹣x）．
（2）根据（1）得：F（x）＝f﹣1（x）﹣g（﹣x）＝loga（x﹣3a）+loga（x﹣a）＝loga[（x﹣a）（x﹣3a）]，
所以（x﹣a）（x﹣3a）＞0，由于a＞0，a≠1，
所以x＞3a或x＜a，
由于在x∈[a+2，a+3]上有意义，
所以a+2≥3a，整理得a≤1，
由于a＞0，a≠1，
所以a的取值范围为（0，1）．
40．已知函数，其中常数λ＞0．
（1）求λ＝1时，函数y＝f（x）的反函数；
（2）求证：函数y＝f（x）的图象关于点成中心对称．
【分析】（1）直接根据反函数的定义求解即可，
（2）直接计算，即可得到结论．
【解答】（1）解：当λ＝1时，，
因为，
又，
所以f（x）的反函数为，x∈（﹣1，1），
（2）证明：显然，f（x）的定义域为R，
于是，
所以，函数y＝f（x）的图象关于点成中心对称．
41．已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求该函数的反函数f﹣1（x）；
（3）判断f﹣1（x）的奇偶性．
【分析】（1）由 ＞0 解得﹣1＜x＜1，即得函数的定义域．
（2）由函数的解析式求出自变量，再把自变量和函数交换位置，即得反函数的解析式，注明反函数的定义域．
（3）由f﹣1（﹣x）＝＝＝﹣f﹣1（x），可得 f﹣1（x）是奇函数．
【解答】解：（1）由 ＞0 解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域是（﹣1，1）．
（2）由，得（y∈R），所以，，
所求反函数为 f﹣1（x）＝（x∈R）．
（3）f﹣1（﹣x）＝＝＝﹣f﹣1（x），所以，f﹣1（x）是奇函数．
42．设函数f（x）＝是偶函数．
（1）求实数m的值及g（x）；
（2）设函数g（x）在区间[0，m]上的反函数为g﹣1（x），当g﹣1（2）＞loga（a＞0且a≠1）时，求实数a的取值范围．
【分析】（1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果．
（2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果．
【解答】解：（1）由于函数为偶函数，
所以：函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝f（x）
所以m＝2．
当0＜x≤2时，f（x）＝g（x），
则﹣2≤﹣x＜0，f（﹣x）＝3x﹣1＝f（x）．
故g（x）＝3x﹣1．
（2）函数g（x）在区间[0，2]上的反函数g﹣1（x）．
所以，解得g﹣1（x）＝1，
即，
则：或，
解得或a＞1．
故实数a的取值范围为（0，）∪（1，+∞）．
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一．选择题（共16小题）
1．设函数f（x）＝eax与g（x）＝blnx的图象关于直线x﹣y＝0对称，其中a，b∈R且a＞0，则a，b满足（ ）
A．a+b＝2 B．a＝b＝1 C．ab＝1 D．
2．函数y＝的反函数是（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
3．设函数y＝f（x）与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（2）＝（ ）
A．4 B． C．1 D．
4．若函数y＝f（x）与函数y＝log2x互为反函数，则＝（ ）
A．9 B．11 C．16 D．18
5．定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．不能确定
6．已知函数f（x）为R上的单调函数，f﹣1（x）是它的反函数，点A（﹣2，3）和点B（2，1）均在函数f（x）的图象上，则不等式|f﹣1（3x）|＜2的解集为（ ）
A．（0，1） B．（1，3） C．（﹣1，1） D．（0，3）
7．设a∈R，若f（x）＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），则a＝（ ）
A．7 B．3 C．1 D．﹣1
8．在同一坐标系中，函数y＝ex与y＝e﹣x的图象之间的关系是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
9．下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ）
A．y＝x﹣3和y＝x
B．y＝x和y＝x（x≥0）
C．y＝2x（x＞0）和y＝log2x（x＞1）
D．y＝lg（x﹣1）（x＞1）和y＝10x+1
10．已知f（x）＝，x∈D有反函数f﹣1（x）＝﹣，x∈A，则f（x）的定义域D可能是（ ）
A． B． C． D．[﹣3，3]
11．设f（x）＝log2x的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（a）＝4，则a等于（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
12．函数f（x）＝x2+2x﹣3（x＜﹣3）的反函数f﹣1（x）＝（ ）
A． B．
C． D．
13．设y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若y＝f（x+1）的图像过点P（﹣2，4），则y＝f﹣1（x+1）过点（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（5，﹣1） D．（﹣1，5）
14．下列函数：①； ②y＝﹣log2x； ③； ④y＝x3．其中原函数的图象与其反函数的图象有三个交点的函数为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
15．已知函数f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，且函数f（x﹣1）的图象经过点（1，1），则函数f﹣1（x）的图象一定经过点（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（1，2） D．（2，1）
16．已知函数f（x）＝log2x的反函数为g（x），则g（1﹣x）的图象为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共17小题）
17．已知f（x）＝3x﹣2，则f﹣1[f（x）]＝ ；f[f﹣1（x）]＝ ．
18．函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（4）＝ ．
19．已知函数f（x）＝log2x+1，f（x）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（1）＝ ．
20．若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为 ．
21．函数f（x）＝x2，（x＜﹣2）的反函数是 ．
22．已知函数f（x）＝的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）＝ ．
23．设函数f（x）＝的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）＝ ．
24．函数f（x）＝log2（3x+1），x∈[0，5]的反函数是 ．
25．设f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，则y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为 ．
26．已知函数f（x）＝（a）图象与它的反函数图象重合，则实数a＝ ．
27．已知函数f（x）＝1﹣x，则f﹣1（0）＝ ．
28．设函数f（x）＝的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（a）≥6，则实数a的取值范围是 ．
29．已知函数f（x）＝，则f﹣1[f﹣1（﹣9）]＝ ．
30．已知函数f（x）＝x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，若函数y＝f（x）在其定义域内有反函数，则实数t的取值范围是 ．
31．已知指数函数的图象过点（2，4），则其反函数为 ．
32．已知函数f（x）＝2+logax（a＞0且a≠1）的反函数为y＝f﹣1（x）．若f﹣1（3）＝2，则a＝ ．
33．已知函数f（x）＝）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，则y＝g（x）的定义域为 ．
三．解答题（共9小题）
34．设a＞0，函数．
（1）若a＝1，求f（x）的反函数f﹣1（x）；
（2）求函数y＝f（x）•f（﹣x）的最大值（用a表示）；
（3）设g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，求a的取值范围．
35．已知函数f（x）＝loga（a＞0，a≠1，b≠0）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求f（x）的反函数f﹣1（x）的解析式．
36．设函数f（x）＝（ex﹣e﹣x）（e是自然对数的底数）
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求f﹣1（）的值；
（3）求使f（x）＝a有解的常数a的取值范围．
37．已知函数．
（1）若g（x）为f（x）的反函数，且g（mx2+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值g（a）．
38．设f（x）＝是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）．
39．已知函数f（x）＝ax+3a（a＞0，a≠1）的反函数是y＝f﹣1（x），而且函数y＝g（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称．
（1）求函数y＝g（x）的解析式．
（2）若函数F（x）＝f﹣1（x）﹣g（﹣x）在x∈[a+2，a+3]上有意义，求a的取值范围．
40．已知函数，其中常数λ＞0．
（1）求λ＝1时，函数y＝f（x）的反函数；
（2）求证：函数y＝f（x）的图象关于点成中心对称．
41．已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求该函数的反函数f﹣1（x）；
（3）判断f﹣1（x）的奇偶性．
42．设函数f（x）＝是偶函数．
（1）求实数m的值及g（x）；
（2）设函数g（x）在区间[0，m]上的反函数为g﹣1（x），当g﹣1（2）＞loga（a＞0且a≠1）时，求实数a的取值范围．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．设函数f（x）＝eax与g（x）＝blnx的图象关于直线x﹣y＝0对称，其中a，b∈R且a＞0，则a，b满足（ ）
A．a+b＝2 B．a＝b＝1 C．ab＝1 D．
【分析】设A（x，eax）是函数f（x）＝eax图象上任一点，则它关于直线y＝x对称的点A1（eax，x）在函数g（x）＝blnx的图象上，代入解析式即可求得关系式．
【解答】解：设A（x，eax）是函数f（x）＝eax图象上任意一点，
则它关于直线x﹣y＝0对称的点在函数g（x）＝blnx的图象上，
所以x＝blneax＝abx，
即ab＝1，
故选：C．
2．函数y＝的反函数是（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
【分析】利用反函数的求法、分段函数的性质即可得出．
【解答】解：∵y＝，x≥0时，由y＝2x，解得x＝，把x与y互换可得：y＝x；
x＜0，由y＝﹣x2，解得x＝﹣，把x与y互换可得：y＝．
∴函数y＝的反函数是y＝．
故选：B．
3．设函数y＝f（x）与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（2）＝（ ）
A．4 B． C．1 D．
【分析】由于图象关于y＝x对称可得互为反函数，由题意可得f（2）即是原函数的值等于2时的自变量的值，进而求出f（2）
【解答】解：由题意可得y＝f（x）与y＝2x互为反函数，指数函数的反函数为同底的对数函数，
2x＝2，可得x＝1
所以f（2）＝1，
故选：C．
4．若函数y＝f（x）与函数y＝log2x互为反函数，则＝（ ）
A．9 B．11 C．16 D．18
【分析】首先求出反函数的关系式，进一步利用对数的运算的应用求出结果．
【解答】解：因为函数y＝f（x）与函数y＝log2x互为反函数，
所以f（x）＝2x，
所以，
故选：D．
5．定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．不能确定
【分析】分析：由 f（x）+f（﹣x）＝2，得 f（t）+f（﹣t）＝2，注意（2020﹣x ）与 （x﹣2018）的和等于2，若（x﹣2018）与 （2020﹣x）一个是t，则另一个是﹣t，再应用反函数的定义解出 t 和﹣t即得．
【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）＝2，∴f（t）+f（﹣t）＝2，
令 2020﹣x＝m，x﹣2018＝n，∴m+n＝2，
∴可令 f（t）＝m，f（﹣t）＝n，由反函数的定义知，
∴t＝f﹣1（m），﹣t＝f﹣1（n）
∴f1（m）+f1（n）＝0，
即：f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值是0，
故选：A．
6．已知函数f（x）为R上的单调函数，f﹣1（x）是它的反函数，点A（﹣2，3）和点B（2，1）均在函数f（x）的图象上，则不等式|f﹣1（3x）|＜2的解集为（ ）
A．（0，1） B．（1，3） C．（﹣1，1） D．（0，3）
【分析】根据原函数以及它对应的反函数单调性相同，以及A和B均在函数f（x）的图象上，推出函数f（x）的单调性，在根据A，B两点关于y＝x的对称点在反函数的图象上，即可得到不等式|f﹣1（3x）|＜2的解集．
【解答】解：依题意，点A（﹣2，3）和点B（2，1）均在函数f（x）的图象上，
∴f（x）为其定义域内的减函数，
∴f﹣1（x）为其定义域内的减函数，
|f﹣1（3x）|＜2⇔﹣2＜f﹣1（3x）＜2，
又点A（﹣2，3）和点B（2，1）关于y＝x的对称点A'（3，﹣2），B'（1，2）在f﹣1（x）图象上，
所以f（3）＝﹣2，f（1）＝2，
∴﹣2＜f﹣1（3x）＜2⇔1＜3x＜3，解得0＜x＜1，
故选：A．
7．设a∈R，若f（x）＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），则a＝（ ）
A．7 B．3 C．1 D．﹣1
【分析】若y＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），则函数y＝log2（x+a）的图象经过点（1，3），代入构造关于a的对数方程，解得答案．
【解答】解：若y＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），
则函数y＝log2（x+a）的图象经过点（1，3），
即log2（a+1）＝3，
解得：a＝7，
故选：A．
8．在同一坐标系中，函数y＝ex与y＝e﹣x的图象之间的关系是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
【分析】利用函数图像的对称变换求解．
【解答】解：由函数图像的对称变换可知，在同一坐标系中，函数y＝ex与y＝e﹣x的图象关于y轴对称，
故选：A．
9．下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ）
A．y＝x﹣3和y＝x
B．y＝x和y＝x（x≥0）
C．y＝2x（x＞0）和y＝log2x（x＞1）
D．y＝lg（x﹣1）（x＞1）和y＝10x+1
【分析】根据函数y＝x中x与y不是一一对应关系，故而不存在反函数．
【解答】解：∵y＝x＝是偶函数，其图象关于y轴对称，x与y不是一一对应关系，故其不存在反函数．
故选：B．
10．已知f（x）＝，x∈D有反函数f﹣1（x）＝﹣，x∈A，则f（x）的定义域D可能是（ ）
A． B． C． D．[﹣3，3]
【分析】直接利用原函数的定义域和反函数的值域的关系，不等式的解法，集合间的关系的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：根据原函数和反函数的关系，
原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域；
故函数f（x）的定义域为：9﹣4x2≥0，整理得：，
反函数f﹣1（x）＝﹣，的值域为：，
故函数的定义域为：，故函数的定义域为：x，
由于，
故选：B．
11．设f（x）＝log2x的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（a）＝4，则a等于（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】根据原函数和反函数的性质知：反函数的值域是原函数的定义域，即把x＝4代入f（x）＝log2x，求出a的值．
【解答】解：∵f（x）＝log2x的反函数为y＝f﹣1（x），
又知f﹣1（a）＝4，
∴log24＝2，
解得a＝2，
故选：C．
12．函数f（x）＝x2+2x﹣3（x＜﹣3）的反函数f﹣1（x）＝（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从条件中函数式f（x）＝x2+2x﹣3（x＜﹣3）中反解出x，再将x，y互换即得．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3（x＜﹣3），
∴x＝﹣﹣1，且x＞0，
∴函数f（x）＝x2+2x﹣3（x＜﹣3）的反函数为f﹣1（x）＝﹣﹣1（x＞0）．
故选：A．
13．设y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若y＝f（x+1）的图像过点P（﹣2，4），则y＝f﹣1（x+1）过点（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（5，﹣1） D．（﹣1，5）
【分析】由题意可知f（﹣1）＝4，即函数y＝f（x）的图像过点（﹣1，4），由反函数的概念可知f﹣1（4）＝﹣1，从而求出y＝f﹣1（x+1）过的点的坐标．
【解答】解：∵y＝f（x+1）的图像过点P（﹣2，4），
∴f（﹣1）＝4，即函数y＝f（x）的图像过点（﹣1，4），
∴函数y＝f﹣1（x）的图像过点（4，﹣1），
即f﹣1（4）＝﹣1，
∴y＝f﹣1（x+1）过点（3，﹣1），
故选：A．
14．下列函数：①； ②y＝﹣log2x； ③； ④y＝x3．其中原函数的图象与其反函数的图象有三个交点的函数为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【分析】先作出函数②y＝﹣log2x的图象可知，原函数的图象与其反函数的图象只有一个交点，而④y＝x3．其原函数的图象与其反函数的图象有三个交点，对照选项，即可得出答案．
【解答】解：作出函数②y＝﹣log2x的图象可知，原函数的图象与其反函数的图象只有一个交点，而④y＝x3．其原函数的图象与其反函数的图象有三个交点；
对于③原函数的图象与其反函数的图象有三个交点，如下图所示
．
对照选项，只有D正确．
故选：D．
15．已知函数f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，且函数f（x﹣1）的图象经过点（1，1），则函数f﹣1（x）的图象一定经过点（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（1，2） D．（2，1）
【分析】由函数y＝f（x﹣1）的图象必经过点（1，1），推出f（x）的图象经过点（0，1），根据互为反函数图象的对称性知，函数f﹣1（x）的图象一定经过点，从而解决问题．
【解答】解：因为函数f（x﹣1）的图象经过点（1，1），
所以f（x）的图象经过点（0，1），
所以函数f﹣1（x）的图象一定经过点（1，0）点，
故选：B．
16．已知函数f（x）＝log2x的反函数为g（x），则g（1﹣x）的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】函数f（x）＝log2x的反函数为g（x）＝2x，可得g（1﹣x）＝21﹣x＝，利用指数函数的单调性及其x＝0时的函数值即可得出．
【解答】解：函数f（x）＝log2x的反函数为g（x）＝2x，
则g（1﹣x）＝21﹣x＝，当x＝0时，g（1）＝1，
再利用单调性可知图象为C．
故选：C．
二．填空题（共17小题）
17．已知f（x）＝3x﹣2，则f﹣1[f（x）]＝ x ；f[f﹣1（x）]＝ x ．
【分析】因为f（x）＝3x﹣2，所以f﹣1（x）＝，代入即可．
【解答】解：∵f（x）＝3x﹣2，
∴，
∴f﹣1[f（x）]＝f﹣1（3x﹣2）＝＝x，
f[f﹣1（x）]f（）＝3×﹣2＝x．
故答案为：x，x．
18．函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（4）＝ 6 ．
【分析】由原函数的值域与其反函数的定义域的关系得对数方程，求解得答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），
要求f﹣1（4）的值，即可求使得log2（2x+4）＝4的x值，
由log2（2x+4）＝4，得2x+4＝16，则x＝6．
∴f﹣1（4）＝6．
故答案为：6．
19．已知函数f（x）＝log2x+1，f（x）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（1）＝ 1 ．
【分析】根据函数与它的反函数之间的关系知，令f（x）＝1求出x的值，即可求得f﹣1（1）的值．
【解答】解：函数f（x）＝log2x+1，
令f（x）＝1，得log2x+1＝1，
解得x＝1，所以f﹣1（1）＝1．
故答案为：1．
20．若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为 ．
【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式可得f（0）＝，又由反函数的性质可得g（）＝0，由函数零点的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（0）＝，
若函数f（x）＝的反函数为g（x），则g（）＝0，
则函数g（x）的零点为；
故答案为：．
21．函数f（x）＝x2，（x＜﹣2）的反函数是 ．
【分析】直接利用反函数的定义求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝x2，（x＜﹣2），则y＞4．
可得x＝，
所以函数的反函数为：．
故答案为：．
22．已知函数f（x）＝的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）＝ ﹣1 ．
【分析】由题意，x≤0，2x＝，求出x，即可得出结论．
【解答】解：由题意，x≤0，2x＝，∴x＝﹣1，
∴f﹣1（）＝﹣1．
故答案为﹣1．
23．设函数f（x）＝的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）＝ ﹣ ．
【分析】直接利用反函数的关系式的定义域和函数的值的对应关系求出结果．
【解答】解：在中，
令y＝2，得，
所以．
故答案为：．
24．函数f（x）＝log2（3x+1），x∈[0，5]的反函数是 y＝2x﹣，x∈[0，4] ．
【分析】通过函数的定义域，求和函数的值域，得到反函数的定义域，利用反函数的求解步骤求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝log2（3x+1），x∈[0，5]，所以函数的值域为[0，4]，
3x+1＝2y，可得x＝2y﹣，
所以函数f（x）＝log2（3x+1），x∈[0，5]的反函数是：y＝2x﹣，x∈[0，4]．
故答案为：y＝2x﹣，x∈[0，4]．
25．设f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，则y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为 ．
【分析】根据f（x）是[0，π]上的增函数，且f（x）与f﹣1（x）的单调性相同，得出y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[0，]，进而可得y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值．
【解答】解：∵f（x）＝，是[0，π]上的单调增函数，且f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，
∴f（x）和f﹣1（x）的单调性相同，
∴当x＝π时，f（x）的最大值为，
且当x＝时f（）＝＝，
∴y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[0，]，
且当x＝时＝π，
∴y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为＝＝．
故答案为：．
26．已知函数f（x）＝（a）图象与它的反函数图象重合，则实数a＝ ﹣3 ．
【分析】由y＝（a），可得反函数：y＝，利用函数f（x）＝（a）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．
【解答】解：由y＝（a），解得x＝（y≠3），把x与y互换可得：y＝＝，
∵函数f（x）＝（a）图象与它的反函数图象重合，
∴﹣a＝3，解得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
27．已知函数f（x）＝1﹣x，则f﹣1（0）＝ 1 ．
【分析】可求出f（x）的反函数为f﹣1（x）＝1﹣x，然后即可得出f﹣1（0）的值．
【解答】解：∵f﹣1（x）＝1﹣x，
∴f﹣1（0）＝1．
故答案为：1．
28．设函数f（x）＝的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（a）≥6，则实数a的取值范围是 [3，+∞） ．
【分析】利用原函数与它的反函数的关系可知f﹣1（a）≥6，等价于a≥log2（6+2），求解即可得到答案．
【解答】解：因为原函数的值域就是其反函数的定义域，原函数的定义域就是其反函数的值域，
所以f﹣1（a）≥6，等价于原函数中的x≥6的函数值y的范围，
因为y＝log2（x+2）为（0，+∞）上的增函数，
所以a≥log2（6+2）＝log28＝3，
所以实数a的取值范围是[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．
29．已知函数f（x）＝，则f﹣1[f﹣1（﹣9）]＝ ﹣2 ．
【分析】推导出，从而f﹣1（﹣9）＝3，进而f﹣1[f﹣1（﹣9）]＝f﹣1（3），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）＝，
∴x≥0时，y＝﹣x2，x＝，x，y互换，得，x≤0，
x＜0时，y＝2﹣x﹣1，x＝﹣log2（y+1），x，y互换得f﹣1（x）＝﹣log2（x+1），x＞0，
∴，
∴f﹣1（﹣9）＝3，f﹣1[f﹣1（﹣9）]＝f﹣1（3）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
30．已知函数f（x）＝x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，若函数y＝f（x）在其定义域内有反函数，则实数t的取值范围是 （﹣∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞） ．
【分析】分别讨论对称轴和区间的位置关系，即可求出t的范围．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣3tx+1的对称轴为x＝，
若 ≤0，即 t≤0，则 y＝f（x）在定义域上单调递增，所以具有反函数；
若 ≥15，即 t≥10，则 y＝f（x）在定义域上单调递减，所以具有反函数；
当3≤≤12，即 2≤t≤8时，由于区间[0，3]关于对称轴的对称区间是[3t﹣3，3t]，
于是当 或 ，即t∈[2，4）或t∈（6，8]时，
函数在定义域上满足1﹣1对应关系，具有反函数．
综上，t∈（﹣∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞）．
31．已知指数函数的图象过点（2，4），则其反函数为 y＝log2x，x∈（0，+∞） ．
【分析】求出指数函数的解析式，再根据反函数的定义写出它的反函数．
【解答】解：设指数函数y＝ax，a＞0且a≠1；
其图象过点（2，4），所以a2＝4，解得a＝2；
所以函数y＝2x，x∈R；
所以它的反函数是y＝log2x，x∈（0，+∞）．
故答案为：y＝log2x，x∈（0，+∞）．
32．已知函数f（x）＝2+logax（a＞0且a≠1）的反函数为y＝f﹣1（x）．若f﹣1（3）＝2，则a＝ 2 ．
【分析】由f﹣1（3）＝2，可得f（2）＝3，代入可得3＝2+loga2，解得a．
【解答】解：∵f﹣1（3）＝2，∴f（2）＝3，代入可得3＝2+loga2，化为loga2＝1，解得a＝2．
故答案为：2．
33．已知函数f（x）＝）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，则y＝g（x）的定义域为 （﹣∞，0）∪（1，+∞） ．
【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据数f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称可知g（x）是f（x）的反函数，由此可得y＝g（x）的定义域即为f（x）的值域．
【解答】解：函数y＝的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
所以函数y＝g（x）是y＝f（x）的反函数，
∴y＝g（x）的定义域即为f（x）的值域，
又函数f（x）＝的值域为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）
故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
三．解答题（共9小题）
34．设a＞0，函数．
（1）若a＝1，求f（x）的反函数f﹣1（x）；
（2）求函数y＝f（x）•f（﹣x）的最大值（用a表示）；
（3）设g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）根据反函数定义求解即可；
（2）根据y＝f（x）•f（﹣x），判断函数y的单调性即可求解最大值．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，
∴1+2x＝，
即2x＝﹣1＝，则0＜y＜1，
∴x＝log2（）；
故f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2（），x∈（0，1）
（2）∵y＝f（x）•f（﹣x）＝•＝，
设y＝2x+2﹣x，易知，函数y＝2x+2﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
则当x＝0时，y＝2x+2﹣x有最小值，最小值为2，
∴当x＝0时，y＝f（x）•f（﹣x）有最大值，
∴ymax＝＝；
（3）g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝﹣，令t＝a•2x，∵x∈（﹣∞，0]，a＞0，∴0＜t≤a．
∴h（t）＝，
当时h（t）在（0，a]上单调递减，所以
∵对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，且g（0）＝﹣，
∴恒成立，∴0
当时，，令＝不恒成立，舍去
综上，a的取值范围是（0，]．
35．已知函数f（x）＝loga（a＞0，a≠1，b≠0）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求f（x）的反函数f﹣1（x）的解析式．
【分析】（1）由＞0，化为：（x﹣b）（x+b）＞0．对b分类讨论即可解出．
（2）定义域关于原点对称，利用奇偶函数的定义即可判断出结论．
（3）由y＝loga，化为：＝ay，解得用y表示x，把x与y互换可得f（x）的反函数f﹣1（x）．
【解答】解：（1）由＞0，化为：（x﹣b）（x+b）＞0．
b＞0时，解得x＞b或x＜﹣b；b＜0时，解得x＞﹣b或x＜b．
∴函数f（x）的定义域为：b＞0时，x∈（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞）．b＜0时，x∈（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞）．
（2）∵定义域关于原点对称，
f（﹣x）＝＝﹣loga＝﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数．
（3）由y＝loga，化为：＝ay，解得x＝b•．
把x与y互换可得：y＝b•．
∴f（x）的反函数f﹣1（x）＝b•（x≠0）．
36．设函数f（x）＝（ex﹣e﹣x）（e是自然对数的底数）
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求f﹣1（）的值；
（3）求使f（x）＝a有解的常数a的取值范围．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）根据反函数的定义解方程求f（x）＝即可；
（3）求出函数f（x）的值域即可得到结论．
【解答】解：（1）∵f（x）＝（ex﹣e﹣x）（e是自然对数的底数），
∴f（﹣x）＝）＝（e﹣x﹣ex）＝﹣（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数；
（2设求f﹣1（）＝x，则f（x）＝（），
即f（x）＝（ex﹣e﹣x）＝，
∴ex﹣e﹣x＝，
即2（ex）2﹣3ex﹣2＝0，
解得ex＝2或ex＝（舍去），
即x＝ln2，
∴f﹣1（）＝ln2．
（3）∵f（x）＝（ex﹣e﹣x）在R上为增函数，
∴当x→+∞时，y→+∞，
当x→﹣∞时，y→﹣∞，
即函数f（x）的值域为R，
∴使f（x）＝a有解的常数a∈R．
37．已知函数．
（1）若g（x）为f（x）的反函数，且g（mx2+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值g（a）．
【分析】（1）g（mx2+2x+1）的定义域为R，可得mx2+2x+1＞0恒成立，即可求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，换元，利用配方法求函数y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值g（a）．
【解答】解：（1）令y＝，则x＝，∴g（x）＝，
∵g（mx2+2x+1）的定义域为R，
∴mx2+2x+1＞0恒成立，
∴，∴m＞1；
（2）当x∈[﹣1，1]时，t＝f（x）＝∈[，3]．
y＝t2﹣2at+3＝（t﹣a）2﹣a2+3．
∴a时，g（a）＝g（）＝﹣a+．
时，g（a）＝﹣a2+3，
a＞3时，g（a）＝g（3）＝12﹣6a，
综上所述，g（a）＝．
38．设f（x）＝是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）．
【分析】（1）利用奇函数的定义f（﹣x）＝﹣f（x）对x∈R恒成立，解方程求出a的值．
（2）由（1）知f（x）＝，由y＝，解出 x的解析式，再把自变量和函数交换位置，并注明反函数的定义域（即原函数的值域）即得反函数．
【解答】解：（1）由题意知f（﹣x）＝﹣f（x）对x∈R恒成立，即＝﹣，
即（a﹣1）（2x+1）＝0，
∴a＝1．
（2）由（1）知f（x）＝，由y＝，得 2x＝，x＝log2，
∴f﹣1（x）＝log2（﹣1＜x＜1）．
39．已知函数f（x）＝ax+3a（a＞0，a≠1）的反函数是y＝f﹣1（x），而且函数y＝g（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称．
（1）求函数y＝g（x）的解析式．
（2）若函数F（x）＝f﹣1（x）﹣g（﹣x）在x∈[a+2，a+3]上有意义，求a的取值范围．
【分析】（1）直接利用函数的反函数的定义求出函数的关系式，进一步利用函数的图象关于点的对称的应用求出结果．
（2）利用（1）的结论求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域的应用求出结果．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ax+3a（a＞0，a≠1）的反函数是y＝f﹣1（x），
所以f﹣1（x）＝loga（x﹣3a），
设（x0，y0）是y＝f﹣1（x）的图象上的点，则y0＝loga（x0﹣3a），设（x，y）是y＝g（x）上的点，
由于函数y＝g（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称．
所以，，
所以x0＝2a﹣x，y0＝﹣y，代入y0＝loga（x0﹣3a），得到﹣y＝loga（﹣a﹣x），
整理得y＝﹣loga（﹣a﹣x），即g（x）＝﹣loga（﹣a﹣x）．
（2）根据（1）得：F（x）＝f﹣1（x）﹣g（﹣x）＝loga（x﹣3a）+loga（x﹣a）＝loga[（x﹣a）（x﹣3a）]，
所以（x﹣a）（x﹣3a）＞0，由于a＞0，a≠1，
所以x＞3a或x＜a，
由于在x∈[a+2，a+3]上有意义，
所以a+2≥3a，整理得a≤1，
由于a＞0，a≠1，
所以a的取值范围为（0，1）．
40．已知函数，其中常数λ＞0．
（1）求λ＝1时，函数y＝f（x）的反函数；
（2）求证：函数y＝f（x）的图象关于点成中心对称．
【分析】（1）直接根据反函数的定义求解即可，
（2）直接计算，即可得到结论．
【解答】（1）解：当λ＝1时，，
因为，
又，
所以f（x）的反函数为，x∈（﹣1，1），
（2）证明：显然，f（x）的定义域为R，
于是，
所以，函数y＝f（x）的图象关于点成中心对称．
41．已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求该函数的反函数f﹣1（x）；
（3）判断f﹣1（x）的奇偶性．
【分析】（1）由 ＞0 解得﹣1＜x＜1，即得函数的定义域．
（2）由函数的解析式求出自变量，再把自变量和函数交换位置，即得反函数的解析式，注明反函数的定义域．
（3）由f﹣1（﹣x）＝＝＝﹣f﹣1（x），可得 f﹣1（x）是奇函数．
【解答】解：（1）由 ＞0 解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域是（﹣1，1）．
（2）由，得（y∈R），所以，，
所求反函数为 f﹣1（x）＝（x∈R）．
（3）f﹣1（﹣x）＝＝＝﹣f﹣1（x），所以，f﹣1（x）是奇函数．
42．设函数f（x）＝是偶函数．
（1）求实数m的值及g（x）；
（2）设函数g（x）在区间[0，m]上的反函数为g﹣1（x），当g﹣1（2）＞loga（a＞0且a≠1）时，求实数a的取值范围．
【分析】（1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果．
（2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果．
【解答】解：（1）由于函数为偶函数，
所以：函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝f（x）
所以m＝2．
当0＜x≤2时，f（x）＝g（x），
则﹣2≤﹣x＜0，f（﹣x）＝3x﹣1＝f（x）．
故g（x）＝3x﹣1．
（2）函数g（x）在区间[0，2]上的反函数g﹣1（x）．
所以，解得g﹣1（x）＝1，
即，
则：或，
解得或a＞1．
故实数a的取值范围为（0，）∪（1，+∞）．
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