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人教版2021届一轮复习打地基练习 直线与平面垂直
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人教版2021届一轮复习打地基练习 直线与平面垂直
一．选择题（共12小题）
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断正确的是（ ）
A．A1C⊥面AB1D1 B．A1C⊥面AB1C1D
C．A1B⊥面AB1D1 D．A1B⊥AD1
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC中直角三角形的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．PE⊥AC B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD
6．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1的中点，点F在BB1上，记B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，若A1C⊥BC1，则BC1＝（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
8．若l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，则“l∥α”是“l⊥m”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为底面正方形对角线的交点，为棱CC1的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．BD⊥平面PCE B．BD⊥PE C． D．|A1C|＝8
10．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断不正确的是（ ）
A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC
11．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F、G分别是棱A'B'、AA'、A'D'上的点，则点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
12．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．②③
二．填空题（共12小题）
13．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：
①MO∥平面PAC；
②PA∥平面MOB；
③OC⊥平面PAC；
④平面PAC⊥平面PBC．
其中正确的命题的序号是 ．
14．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1G1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝ ．
15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，N为AB上一点，则当AN＝ AB时，MN⊥MC1．
16．如图：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1⊥面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件 时，有AB1⊥BC1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）．
17．l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的 条件．
18．若直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆周上异于A，B的一点，有下列关系：
①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．
其中正确的是 ．
19．给出下列三个命题，其中真命题是 （填序号）．
①若直线l垂直于平面α内两条直线，则l⊥α；
②若直线m与n是异面直线，直线n与l是异面直线，则直线m与l也是异面直线；
③若m是一条直线，α，β是两个平面，且α∥β，m⊂α，则m∥β．
20．已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，则点P在底面内的射影是△ABC的 心．
21．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当＝ 时，D1E⊥平面AB1F．
22．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：
①A1C⊥平面B1EF；
②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线．
其中正确结论的序号为 （写出所有正确结论的序号）．
23．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，则∠ABC为 ．
24．“直线l垂直于平面α内的两条直线”是“直线l垂直于平面α”的 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．
三．解答题（共9小题）
25．如图，已知EA和DC都垂直于平面ABC，AB＝AC＝BC＝AE＝2CD，F是BE的中点．
（1）若G为AF中点，求证：CG∥平面BDE；
（2）求证：AF⊥平面BDE．
26．如图，四面体ABCD中，O、E、F分别是BD、BC、AD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求几何体E﹣CDF的体积．
27．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝a，AC＝a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF＝3FC．
（1）求三棱锥D﹣ABC的体积；
（2）求证：AC⊥平面DEF；
（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且CN＝CA，求证：MN∥平面DEF．
28．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC中点，作EF⊥PB，交PB于点F．
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：平面EFD⊥平面PBC
（3）求证：PB⊥平面EFD．
29．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，PO⊥AD，O为BC的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P﹣AD﹣B的大小．
（Ⅲ）求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AB＝1，，E为PD中点，PA＝1．
（I）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在点M，使得直线PC⊥平面BMD？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．
31．如图．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O．
（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；
（2）若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE．
32．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，DC＝DA＝2AB＝2，点E为AD的中点，BD∩CE＝H，PH⊥平面ABCD，且PH＝4．
（1）求证：PC⊥BD
（2）线段PC上是否存在一点F，使三棱锥P﹣BFD的体积为5？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
33．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB，E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA＝k•AB，且二面角E﹣BD﹣C的平面角大于45°，求k的取值范围．
人教版2021届一轮复习打地基练习 直线与平面垂直
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．
【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，
∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β，
∵n⊥β，
∴n⊥l．
故选：C．
2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断正确的是（ ）
A．A1C⊥面AB1D1 B．A1C⊥面AB1C1D
C．A1B⊥面AB1D1 D．A1B⊥AD1
【分析】由已知证明A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，得A1C⊥平面AB1D1，说明A正确，B不正确，再求出A1B与AD1 所成角为60°，说明C，D错误．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
又CC1⊥B1D1，且A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，则A1C⊥B1D1，
同理A1C⊥AB1，则A1C⊥平面AB1D1，故A正确，B不正确；
连接D1C，AC，则∠AD1C为A1B与AD1 所成角，为60°，故C、D不正确．
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC中直角三角形的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，能推导出BC⊥平面PAB．由此能求出四面体P﹣ABC中有多少个直角三角形．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，
∴BC⊥PA，BC⊥AB，
∵PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB．
∴四面体P﹣ABC中直角三角形有△PAC，△PAB，△ABC，△PBC．
故选：A．
4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，求出P到棱C1D1 的最大值，代入三角形面积公式求解．
【解答】解：如图，
由正方体性质知，当P位于C点时，D1O⊥OC，
当P位于BB1 的中点P1 时，由已知得，DD1＝2，DO＝BO＝，
BP1＝B1P1＝1，，
求得，OP1＝，．
∴，得OD1⊥OP1．
又OP1∩OC＝O，∴D1O⊥平面OP1 C，得到P的轨迹在线段P1C上．
由C1P1＝CP1＝，可知∠C1CP1 为锐角，而CC1＝2，
知P到棱C1D1 的最大值为．
则△D1C1P面积的最大值为．
故选：C．
5．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．PE⊥AC B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD
【分析】由面面垂直的性质可得PE⊥平面ABCD，再由线面垂直的性质可判断A，B；
再由面面垂直的判定定理可判断C；
假设平面PBE⊥平面PAD，利用面面垂直和线面垂直的性质可判断D．
【解答】解：因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PE⊥平面ABCD，
所以PE⊥AC，PE⊥BC，
所以A，B结论一定成立，
又PE⊂平面PBE，
所以平面PBE⊥平面ABCD，
所以C结论一定成立，
若平面PBE⊥平面PAD，
则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立．
故选：D．
6．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1的中点，点F在BB1上，记B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】由题意利用线面垂直的判定和性质可得C1D⊥AB1，作DF⊥AB1交BB1于点F，此时AB1⊥平面C1DF，通过证明四边形A1B1BA是正方形，可得A1B⊥AB1，DF//A1B，结合D为A1B1的中点，可得B1F＝BF，根据已知可求λ的值．
【解答】解：∵由题意可得C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1＝A1，
∴C1D⊥平面AA1B1B，可得C1D⊥AB1，
作DF⊥AB1交BB1，于点F（如图），
此时AB1⊥平面C1DF，
在矩形A1B1BA中，AB＝A1A，
所以四边形A1B1BA是正方形，
所以A1B⊥AB1，
所以DF//A1B，
又D为A1B1的中点，
所以F为BB1的中点，即BB1＝2B1F，
所以B1F＝BF，
因为B1F＝λBF，
所以λ＝1．
故选：D．
7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，若A1C⊥BC1，则BC1＝（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
【分析】连结AC1，由AC＝AA1，得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ACC1A1为正方形，从而A1C⊥AC1，进而A1C⊥平面ABC1，A1C⊥AB，推导出AB⊥侧面ACC1A1，从而AB⊥AC1，由此能求出结果．
【解答】解：如图，连结AC1，∵AC＝AA1，
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ACC1A1为正方形，
∴A1C⊥AC1，∵A1C⊥BC1，AC1∩BC1＝C1，
∴A1C⊥平面ABC1，∴A1C⊥AB，
∵AB⊥AA1，A1C∩AA1＝A1，∴AB⊥侧面ACC1A1，∴AB⊥AC1，
∵AB＝AC＝AA1＝，∴AC1＝2，
∴BC1＝3．
故选：C．
8．若l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，则“l∥α”是“l⊥m”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】解：当l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，若“l∥α”，则“l⊥m”，
所以“l∥α”能推出“l⊥m”；
当l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，若“l⊥m”，则“l∥α“或“l在平面α内”，
所以“l⊥m”不能推出“l∥α”；
由充要条件的定义可得：
若l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，则“l∥α”是“l⊥m”的充分而不必要条件，
故选：A．
9．在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为底面正方形对角线的交点，为棱CC1的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．BD⊥平面PCE B．BD⊥PE C． D．|A1C|＝8
【分析】由题意利用线面垂直的判定即可判断A；利用线面垂直的性质即可判断B；利用余弦定理即可判断C；利用余弦定理即可判断D．
【解答】解：由题意可得BD⊥PC，BD⊥CE，PC∩CE＝C，
所以BD⊥平面PCE，故A正确；
因为PE⊂平面PCE，
所以BD⊥PE，故B正确；
因为为棱CC1的中点，
所以PB＝PD＝＝2，BD＝＝4，
所以在△BPD中，由余弦定理可得cos∠BPD＝＝，故C错误；
由题意可得|A1C|＝＝8，故D正确．
故选：C．
10．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断不正确的是（ ）
A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC
【分析】对于A，由PA⊥BC且AB⊥BC即可证明BC⊥平面 PAB；对于B，C，根据A的结论即可证明BC⊥AD，又AD⊥PB，则AD⊥平面 PBC，进而证明AD⊥PC；对于D，由BC⊥PB，因为BC与CD不平行，因此 PB 与 CD 不垂直，故D错误．
【解答】解：∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，又AB⊥BC，AB，PA⊂平面PAB且AB∩PA＝A，
∴BC⊥平面 PAB，故A正确，
由 BC⊥平面 PAB，AD⊂平面 PAB，
得 BC⊥AD，
又PA＝AB，D 是 PB 的中点，
∴AD⊥PB，
又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面 PBC，
∴AD⊥平面 PBC，PC⊂平面 PBC，
∴AD⊥PC，故B，C正确，
由 BC⊥平面 PAB，PB⊂平面 PAB，
得 BC⊥PB，
因为BC与CD不平行，
因此 PB 与 CD 不垂直，
从而PB不与平面 ADC 垂直，D错误，
故选：D．
11．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F、G分别是棱A'B'、AA'、A'D'上的点，则点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【分析】由线面垂直的判定和性质，结合三角形的垂心的定义，可得结论．
【解答】解：设点A′在平面EFG上的射影为H，连接HE，HF，HG，
由A'E⊥A'F，A'E⊥A'G，且A'F∩A'G＝A'，可得A'E⊥平面A'FG，
则A'E⊥FG，
而EH为A'E在面EFG内的射影，可得FG⊥EH，
同理可得EF⊥GH，EG⊥FH，
所以点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的垂心．
故选：A．
12．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．②③
【分析】在①中，AB与CE的夹角为45°，从而直线AB与平面CDE不垂直；在②中，AB⊥BC，AB⊥CD，从而AB⊥平面CDE；在③中，AB与EC的夹角为60°，从而直线AB与平面CDE不垂直；在④中，AB⊥DE，AB⊥CE，从而AB⊥平面CDE．
【解答】解：在①中，AB与CE的夹角为45°，∴直线AB与平面CDE不垂直，故①错误；
在②中，AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面CDE，故②正确；
在③中，AB与EC的夹角为60°，∴直线AB与平面CDE不垂直，故③错误；
在④中，AB⊥DE，AB⊥CE，∴AB⊥平面CDE，故④正确．
故选：B．
二．填空题（共12小题）
13．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：
①MO∥平面PAC；
②PA∥平面MOB；
③OC⊥平面PAC；
④平面PAC⊥平面PBC．
其中正确的命题的序号是 ①④ ．
【分析】①先证明MO∥PA，即可判定MO∥平面PAC；
②PA在平面MOB内，可得②错误；
③可证PA⊥BC，BC⊥平面PAC．即可证明OC⊥平面PAC不成立；
④由③知BC⊥平面PAC，即可证明平面PAC⊥平面PBC．
【解答】解：①因为MO∥PA，MO⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以MO∥平面PAC；
②因为PA在平面MOB内，所以②错误；
③因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC．
又BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC．因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC⊥平面PAC不成立，③错误；
④由③知BC⊥平面PAC，且BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
正确命题的序号是①④．
故答案为：①④．
14．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1G1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝ a或2a ．
【分析】利用已知条件判断B1D⊥平面AC1，然后说明CE⊥DE．设AE＝x（0＜x＜3a），通过CE2＝x2+4a2，DE2＝a2+（3a﹣x）2，又CD2＝a2+9a2＝10a2，求出x即可．
【解答】解：由已知得A1B1＝B1C1，又D是A1C1的中点，
所以B1D⊥A1C1，又侧棱AA1⊥底面ABC，
可得侧棱AA1⊥平面A1B1C1，又B1D⊂平面A1B1C1，
所以AA1⊥B1D，因为AA1∩A1C1＝A1，
所以B1D⊥平面AA1C1C，
又CE⊂平面AA1C1C，所以B1D⊥CE，
故若CE⊥平面B1DE，则必有CE⊥DE．
设AE＝x（0＜x＜3a），则CE2＝x2+4a2，
DE2＝a2+（3a﹣x）2，又CD2＝a2+9a2＝10a2，
所以10a2＝x2+4a2+a2+（3a﹣x）2，
解得x＝a或2a．
故答案为：a或2a．
15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，N为AB上一点，则当AN＝ AB时，MN⊥MC1．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当AN＝AB时，MN⊥MC1．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD＝2，AN＝a，则M（2，0，1），C1（0，2，2），N（2，a，0），
∴＝（0，a，﹣1），＝（﹣2，2，1），
∵MN⊥MC1，∴＝2a﹣1＝0，
解得a＝，∴AN＝，
∴当AN＝AB时，MN⊥MC1．
故答案为：．
16．如图：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1⊥面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件 A1C1⊥B1C1 时，有AB1⊥BC1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）．
【分析】当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，推导出BC1⊥B1C，A1C1⊥平面BCC1B1，AC⊥平面BCC1B1，BC1⊥AC，从而BC1⊥平面ACB1，由此能证明当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1．
【解答】解：当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1．
理由如下：
∵AA1⊥面ABC，BC＝CC1，
∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，
∵CC1∥AA1，∴A1C1⊥CC1．
又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，
∴A1C1⊥平面BCC1B1，
∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面BCC1B1，
∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥AC，
∵AC、B1C⊂平面ACB1，∴BC1⊥平面ACB1，
∴当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1．
故答案为：A1C1⊥B1C1．
17．l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的 必要不充分 条件．
【分析】利用线面平行的判定，线面垂直的性质，再结合充要条件的定义判断即可．
【解答】解：①当l∥α时，∵m⊥α，∴l⊥m，∴必要性成立，
②当l⊥m时，∵m⊥α，∴l∥α或l⊂α，∴充分性不成立，
∴l⊥m是l∥α的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分条件．
18．若直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆周上异于A，B的一点，有下列关系：
①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．
其中正确的是 ①②④ ．
【分析】①由直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，BC⊂以AB为直径的圆所在的平面，得PA⊥BC；
②由AC⊥BC，PA⊥BC，得BC⊥平面PAC；
③由AC⊥BC，但AC与PC相交且不垂直，得AC与PB不垂直；
④由BC⊥平面PAC，得PC⊥BC．
【解答】解：∵直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，
C为圆周上异于A，B的一点，
∴BC⊂以AB为直径的圆所在的平面，∴PA⊥BC，故①正确；
∵AB是圆的直径，C为圆周上异于A，B的一点，
∴AC⊥BC，又PA⊥BC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，故②正确；
∵AC⊥BC，但AC与PC相交且不垂直，∴AC与PB不垂直，故③错误；
∵BC⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC，故④正确．
故答案为：①②④．
19．给出下列三个命题，其中真命题是 ③ （填序号）．
①若直线l垂直于平面α内两条直线，则l⊥α；
②若直线m与n是异面直线，直线n与l是异面直线，则直线m与l也是异面直线；
③若m是一条直线，α，β是两个平面，且α∥β，m⊂α，则m∥β．
【分析】通过直线与平面垂直的判定判断①的正误；通过异面直线找出反例判断②的正误；利用平面平行的性质判断③的正误；
【解答】解：对于①若直线l垂直于平面α内两条直线，则l⊥α；如果两条直线不相交，则结果不正确，①错误；
对于②若直线m与n是异面直线，直线n与l是异面直线，则直线m与l也是异面直线；m与l可以是平行线，所以②不正确；
对于③若m是一条直线，α，β是两个平面，且α∥β，m⊂α，则m∥β．满足平面平行的性质，所以正确．
故答案为：③．
20．已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，则点P在底面内的射影是△ABC的 垂 心．
【分析】三棱锥P﹣ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，当PA，PB，PC两两互相垂直时，推导出PA⊥BC，PH⊥BC，AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，故H是△ABC的垂心．
【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，
当PA，PB，PC两两互相垂直时，则PA⊥平面PBC，则PA⊥BC，
又由PH⊥底面ABC，则PH⊥BC，进而BC⊥平面PAH，即AH⊥BC，
同理可证BH⊥AC，CH⊥AB，故H是△ABC的垂心．
故答案为：垂．
21．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当＝ 时，D1E⊥平面AB1F．
【分析】设边长为2，DF＝a，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用列式求解．
【解答】解：不妨设正方体的棱长为2，DF＝a，则CF＝2﹣a．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
A（0，0，0），B1（2，0，2），D1（0，2，2），E（2，1，0），F（a，2，0）．
所以，．
由D1E⊥平面AB1F，有，解得a＝1．
所以F为CD中点，故．
故答案为：．
22．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：
①A1C⊥平面B1EF；
②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线．
其中正确结论的序号为 ②③ （写出所有正确结论的序号）．
【分析】①找出A1C所垂直的平面的位置，进而可知EF为其它位置时不垂直；
②先作出其正投影，即可判断出结论；
③利用线面、面面平行的判定和性质定理即可得出．
【解答】解：①知道当点E与D1重合、点F与A重合时，A1C⊥平面AB1D1（即平面B1EF），而EF为其它位置时不垂直，故不正确；
②如图所示，EF在侧面BCC1B1上的正投影为BE1，则△BB1E1的面积＝，为定值，因此正确；
③如图2所示，在边B1B上取B1M＝D1E，连接EM；在平面ABB1A1内作MN∥AB交B1F于N点，连接EN，则EN∥平面A1B1C1D1．
综上可知：只有②③正确．
故答案为②③．
23．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，则∠ABC为 ．
【分析】作PM⊥BC于点M，连接AM，设AB＝x，由已知可求PA＝x，利用勾股定理可求PB＝x，利用三角函数的定义可求BM＝x，由已知利用线面垂直的判定和性质可得BM⊥AM，进而可求cos∠ABC＝＝，结合∠ABC为三角形内角，可求∠ABC的值．
【解答】解：如图，作PM⊥BC于点M，连接AM，设AB＝x，
因为在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，
所以PA＝x，PB＝＝x，
因为∠PBC＝60°，PM⊥BC，
所以BM＝PBcos∠PBC＝x•＝x，
因为PA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，
所以BM⊥AP，
又PM⊥BC，PM∩AP＝P，
所以BM⊥平面PAM，
又AM⊂平面PAM，
所以BM⊥AM，
所以cos∠ABC＝＝＝，
由于∠ABC为三角形内角，
所以∠ABC＝．
故答案为：．
24．“直线l垂直于平面α内的两条直线”是“直线l垂直于平面α”的 必要不充分 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的定义和性质进行判断即可．
【解答】解：若直线不相交，则当直线l垂直于平面α内两直线时，直线l⊥α不成立，
若直线l⊥α，则直线l垂直于平面a内两直线成立，
故“直线l垂直于平面α内两直线”是“直线l⊥平面α”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
三．解答题（共9小题）
25．如图，已知EA和DC都垂直于平面ABC，AB＝AC＝BC＝AE＝2CD，F是BE的中点．
（1）若G为AF中点，求证：CG∥平面BDE；
（2）求证：AF⊥平面BDE．
【分析】（1）取EF中点Q，连结GQ，由三角形的中位线定理可得GQ∥AE，且，再由已知得到GQ∥CD，且GQ＝CD．得到四边形CDQG为平行四边形，可得CG∥DQ，再由直线与平面平行的判定可得CG∥平面BDE；
（2）取AB中点P，连结FP，CP，可得FP∥AE，且．再由已知得到CD∥PF，且CD＝PF，得四边形CDFP是平行四边形，得CP∥DF．进一步得到DF⊥AB．证明DF⊥AE．由直线与平面垂直的判定可得DF⊥平面ABE．则DF⊥AF．结合AF⊥BE．得到AF⊥平面BDE．
【解答】证明：（1）取EF中点Q，连结GQ，
∵G为AF中点，∴GQ∥AE，且，
∵EA和DC都垂直于平面ABC，∴CD∥AE，
又AE＝2CD，∴GQ∥CD，且GQ＝CD．
∴四边形CDQG为平行四边形，得CG∥DQ，
又CG⊄平面BDE，DQ⊂平面BDE，
∴CG∥平面BDE；
（2）取AB中点P，连结FP，CP，
∵F是BE的中点，∴FP∥AE，且．
∵EA和DC都垂直于平面ABC，∴CD∥AE．
又AE＝2CD，∴CD∥PF，且CD＝PF，
∴四边形CDFP是平行四边形，得CP∥DF．
∵AC＝BC，P为AB中点，∴CP⊥AB，则DF⊥AB．
∵EA垂直于平面ABC，CP⊂平面ABC，
∴CP⊥AE，则DF⊥AE．
又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴DF⊥平面ABE．
∵AF⊂平面ABE，∴DF⊥AF．
∵AB＝AE，F是BE的中点，∴AF⊥BE．
∵BE∩DF＝F，BE，DF⊂平面BDE，
∴AF⊥平面BDE．
26．如图，四面体ABCD中，O、E、F分别是BD、BC、AD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求几何体E﹣CDF的体积．
【分析】（Ⅰ）由已知可得CO⊥BD，求解三角形可得AO⊥OC，利用线面垂直的判定可得AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）利用等积法可求几何体E﹣CDF的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，
∵BO＝DO，AB＝AD，
∴AO⊥BD．
∵BO＝DO，BC＝CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝．
而AC＝2，
∴AO2+CO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC＝O，
∴AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）解：在△BCD中，由CO＝，BD＝2，可得，
∴，
由（Ⅰ）知AO⊥平面BCD，则，
∵F为AD的中点，
∴．
27．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝a，AC＝a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF＝3FC．
（1）求三棱锥D﹣ABC的体积；
（2）求证：AC⊥平面DEF；
（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且CN＝CA，求证：MN∥平面DEF．
【分析】（1）由已知可求面积S△BCD的值，利用勾股定理可求AB⊥BC，进而可求AB⊥平面BCD，即可计算得解三棱锥VD﹣ABC＝VA﹣BCD的值．
（2）取AC的中点H，要证明AC⊥平面DEF，可先证DE⊥AC，再证明EF⊥AC即可．
（3）连接CM，设CM∩DE＝O，连接OF，可求CO＝CM，利用线面平行的判定定理即可证明．
【解答】解：（1）∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，
∴S△BCD＝．
∵AC＝a，∴AC2＝AB2+BC2，∴AB⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BCD，且交线为BC，AB⊂平面ABC，
∴AB⊥平面BCD，
∴VD﹣ABC＝VA﹣BCD＝＝…4分
（2）证明：取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．
∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．…8分
（3）当CN＝CA时，连接CM，设CM∩DE＝O，连接OF，
∵O为△BCD的垂心，∴CO＝CM，
当CF＝CN时，MN∥OF，OF⊂平面DEF，MN⊄平面DEF，
∴MN∥平面DEF．…12分
28．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC中点，作EF⊥PB，交PB于点F．
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：平面EFD⊥平面PBC
（3）求证：PB⊥平面EFD．
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明线面平行．
（2）利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可证明．
（3）利用线面垂直的判定定理证明．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（1）连AC与BD相交于O，连接OE，
则OE为△APC的中位线，OE∥PA，
又OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，
由线面平行的判定定理知PA∥平面EDB…（3分）
（2）PD＝DC，且PD⊥底面ABCD，
∴△PDC为等腰直角三角形，E是PC中点，DE⊥PC，
又底面ABCD为正方形BC⊥DC，
由BC⊥PD，PD∩DC＝D，
∴BC⊥平面PDC，而DE⊂平面PDC，
∴DE⊥BC，又PC∩BC＝C，
∴DE⊥平面PBC，DE⊂平面EFD
故平面EFD⊥平面PBC…（9分）
（3）由（2）知，DE⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，
∴PB⊥DE，
又PB⊥EF，EF∩DE＝E，
∴PB⊥平面EFD．…（12分）
29．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，PO⊥AD，O为BC的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P﹣AD﹣B的大小．
（Ⅲ）求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
【分析】法一：（Ⅰ）要证PO⊥底面ABCD，只需证明直线PO垂直底面ABCD内的两条相交直线BC、AD即可；
（Ⅱ）过点O作OE⊥AD于点E，连接PE，说明∴∠PEO为二面角P﹣AD﹣B的平面角，
解三角形求二面角P﹣AD﹣B的大小．
（Ⅲ）取PA、PB的中点M、N，连接BM、CN、DM、MN，
说明直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM，然后求解即可得到
直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
法二：以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
（Ⅱ）求出平面PAD的法向量，平面ABCD的法向量为
然后利用向量的数量积求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
（Ⅲ）求出相关向量，通过求得
直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
【解答】解法一：（Ⅰ）证明：∵PB＝PC＝BC，O为BC中点
∴PO⊥BC
又∵PO⊥AD
而ABCD是直角梯形，从而BC与AD相交（没有说明扣1分）
∴PO⊥底面ABCD
（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，过点O作OE⊥AD于点E，连接PE，由三垂线定理知PE⊥AD
∴∠PEO为二面角P﹣AD﹣B的平面角
∵AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，O为BC中点
∴，，
由等面积法知
∴
∴∠PEO＝，即二面角P﹣AD﹣B的大小为（或或）
（Ⅲ）取PA、PB的中点M、N，连接BM、CN、DM、MN，
∵PC＝BC，
∴CN⊥PB①
∵AB⊥BC，且PO⊥AB
∴AB⊥平面PBC
∵CN⊂平面PBC
∴CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
由MN∥AB∥CD，MN＝AB＝CD，得四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵BMÌ平面PAD
∴DM⊥BM
∵PB＝AB＝2
∴BM⊥PA
∴BM⊥平面PAD，直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM
在等腰直角三角形PAB中，易知∠BPM＝45°
解法二：（Ⅰ）同解法一；
如图，以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，
过点O与AB平行的直线为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
（Ⅱ）∵BC＝PB＝PC＝2且PO⊥底面ABCD
∴平面ABCD的法向量为
∵A（1，2，0），D（﹣1，1，0），
∴，
设平面PAD的法向量为，
由得到，
令x1＝1，则y1＝﹣2，，即
∴cos＜，＞＝
∴二面角P﹣AD﹣B的大小为（或或）
（Ⅲ）∵B（1，0，0）
∴
由（Ⅱ）知平面PAD的法向量为
则，即
所以直线PB与平面PAD所成的线面角为90°﹣45°＝45°
30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AB＝1，，E为PD中点，PA＝1．
（I）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在点M，使得直线PC⊥平面BMD？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．
【分析】（I）连接BD，交AC于点O，连接EO，由ABCD为菱形，可得：O为BD中点，利用中位线的性质可证EO∥PB，利用线面平行的判定即可证明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若在棱PC上存在点M，使得直线PC⊥平面BMD，只需PC⊥BM即可．若PC⊥BM，由于PC⊥BO，可得PC⊥OM，由△COM∽△PAC，可得，根据已知可求CM的值，即可得解．
【解答】解：（I）证明：如图，连接BD，交AC于点O，连接EO，
∵ABCD为菱形，可得：O为BD中点，
又∵E为PD中点，
∴EO∥PB，
∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
解：（Ⅱ）在棱PC上存在点M，当CM＝时，使得直线PC⊥平面BMD，理由如下：
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PA，
又∵ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
∴由PA∩AC＝A，可得：BD⊥平面PAC，
∴由PC⊂平面PAC，可得：BD⊥PC，
∴若在棱PC上存在点M，使得直线PC⊥平面BMD，只需PC⊥BM即可．
∵若PC⊥BM，由于PC⊥BO，
∴PC⊥平面BOM，可得PC⊥OM，
∴△COM∽△PAC，可得：，可得：，解得：CM＝，
∴在棱PC上存在点M，当CM＝时，使得直线PC⊥平面BMD．
31．如图．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O．
（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；
（2）若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE．
【分析】（1）连接AC，由EF是△ABC的中位线，可得EF∥AC，又AA1CC1，可证AC∥A1C1，从而可证EF∥A1C1，即A1，C1，F，E四点共面；
（2）连接BD，可证DD1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，可证A1C1⊥平面BB1DD1，可得OD⊥A1C1，结合OD⊥A1E，即可证明OD⊥平面A1C1FE．
【解答】（本题满分为14分）
解：（1）连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，
所以EF∥AC，
由直棱柱知：AA1CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，…5分
所以EF∥A1C1，
故A1，C1，F，E四点共面；…7分，
（2）连接BD，因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，
所以DD1⊥A1C1，
因为底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1⊥B1D1，
又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1DD1，…11分
因为OD⊂平面BB1DD1，
所以OD⊥A1C1，
又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1⊂平面A1C1FE，A1E⊂平面A1C1FE，
所以OD⊥平面A1C1FE…14分
32．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，DC＝DA＝2AB＝2，点E为AD的中点，BD∩CE＝H，PH⊥平面ABCD，且PH＝4．
（1）求证：PC⊥BD
（2）线段PC上是否存在一点F，使三棱锥P﹣BFD的体积为5？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由已知证明△BAD≌△EDC，得到∠DBA＝∠DEH，再由∠DBA+∠ADB＝90°，可得∠DEH+∠ADB＝90°，即BD⊥EC．又PH⊥平面ABCD，得BD⊥PH．由线面垂直的判定可得BD⊥平面PEC，进一步得到PC⊥BD；
（2）由（1）可知，△DHE∽△DAB，解三角形可得EH，HC，DH，HB的值，结合PH、EC、BD两两垂直，且PH＝HC＝4，求得∠HPC＝45°，则BD⊥平面PEC，再由等积法求得PF＝3，可得线段PC上存在一点F，满足PF＝3，使三棱锥P﹣BFD的体积为5．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠EDC＝∠BAD＝90°，
∵DC＝DA＝2AB，E为AD的中点，∴AB＝ED，则△BAD≌△EDC，
∴∠DBA＝∠DEH．
∵∠DBA+∠ADB＝90°，∴∠DEH+∠ADB＝90°，则BD⊥EC．
又∵PH⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PH．
又∵PH∩EC＝H，且PH、EC⊂平面PEC，
∴BD⊥平面PEC，
∵PC⊂平面PEC，∴PC⊥BD；
（2）解：假设线段PC上存在一点F，使三棱锥P﹣BFD的体积为5，
由（1）可知，△DHE∽△DAB，
且求得BD＝EC＝5，AB＝DE＝，
∴，
∴EH＝1，HC＝4，DH＝2，HB＝3．
∵PH、EC、BD两两垂直，且PH＝HC＝4，
∴∠HPC＝45°，
∵BD⊥平面PEC，
∴VP﹣BFD＝VB﹣PHF+VD﹣PHF
＝＝．
∴PF＝3，
∵PC＝＞3，
∴线段PC上存在一点F，满足PF＝3，使三棱锥P﹣BFD的体积为5．
33．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB，E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA＝k•AB，且二面角E﹣BD﹣C的平面角大于45°，求k的取值范围．
【分析】（Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF内两相交直线垂直，而AB⊥BF．
根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；
（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可．
【解答】解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，
故ABFD是矩形，从而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD，
在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF． （6分）
（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，
设AB的长为1，则＝（﹣1，2，0），＝（0，1）
设平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，
则
∴，取y＝1，可得
设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ，
则cosθ＝|cos＜m1，m2＞|＝
化简得，则．（12分）
人教版2021届一轮复习打地基练习 直线与平面垂直
一．选择题（共12小题）
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断正确的是（ ）
A．A1C⊥面AB1D1 B．A1C⊥面AB1C1D
C．A1B⊥面AB1D1 D．A1B⊥AD1
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC中直角三角形的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．PE⊥AC B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD
6．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1的中点，点F在BB1上，记B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，若A1C⊥BC1，则BC1＝（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
8．若l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，则“l∥α”是“l⊥m”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为底面正方形对角线的交点，为棱CC1的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．BD⊥平面PCE B．BD⊥PE C． D．|A1C|＝8
10．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断不正确的是（ ）
A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC
11．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F、G分别是棱A'B'、AA'、A'D'上的点，则点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
12．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．②③
二．填空题（共12小题）
13．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：
①MO∥平面PAC；
②PA∥平面MOB；
③OC⊥平面PAC；
④平面PAC⊥平面PBC．
其中正确的命题的序号是 ．
14．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1G1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝ ．
15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，N为AB上一点，则当AN＝ AB时，MN⊥MC1．
16．如图：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1⊥面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件 时，有AB1⊥BC1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）．
17．l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的 条件．
18．若直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆周上异于A，B的一点，有下列关系：
①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．
其中正确的是 ．
19．给出下列三个命题，其中真命题是 （填序号）．
①若直线l垂直于平面α内两条直线，则l⊥α；
②若直线m与n是异面直线，直线n与l是异面直线，则直线m与l也是异面直线；
③若m是一条直线，α，β是两个平面，且α∥β，m⊂α，则m∥β．
20．已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，则点P在底面内的射影是△ABC的 心．
21．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当＝ 时，D1E⊥平面AB1F．
22．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：
①A1C⊥平面B1EF；
②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线．
其中正确结论的序号为 （写出所有正确结论的序号）．
23．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，则∠ABC为 ．
24．“直线l垂直于平面α内的两条直线”是“直线l垂直于平面α”的 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．
三．解答题（共9小题）
25．如图，已知EA和DC都垂直于平面ABC，AB＝AC＝BC＝AE＝2CD，F是BE的中点．
（1）若G为AF中点，求证：CG∥平面BDE；
（2）求证：AF⊥平面BDE．
26．如图，四面体ABCD中，O、E、F分别是BD、BC、AD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求几何体E﹣CDF的体积．
27．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝a，AC＝a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF＝3FC．
（1）求三棱锥D﹣ABC的体积；
（2）求证：AC⊥平面DEF；
（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且CN＝CA，求证：MN∥平面DEF．
28．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC中点，作EF⊥PB，交PB于点F．
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：平面EFD⊥平面PBC
（3）求证：PB⊥平面EFD．
29．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，PO⊥AD，O为BC的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P﹣AD﹣B的大小．
（Ⅲ）求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AB＝1，，E为PD中点，PA＝1．
（I）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在点M，使得直线PC⊥平面BMD？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．
31．如图．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O．
（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；
（2）若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE．
32．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，DC＝DA＝2AB＝2，点E为AD的中点，BD∩CE＝H，PH⊥平面ABCD，且PH＝4．
（1）求证：PC⊥BD
（2）线段PC上是否存在一点F，使三棱锥P﹣BFD的体积为5？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
33．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB，E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA＝k•AB，且二面角E﹣BD﹣C的平面角大于45°，求k的取值范围．
人教版2021届一轮复习打地基练习 直线与平面垂直
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．
【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，
∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β，
∵n⊥β，
∴n⊥l．
故选：C．
2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断正确的是（ ）
A．A1C⊥面AB1D1 B．A1C⊥面AB1C1D
C．A1B⊥面AB1D1 D．A1B⊥AD1
【分析】由已知证明A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，得A1C⊥平面AB1D1，说明A正确，B不正确，再求出A1B与AD1 所成角为60°，说明C，D错误．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
又CC1⊥B1D1，且A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，则A1C⊥B1D1，
同理A1C⊥AB1，则A1C⊥平面AB1D1，故A正确，B不正确；
连接D1C，AC，则∠AD1C为A1B与AD1 所成角，为60°，故C、D不正确．
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC中直角三角形的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，能推导出BC⊥平面PAB．由此能求出四面体P﹣ABC中有多少个直角三角形．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，
∴BC⊥PA，BC⊥AB，
∵PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB．
∴四面体P﹣ABC中直角三角形有△PAC，△PAB，△ABC，△PBC．
故选：A．
4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，求出P到棱C1D1 的最大值，代入三角形面积公式求解．
【解答】解：如图，
由正方体性质知，当P位于C点时，D1O⊥OC，
当P位于BB1 的中点P1 时，由已知得，DD1＝2，DO＝BO＝，
BP1＝B1P1＝1，，
求得，OP1＝，．
∴，得OD1⊥OP1．
又OP1∩OC＝O，∴D1O⊥平面OP1 C，得到P的轨迹在线段P1C上．
由C1P1＝CP1＝，可知∠C1CP1 为锐角，而CC1＝2，
知P到棱C1D1 的最大值为．
则△D1C1P面积的最大值为．
故选：C．
5．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．PE⊥AC B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD
【分析】由面面垂直的性质可得PE⊥平面ABCD，再由线面垂直的性质可判断A，B；
再由面面垂直的判定定理可判断C；
假设平面PBE⊥平面PAD，利用面面垂直和线面垂直的性质可判断D．
【解答】解：因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PE⊥平面ABCD，
所以PE⊥AC，PE⊥BC，
所以A，B结论一定成立，
又PE⊂平面PBE，
所以平面PBE⊥平面ABCD，
所以C结论一定成立，
若平面PBE⊥平面PAD，
则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立．
故选：D．
6．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1的中点，点F在BB1上，记B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】由题意利用线面垂直的判定和性质可得C1D⊥AB1，作DF⊥AB1交BB1于点F，此时AB1⊥平面C1DF，通过证明四边形A1B1BA是正方形，可得A1B⊥AB1，DF//A1B，结合D为A1B1的中点，可得B1F＝BF，根据已知可求λ的值．
【解答】解：∵由题意可得C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1＝A1，
∴C1D⊥平面AA1B1B，可得C1D⊥AB1，
作DF⊥AB1交BB1，于点F（如图），
此时AB1⊥平面C1DF，
在矩形A1B1BA中，AB＝A1A，
所以四边形A1B1BA是正方形，
所以A1B⊥AB1，
所以DF//A1B，
又D为A1B1的中点，
所以F为BB1的中点，即BB1＝2B1F，
所以B1F＝BF，
因为B1F＝λBF，
所以λ＝1．
故选：D．
7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，若A1C⊥BC1，则BC1＝（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
【分析】连结AC1，由AC＝AA1，得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ACC1A1为正方形，从而A1C⊥AC1，进而A1C⊥平面ABC1，A1C⊥AB，推导出AB⊥侧面ACC1A1，从而AB⊥AC1，由此能求出结果．
【解答】解：如图，连结AC1，∵AC＝AA1，
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ACC1A1为正方形，
∴A1C⊥AC1，∵A1C⊥BC1，AC1∩BC1＝C1，
∴A1C⊥平面ABC1，∴A1C⊥AB，
∵AB⊥AA1，A1C∩AA1＝A1，∴AB⊥侧面ACC1A1，∴AB⊥AC1，
∵AB＝AC＝AA1＝，∴AC1＝2，
∴BC1＝3．
故选：C．
8．若l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，则“l∥α”是“l⊥m”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】解：当l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，若“l∥α”，则“l⊥m”，
所以“l∥α”能推出“l⊥m”；
当l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，若“l⊥m”，则“l∥α“或“l在平面α内”，
所以“l⊥m”不能推出“l∥α”；
由充要条件的定义可得：
若l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，则“l∥α”是“l⊥m”的充分而不必要条件，
故选：A．
9．在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为底面正方形对角线的交点，为棱CC1的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．BD⊥平面PCE B．BD⊥PE C． D．|A1C|＝8
【分析】由题意利用线面垂直的判定即可判断A；利用线面垂直的性质即可判断B；利用余弦定理即可判断C；利用余弦定理即可判断D．
【解答】解：由题意可得BD⊥PC，BD⊥CE，PC∩CE＝C，
所以BD⊥平面PCE，故A正确；
因为PE⊂平面PCE，
所以BD⊥PE，故B正确；
因为为棱CC1的中点，
所以PB＝PD＝＝2，BD＝＝4，
所以在△BPD中，由余弦定理可得cos∠BPD＝＝，故C错误；
由题意可得|A1C|＝＝8，故D正确．
故选：C．
10．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断不正确的是（ ）
A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC
【分析】对于A，由PA⊥BC且AB⊥BC即可证明BC⊥平面 PAB；对于B，C，根据A的结论即可证明BC⊥AD，又AD⊥PB，则AD⊥平面 PBC，进而证明AD⊥PC；对于D，由BC⊥PB，因为BC与CD不平行，因此 PB 与 CD 不垂直，故D错误．
【解答】解：∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，又AB⊥BC，AB，PA⊂平面PAB且AB∩PA＝A，
∴BC⊥平面 PAB，故A正确，
由 BC⊥平面 PAB，AD⊂平面 PAB，
得 BC⊥AD，
又PA＝AB，D 是 PB 的中点，
∴AD⊥PB，
又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面 PBC，
∴AD⊥平面 PBC，PC⊂平面 PBC，
∴AD⊥PC，故B，C正确，
由 BC⊥平面 PAB，PB⊂平面 PAB，
得 BC⊥PB，
因为BC与CD不平行，
因此 PB 与 CD 不垂直，
从而PB不与平面 ADC 垂直，D错误，
故选：D．
11．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F、G分别是棱A'B'、AA'、A'D'上的点，则点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【分析】由线面垂直的判定和性质，结合三角形的垂心的定义，可得结论．
【解答】解：设点A′在平面EFG上的射影为H，连接HE，HF，HG，
由A'E⊥A'F，A'E⊥A'G，且A'F∩A'G＝A'，可得A'E⊥平面A'FG，
则A'E⊥FG，
而EH为A'E在面EFG内的射影，可得FG⊥EH，
同理可得EF⊥GH，EG⊥FH，
所以点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的垂心．
故选：A．
12．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．②③
【分析】在①中，AB与CE的夹角为45°，从而直线AB与平面CDE不垂直；在②中，AB⊥BC，AB⊥CD，从而AB⊥平面CDE；在③中，AB与EC的夹角为60°，从而直线AB与平面CDE不垂直；在④中，AB⊥DE，AB⊥CE，从而AB⊥平面CDE．
【解答】解：在①中，AB与CE的夹角为45°，∴直线AB与平面CDE不垂直，故①错误；
在②中，AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面CDE，故②正确；
在③中，AB与EC的夹角为60°，∴直线AB与平面CDE不垂直，故③错误；
在④中，AB⊥DE，AB⊥CE，∴AB⊥平面CDE，故④正确．
故选：B．
二．填空题（共12小题）
13．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：
①MO∥平面PAC；
②PA∥平面MOB；
③OC⊥平面PAC；
④平面PAC⊥平面PBC．
其中正确的命题的序号是 ①④ ．
【分析】①先证明MO∥PA，即可判定MO∥平面PAC；
②PA在平面MOB内，可得②错误；
③可证PA⊥BC，BC⊥平面PAC．即可证明OC⊥平面PAC不成立；
④由③知BC⊥平面PAC，即可证明平面PAC⊥平面PBC．
【解答】解：①因为MO∥PA，MO⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以MO∥平面PAC；
②因为PA在平面MOB内，所以②错误；
③因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC．
又BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC．因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC⊥平面PAC不成立，③错误；
④由③知BC⊥平面PAC，且BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
正确命题的序号是①④．
故答案为：①④．
14．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1G1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝ a或2a ．
【分析】利用已知条件判断B1D⊥平面AC1，然后说明CE⊥DE．设AE＝x（0＜x＜3a），通过CE2＝x2+4a2，DE2＝a2+（3a﹣x）2，又CD2＝a2+9a2＝10a2，求出x即可．
【解答】解：由已知得A1B1＝B1C1，又D是A1C1的中点，
所以B1D⊥A1C1，又侧棱AA1⊥底面ABC，
可得侧棱AA1⊥平面A1B1C1，又B1D⊂平面A1B1C1，
所以AA1⊥B1D，因为AA1∩A1C1＝A1，
所以B1D⊥平面AA1C1C，
又CE⊂平面AA1C1C，所以B1D⊥CE，
故若CE⊥平面B1DE，则必有CE⊥DE．
设AE＝x（0＜x＜3a），则CE2＝x2+4a2，
DE2＝a2+（3a﹣x）2，又CD2＝a2+9a2＝10a2，
所以10a2＝x2+4a2+a2+（3a﹣x）2，
解得x＝a或2a．
故答案为：a或2a．
15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，N为AB上一点，则当AN＝ AB时，MN⊥MC1．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当AN＝AB时，MN⊥MC1．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD＝2，AN＝a，则M（2，0，1），C1（0，2，2），N（2，a，0），
∴＝（0，a，﹣1），＝（﹣2，2，1），
∵MN⊥MC1，∴＝2a﹣1＝0，
解得a＝，∴AN＝，
∴当AN＝AB时，MN⊥MC1．
故答案为：．
16．如图：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1⊥面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件 A1C1⊥B1C1 时，有AB1⊥BC1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）．
【分析】当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，推导出BC1⊥B1C，A1C1⊥平面BCC1B1，AC⊥平面BCC1B1，BC1⊥AC，从而BC1⊥平面ACB1，由此能证明当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1．
【解答】解：当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1．
理由如下：
∵AA1⊥面ABC，BC＝CC1，
∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，
∵CC1∥AA1，∴A1C1⊥CC1．
又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，
∴A1C1⊥平面BCC1B1，
∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面BCC1B1，
∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥AC，
∵AC、B1C⊂平面ACB1，∴BC1⊥平面ACB1，
∴当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1．
故答案为：A1C1⊥B1C1．
17．l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的 必要不充分 条件．
【分析】利用线面平行的判定，线面垂直的性质，再结合充要条件的定义判断即可．
【解答】解：①当l∥α时，∵m⊥α，∴l⊥m，∴必要性成立，
②当l⊥m时，∵m⊥α，∴l∥α或l⊂α，∴充分性不成立，
∴l⊥m是l∥α的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分条件．
18．若直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆周上异于A，B的一点，有下列关系：
①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．
其中正确的是 ①②④ ．
【分析】①由直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，BC⊂以AB为直径的圆所在的平面，得PA⊥BC；
②由AC⊥BC，PA⊥BC，得BC⊥平面PAC；
③由AC⊥BC，但AC与PC相交且不垂直，得AC与PB不垂直；
④由BC⊥平面PAC，得PC⊥BC．
【解答】解：∵直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，
C为圆周上异于A，B的一点，
∴BC⊂以AB为直径的圆所在的平面，∴PA⊥BC，故①正确；
∵AB是圆的直径，C为圆周上异于A，B的一点，
∴AC⊥BC，又PA⊥BC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，故②正确；
∵AC⊥BC，但AC与PC相交且不垂直，∴AC与PB不垂直，故③错误；
∵BC⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC，故④正确．
故答案为：①②④．
19．给出下列三个命题，其中真命题是 ③ （填序号）．
①若直线l垂直于平面α内两条直线，则l⊥α；
②若直线m与n是异面直线，直线n与l是异面直线，则直线m与l也是异面直线；
③若m是一条直线，α，β是两个平面，且α∥β，m⊂α，则m∥β．
【分析】通过直线与平面垂直的判定判断①的正误；通过异面直线找出反例判断②的正误；利用平面平行的性质判断③的正误；
【解答】解：对于①若直线l垂直于平面α内两条直线，则l⊥α；如果两条直线不相交，则结果不正确，①错误；
对于②若直线m与n是异面直线，直线n与l是异面直线，则直线m与l也是异面直线；m与l可以是平行线，所以②不正确；
对于③若m是一条直线，α，β是两个平面，且α∥β，m⊂α，则m∥β．满足平面平行的性质，所以正确．
故答案为：③．
20．已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，则点P在底面内的射影是△ABC的 垂 心．
【分析】三棱锥P﹣ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，当PA，PB，PC两两互相垂直时，推导出PA⊥BC，PH⊥BC，AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，故H是△ABC的垂心．
【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，
当PA，PB，PC两两互相垂直时，则PA⊥平面PBC，则PA⊥BC，
又由PH⊥底面ABC，则PH⊥BC，进而BC⊥平面PAH，即AH⊥BC，
同理可证BH⊥AC，CH⊥AB，故H是△ABC的垂心．
故答案为：垂．
21．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当＝ 时，D1E⊥平面AB1F．
【分析】设边长为2，DF＝a，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用列式求解．
【解答】解：不妨设正方体的棱长为2，DF＝a，则CF＝2﹣a．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
A（0，0，0），B1（2，0，2），D1（0，2，2），E（2，1，0），F（a，2，0）．
所以，．
由D1E⊥平面AB1F，有，解得a＝1．
所以F为CD中点，故．
故答案为：．
22．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：
①A1C⊥平面B1EF；
②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线．
其中正确结论的序号为 ②③ （写出所有正确结论的序号）．
【分析】①找出A1C所垂直的平面的位置，进而可知EF为其它位置时不垂直；
②先作出其正投影，即可判断出结论；
③利用线面、面面平行的判定和性质定理即可得出．
【解答】解：①知道当点E与D1重合、点F与A重合时，A1C⊥平面AB1D1（即平面B1EF），而EF为其它位置时不垂直，故不正确；
②如图所示，EF在侧面BCC1B1上的正投影为BE1，则△BB1E1的面积＝，为定值，因此正确；
③如图2所示，在边B1B上取B1M＝D1E，连接EM；在平面ABB1A1内作MN∥AB交B1F于N点，连接EN，则EN∥平面A1B1C1D1．
综上可知：只有②③正确．
故答案为②③．
23．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，则∠ABC为 ．
【分析】作PM⊥BC于点M，连接AM，设AB＝x，由已知可求PA＝x，利用勾股定理可求PB＝x，利用三角函数的定义可求BM＝x，由已知利用线面垂直的判定和性质可得BM⊥AM，进而可求cos∠ABC＝＝，结合∠ABC为三角形内角，可求∠ABC的值．
【解答】解：如图，作PM⊥BC于点M，连接AM，设AB＝x，
因为在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，
所以PA＝x，PB＝＝x，
因为∠PBC＝60°，PM⊥BC，
所以BM＝PBcos∠PBC＝x•＝x，
因为PA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，
所以BM⊥AP，
又PM⊥BC，PM∩AP＝P，
所以BM⊥平面PAM，
又AM⊂平面PAM，
所以BM⊥AM，
所以cos∠ABC＝＝＝，
由于∠ABC为三角形内角，
所以∠ABC＝．
故答案为：．
24．“直线l垂直于平面α内的两条直线”是“直线l垂直于平面α”的 必要不充分 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的定义和性质进行判断即可．
【解答】解：若直线不相交，则当直线l垂直于平面α内两直线时，直线l⊥α不成立，
若直线l⊥α，则直线l垂直于平面a内两直线成立，
故“直线l垂直于平面α内两直线”是“直线l⊥平面α”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
三．解答题（共9小题）
25．如图，已知EA和DC都垂直于平面ABC，AB＝AC＝BC＝AE＝2CD，F是BE的中点．
（1）若G为AF中点，求证：CG∥平面BDE；
（2）求证：AF⊥平面BDE．
【分析】（1）取EF中点Q，连结GQ，由三角形的中位线定理可得GQ∥AE，且，再由已知得到GQ∥CD，且GQ＝CD．得到四边形CDQG为平行四边形，可得CG∥DQ，再由直线与平面平行的判定可得CG∥平面BDE；
（2）取AB中点P，连结FP，CP，可得FP∥AE，且．再由已知得到CD∥PF，且CD＝PF，得四边形CDFP是平行四边形，得CP∥DF．进一步得到DF⊥AB．证明DF⊥AE．由直线与平面垂直的判定可得DF⊥平面ABE．则DF⊥AF．结合AF⊥BE．得到AF⊥平面BDE．
【解答】证明：（1）取EF中点Q，连结GQ，
∵G为AF中点，∴GQ∥AE，且，
∵EA和DC都垂直于平面ABC，∴CD∥AE，
又AE＝2CD，∴GQ∥CD，且GQ＝CD．
∴四边形CDQG为平行四边形，得CG∥DQ，
又CG⊄平面BDE，DQ⊂平面BDE，
∴CG∥平面BDE；
（2）取AB中点P，连结FP，CP，
∵F是BE的中点，∴FP∥AE，且．
∵EA和DC都垂直于平面ABC，∴CD∥AE．
又AE＝2CD，∴CD∥PF，且CD＝PF，
∴四边形CDFP是平行四边形，得CP∥DF．
∵AC＝BC，P为AB中点，∴CP⊥AB，则DF⊥AB．
∵EA垂直于平面ABC，CP⊂平面ABC，
∴CP⊥AE，则DF⊥AE．
又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴DF⊥平面ABE．
∵AF⊂平面ABE，∴DF⊥AF．
∵AB＝AE，F是BE的中点，∴AF⊥BE．
∵BE∩DF＝F，BE，DF⊂平面BDE，
∴AF⊥平面BDE．
26．如图，四面体ABCD中，O、E、F分别是BD、BC、AD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求几何体E﹣CDF的体积．
【分析】（Ⅰ）由已知可得CO⊥BD，求解三角形可得AO⊥OC，利用线面垂直的判定可得AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）利用等积法可求几何体E﹣CDF的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，
∵BO＝DO，AB＝AD，
∴AO⊥BD．
∵BO＝DO，BC＝CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝．
而AC＝2，
∴AO2+CO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC＝O，
∴AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）解：在△BCD中，由CO＝，BD＝2，可得，
∴，
由（Ⅰ）知AO⊥平面BCD，则，
∵F为AD的中点，
∴．
27．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝a，AC＝a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF＝3FC．
（1）求三棱锥D﹣ABC的体积；
（2）求证：AC⊥平面DEF；
（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且CN＝CA，求证：MN∥平面DEF．
【分析】（1）由已知可求面积S△BCD的值，利用勾股定理可求AB⊥BC，进而可求AB⊥平面BCD，即可计算得解三棱锥VD﹣ABC＝VA﹣BCD的值．
（2）取AC的中点H，要证明AC⊥平面DEF，可先证DE⊥AC，再证明EF⊥AC即可．
（3）连接CM，设CM∩DE＝O，连接OF，可求CO＝CM，利用线面平行的判定定理即可证明．
【解答】解：（1）∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，
∴S△BCD＝．
∵AC＝a，∴AC2＝AB2+BC2，∴AB⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BCD，且交线为BC，AB⊂平面ABC，
∴AB⊥平面BCD，
∴VD﹣ABC＝VA﹣BCD＝＝…4分
（2）证明：取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．
∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．…8分
（3）当CN＝CA时，连接CM，设CM∩DE＝O，连接OF，
∵O为△BCD的垂心，∴CO＝CM，
当CF＝CN时，MN∥OF，OF⊂平面DEF，MN⊄平面DEF，
∴MN∥平面DEF．…12分
28．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC中点，作EF⊥PB，交PB于点F．
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：平面EFD⊥平面PBC
（3）求证：PB⊥平面EFD．
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明线面平行．
（2）利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可证明．
（3）利用线面垂直的判定定理证明．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（1）连AC与BD相交于O，连接OE，
则OE为△APC的中位线，OE∥PA，
又OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，
由线面平行的判定定理知PA∥平面EDB…（3分）
（2）PD＝DC，且PD⊥底面ABCD，
∴△PDC为等腰直角三角形，E是PC中点，DE⊥PC，
又底面ABCD为正方形BC⊥DC，
由BC⊥PD，PD∩DC＝D，
∴BC⊥平面PDC，而DE⊂平面PDC，
∴DE⊥BC，又PC∩BC＝C，
∴DE⊥平面PBC，DE⊂平面EFD
故平面EFD⊥平面PBC…（9分）
（3）由（2）知，DE⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，
∴PB⊥DE，
又PB⊥EF，EF∩DE＝E，
∴PB⊥平面EFD．…（12分）
29．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，PO⊥AD，O为BC的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P﹣AD﹣B的大小．
（Ⅲ）求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
【分析】法一：（Ⅰ）要证PO⊥底面ABCD，只需证明直线PO垂直底面ABCD内的两条相交直线BC、AD即可；
（Ⅱ）过点O作OE⊥AD于点E，连接PE，说明∴∠PEO为二面角P﹣AD﹣B的平面角，
解三角形求二面角P﹣AD﹣B的大小．
（Ⅲ）取PA、PB的中点M、N，连接BM、CN、DM、MN，
说明直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM，然后求解即可得到
直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
法二：以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
（Ⅱ）求出平面PAD的法向量，平面ABCD的法向量为
然后利用向量的数量积求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
（Ⅲ）求出相关向量，通过求得
直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
【解答】解法一：（Ⅰ）证明：∵PB＝PC＝BC，O为BC中点
∴PO⊥BC
又∵PO⊥AD
而ABCD是直角梯形，从而BC与AD相交（没有说明扣1分）
∴PO⊥底面ABCD
（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，过点O作OE⊥AD于点E，连接PE，由三垂线定理知PE⊥AD
∴∠PEO为二面角P﹣AD﹣B的平面角
∵AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，O为BC中点
∴，，
由等面积法知
∴
∴∠PEO＝，即二面角P﹣AD﹣B的大小为（或或）
（Ⅲ）取PA、PB的中点M、N，连接BM、CN、DM、MN，
∵PC＝BC，
∴CN⊥PB①
∵AB⊥BC，且PO⊥AB
∴AB⊥平面PBC
∵CN⊂平面PBC
∴CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
由MN∥AB∥CD，MN＝AB＝CD，得四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵BMÌ平面PAD
∴DM⊥BM
∵PB＝AB＝2
∴BM⊥PA
∴BM⊥平面PAD，直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM
在等腰直角三角形PAB中，易知∠BPM＝45°
解法二：（Ⅰ）同解法一；
如图，以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，
过点O与AB平行的直线为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
（Ⅱ）∵BC＝PB＝PC＝2且PO⊥底面ABCD
∴平面ABCD的法向量为
∵A（1，2，0），D（﹣1，1，0），
∴，
设平面PAD的法向量为，
由得到，
令x1＝1，则y1＝﹣2，，即
∴cos＜，＞＝
∴二面角P﹣AD﹣B的大小为（或或）
（Ⅲ）∵B（1，0，0）
∴
由（Ⅱ）知平面PAD的法向量为
则，即
所以直线PB与平面PAD所成的线面角为90°﹣45°＝45°
30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AB＝1，，E为PD中点，PA＝1．
（I）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在点M，使得直线PC⊥平面BMD？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．
【分析】（I）连接BD，交AC于点O，连接EO，由ABCD为菱形，可得：O为BD中点，利用中位线的性质可证EO∥PB，利用线面平行的判定即可证明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若在棱PC上存在点M，使得直线PC⊥平面BMD，只需PC⊥BM即可．若PC⊥BM，由于PC⊥BO，可得PC⊥OM，由△COM∽△PAC，可得，根据已知可求CM的值，即可得解．
【解答】解：（I）证明：如图，连接BD，交AC于点O，连接EO，
∵ABCD为菱形，可得：O为BD中点，
又∵E为PD中点，
∴EO∥PB，
∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
解：（Ⅱ）在棱PC上存在点M，当CM＝时，使得直线PC⊥平面BMD，理由如下：
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PA，
又∵ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
∴由PA∩AC＝A，可得：BD⊥平面PAC，
∴由PC⊂平面PAC，可得：BD⊥PC，
∴若在棱PC上存在点M，使得直线PC⊥平面BMD，只需PC⊥BM即可．
∵若PC⊥BM，由于PC⊥BO，
∴PC⊥平面BOM，可得PC⊥OM，
∴△COM∽△PAC，可得：，可得：，解得：CM＝，
∴在棱PC上存在点M，当CM＝时，使得直线PC⊥平面BMD．
31．如图．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O．
（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；
（2）若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE．
【分析】（1）连接AC，由EF是△ABC的中位线，可得EF∥AC，又AA1CC1，可证AC∥A1C1，从而可证EF∥A1C1，即A1，C1，F，E四点共面；
（2）连接BD，可证DD1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，可证A1C1⊥平面BB1DD1，可得OD⊥A1C1，结合OD⊥A1E，即可证明OD⊥平面A1C1FE．
【解答】（本题满分为14分）
解：（1）连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，
所以EF∥AC，
由直棱柱知：AA1CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，…5分
所以EF∥A1C1，
故A1，C1，F，E四点共面；…7分，
（2）连接BD，因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，
所以DD1⊥A1C1，
因为底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1⊥B1D1，
又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1DD1，…11分
因为OD⊂平面BB1DD1，
所以OD⊥A1C1，
又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1⊂平面A1C1FE，A1E⊂平面A1C1FE，
所以OD⊥平面A1C1FE…14分
32．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，DC＝DA＝2AB＝2，点E为AD的中点，BD∩CE＝H，PH⊥平面ABCD，且PH＝4．
（1）求证：PC⊥BD
（2）线段PC上是否存在一点F，使三棱锥P﹣BFD的体积为5？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由已知证明△BAD≌△EDC，得到∠DBA＝∠DEH，再由∠DBA+∠ADB＝90°，可得∠DEH+∠ADB＝90°，即BD⊥EC．又PH⊥平面ABCD，得BD⊥PH．由线面垂直的判定可得BD⊥平面PEC，进一步得到PC⊥BD；
（2）由（1）可知，△DHE∽△DAB，解三角形可得EH，HC，DH，HB的值，结合PH、EC、BD两两垂直，且PH＝HC＝4，求得∠HPC＝45°，则BD⊥平面PEC，再由等积法求得PF＝3，可得线段PC上存在一点F，满足PF＝3，使三棱锥P﹣BFD的体积为5．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠EDC＝∠BAD＝90°，
∵DC＝DA＝2AB，E为AD的中点，∴AB＝ED，则△BAD≌△EDC，
∴∠DBA＝∠DEH．
∵∠DBA+∠ADB＝90°，∴∠DEH+∠ADB＝90°，则BD⊥EC．
又∵PH⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PH．
又∵PH∩EC＝H，且PH、EC⊂平面PEC，
∴BD⊥平面PEC，
∵PC⊂平面PEC，∴PC⊥BD；
（2）解：假设线段PC上存在一点F，使三棱锥P﹣BFD的体积为5，
由（1）可知，△DHE∽△DAB，
且求得BD＝EC＝5，AB＝DE＝，
∴，
∴EH＝1，HC＝4，DH＝2，HB＝3．
∵PH、EC、BD两两垂直，且PH＝HC＝4，
∴∠HPC＝45°，
∵BD⊥平面PEC，
∴VP﹣BFD＝VB﹣PHF+VD﹣PHF
＝＝．
∴PF＝3，
∵PC＝＞3，
∴线段PC上存在一点F，满足PF＝3，使三棱锥P﹣BFD的体积为5．
33．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB，E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA＝k•AB，且二面角E﹣BD﹣C的平面角大于45°，求k的取值范围．
【分析】（Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF内两相交直线垂直，而AB⊥BF．
根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；
（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可．
【解答】解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，
故ABFD是矩形，从而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD，
在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF． （6分）
（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，
设AB的长为1，则＝（﹣1，2，0），＝（0，1）
设平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，
则
∴，取y＝1，可得
设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ，
则cosθ＝|cos＜m1，m2＞|＝
化简得，则．（12分）
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