考点04 圆锥曲线综合问题-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点04圆锥曲线综合问题

1．（2021·黑龙江哈尔滨三中高三其他模拟（理））已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据的关系求出，即可得到双曲线的一条渐近线方程．

【详解】

因为，所以，所以，即双曲线：，所以双曲线的渐近线方程为．

故选：A．

2．（2021·江苏高二专题练习）已知双曲线(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a=（    ）

A．5 B．6 C．8 D．9

【答案】A

【分析】

根据题意可得，计算即可得解.

【详解】

由双曲线(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍，

可得

可得，

解得.

故选：A.

3．（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】

利用双曲线的渐近线方程，推出、的关系，然后求解离心率即可．

【详解】

双曲线的一条渐近线的方程是，

可得，所以，

解得．

故选：B

【点睛】

方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法：（1）公式法（求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（化简已知得到关于离心率的方程，解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.

4．（2021·全国高三专题练习）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若是线段的中点，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】

依据题意可知线段为抛物线的通径可得结果.

【详解】

由题可知：线段为抛物线的通径

所以

故选：D

5．（2021·广西浦北中学（理））已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为的直线交抛物线C于A､B两点，则（    ）

A．12 B．14 C．16 D．18

【答案】C

【分析】

直线与轴的交点就是抛物线的焦点，从而可求出抛物线方程，然后将倾斜角为的直线方程与抛物线方程联立成方程组，消去，整理后利用根与系数的关系可得，从而再利用抛物线的定义可求出

【详解】

解：因为直线与轴的交点为，

所以抛物线的焦点坐标为，设，抛物线方程为，

所以过焦点且倾斜角为的直线方程为，

设，

由，得，

所以，

所以，

故选：C

6．（2021·全国（理））已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点到抛物线的准线的距离为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】

分别过，，作准线的垂线，垂足分别为，，，再由抛物线的定义结合梯形的性质得出到抛物线的准线的距离.

【详解】

分别过，，作准线的垂线，垂足分别为，，

则

故选：A

7．（2020·全国高三专题练习（理））直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．8

【答案】A

【分析】

由题意得，再结合抛物线的定义即可求解.

【详解】

由题意得，

由抛物线的定义知：，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.

8．（2021·安徽师范大学附属中学高二期中（文））已知抛物线上的动点P到直线的距离为d，A点坐标为，则的最小值等于（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】

求得抛物线的焦点坐标和准线方程，得到动点P到直线的距离为，根据，即可求解.

【详解】

抛物线化为，可得焦点，准线方程为，如图所示，

可得动点P到直线l∶的距离为，

又由，从而.

所以的最小值等于.

故选：D.

9．（2021·贵州凯里实验高级中学高二月考（理））双曲线的两个焦点是、，为原点，点在上且，则的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设点，根据已知条件求出的值，利用三角形的面积公式即可求得的面积.

【详解】

设点，则，所以，，解得，

在双曲线中，，，，所以，，

因此，.

故选：D.

10．（2021·四川射洪中学高二期中（理））已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．则的值为（    ）

A．4 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】

根据直线过的焦点且斜率为得直线方程，联立直线方程与抛物线方程，消去得，，从而有.

【详解】

抛物线的焦点为，

过的焦点且斜率为的直线方程为，

因为该直线与抛物线有两个交点，，所以，

联立，消去得，.

由韦达定理得，.

故选：B.

11．（2021·湖南高考真题）点到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】

点到直线的距离为，

故选：D.

12．（2021·北京高考真题）已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出

【详解】

由题可得圆心为，半径为2，

则圆心到直线的距离，

则弦长为，

则当时，弦长取得最小值为，解得.

故选：C.

13．（2021·浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（    ）

A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线

【答案】C

【分析】

首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.

【详解】

由题意得，即，

对其进行整理变形：

，

，

，

，

所以或，

其中为双曲线，为直线.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.

14．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

【答案】D

【分析】

根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

【详解】

设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.

15．（2020·全国高考真题（理））设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【分析】

根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.

【详解】

，，根据双曲线的定义可得，

，即，

，，

，即，解得，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.

16．（2021·湖南高考真题）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________

【答案】

【分析】

根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.

【详解】

由可得，

所以圆心为，

由可得，所以直线的斜率为，

所以与直线垂直的直线的斜率为，

所以所求直线的方程为：，即，

故答案为：.

17．（2021·天津高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．

【答案】

【分析】

设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.

【详解】

设直线的方程为，则点，

由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，

则，解得或，所以，

因为，故.

故答案为：.

18．（2021·全国高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．

【答案】

【分析】

结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.

【详解】

由题意，，则，

所以点和点，,

所以，

所以，

所以，同理,

所以.故答案为：

【点睛】

关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.