2017年黑龙江哈尔滨松北区初三一模数学试卷

这是一份2017年黑龙江哈尔滨松北区初三一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列实数中，是有理数的为
A. 2B. 34C. πD. 0

2. 下列运算正确的是
A. x3+x3=2x3B. x6÷x2=x3C. x3⋅x2=x6D. x23=x5

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 已知反比例函数 y=kxk>0 的图象经过点 A1,a，B3,b，则 a 与 b 的关系正确的是
A. a=bB. a=−bC. ab

5. 如图是一个由 7 个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为
A. B.
C. D.

6. 不等式组 x+5≥0,3−x>1 的解集在数轴上表示为
A. B.
C. D.

7. 某商品进价是 200 元，标价是 300 元，要使该商品利润为 20%，则该商品销售应按
A. 7 折B. 8 折C. 9 折D. 6 折

8. 如图，AC∥BD，AD 与 BC 交于点 E，过点 E 作 EF∥BD，交线段 AB 于点 F，则下列各式错误的是
A. AFBF=AEDEB. BFAF=BECEC. AEAD+BEBC=1D. AFBF=CEDE

9. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中 AB，CD 分别表示一楼，二楼地面的水平线，∠ABC=150∘，BC 的长是 8 m，则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是
A. 833 mB. 4 mC. 43 mD. 8 m

10. 甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城的距离 y 与 t 的对应关系如图所示，下列说法正确的说法有
（1）A，B两城之间距离是 300 千米；（2）甲车的速度是 60 千米/小时；（3）乙车出发 4 小时追上甲车；（4）甲车出发 2 小时或 3 小时，两车相距 20 千米．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1 个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即 1.4960 亿 km，用科学记数法表示 1 个天文单位是 km．

12. 若分式 2a+3a−1 有意义，则 a 的取值范围是 ．

13. 化简 27+3−12 的结果为 ．

14. 因式分解：m2n−6mn+9n= ．

15. 若关于 x 的一元二次方程 k−1x2−x+k2=0 的一个根是 1，则 k 的值为 ．

16. 在一个不透明的盒子里装有 4 个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球 40 次，其中 10 次摸到黑球，则估计盒子中大约有 个白球．

17. 已知抛物线 y=ax2−3x+ca≠0 经过点 −2,4，则 4a+c−1= ．

18. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 垂直平分 OB，垂足为点 E，连接 OD，BC，若 BC=1，则扇形 OBD 的面积为 ．

19. 已知菱形 ABCD 的边长为 6，∠A=60∘，如果点 P 是菱形内一点，且 PB=PD=23，那么 AP 的长为 ．

20. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，在 BC 上截取 CD=AC，E 在 AB 上，∠CED=90∘，CE=2，ED=1，F 是 AB 的中点，点 G 在 CB 上，∠GFB=2∠ECB，则 GF 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 化简求值：a−2a+3÷a2−42a+6−5a+2，其中 a=tan60∘−1sin30∘．

22. 图 1，图 2 都是 8×8 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 1，在每个正方形网格中标注了 6 个格点，这 6 个格点简称为标注点．
（1）请在图 1，图 2 中，以 4 个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；
（2）图 1 中所画的平行四边形的面积为 ．

23. 学校为了了解全校 1600 名学生对“初中学生带手机上学”现象的看法，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了四种看法供学生选择，每人只能选一种，且不能不选．将调查结果整理后，绘制成如图①、图②所示的条形统计图与扇形统计图（均不完整）．
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生?
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）估计全校有多少名学生对“初中学生带手机上学”现象持“不赞同”的看法．

24. 已知四边形 ABCD 中，AB=CD，BC=DA．
（1）已知：如图 1，对角线 AC，BD 交于点 O，M 是四边形 ABCD 外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．求证：四边形 ABCD 是矩形；
（2）如图 2，已知点 E 是 AB 的中点，点 G 是 BC 上的一点，∠BEG=60∘，现沿直线 GE 将纸片折叠，使点 B 落在纸片上的点 H 处，连接 AH，不添加任何线段，请写出图中与 ∠BEG 相等的所有的角．

25. 某商场用 36000 元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利 6000 元．其中甲种商品每件进价 120 元，售价 138 元；乙种商品每件进价 100 元，售价 120 元．
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件?
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的 2 倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于 8160 元，乙种商品最低售价为每件多少元?

26. 已知：△ABC 内接于 ⊙O，直径 AM 平分 ∠BAC．
（1）如图 1，求证 AB=AC；
（2）如图 2，弦 FG 分别交 AB，AC 于点 D，E，AE=BD，当 ∠ADE+∠DEC=90∘ 时，连接 CD，直径 AM 分别交 DE，CD，BC 于 N，H，R，若 CD⊥AB，求证：∠NDC=∠ACB；
（3）在（2）的条件下，若 DE 长为 2，求 △ACH 的面积．

27. 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，且满足 OA=OC=52OB，△ABC 的面积为 152．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 E 是直线 AC 上方第二象限内一点，点 F 在 AC 上，且 EF⊥AC，设点 E 的横坐标为 t，EF 的长为 d，tan∠CAE=12，用含 t 的式子表示 d；
（3）在（2）的条件下，连接 OE，交抛物线于点 H，点 Q 在 x 轴上，∠HQA+∠CAE=45∘，AE=QH，求点 Q 的坐标．
答案
第一部分
1. D【解析】2，34，π 都是无限不循环小数，它们是无理数，0 是整数，它是有理数．
2. A
3. B【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 A 错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故 B 正确；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故 C 错误；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 D 错误．
4. D
5. A
【解析】本题考查几何体的三视图．根据三视图的概念，从正面看该几何体，左边有 3 个面，右边有 1 个面，故选A．
6. C
7. B
8. D
9. B
10. B
第二部分
11. 1.4960×108
12. a≠1
13. 23
14. nm−32
15. −2
16. 12
17. −3
18. π6
19. 43 或 23
【解析】当 P 与 A 在 BD 的异侧时：连接 AP 交 BD 于点 M，如图1．
∵AD=AB，DP=BP，
∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），
在直角 △ABM 中，∠BAM=30∘，
∴AM=AB⋅cs30∘=33，BM=AB⋅sin30∘=3，
∴PM=PB2−BM2=3，
∴AP=AM+PM=43；
当点 P 与 A 在 BD 的同侧时：连接 AP 并延长 AP 交 BD 于点 M，如图2．
AP=AM−PM=23；
当点 P 与 M 重合时，PD=PB=3，与 PB=PD=23 矛盾，舍去．
AP 的长为 43 或 23．
20. 52
第三部分
21. 原式=a−2a+3×2a+3a+2a−2−5a+2=2a+2−5a+2=−3a+2.
当 a=3−2 时，
原式=−33=−3.
22. （1） 如图 1，如图 2．（答案不唯一）
（2） 6
【解析】图 1 中所画的平行四边形的面积 =2×3=6．（答案不唯一）
23. （1） 由题意可得，这次调查的学生有：50÷25%=200（名），
即在这次调查中，一共抽取了 200 名学生．
（2） 选“无所谓”的学生有：200−20−50−90=40（名），
选“很赞同”的学生所占的百分比为：1−20%−25%−45%=10%，
补全的条形统计图和扇形统计图如图所示．
（3） 1600×45%=720（名），
即全校有 720 名学生对“初中学生带手机上学”现象持“不赞同”的看法．
24. （1） 连接 OM，如图 3 所示：
∵AB=CD，BC=DA，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AM⊥MC，BM⊥MD，
∴∠AMC=∠BMD=90∘，
∴OM=12BD，OM=12AC，
∴BD=AC，
∴ 四边形 ABCD 是矩形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B=90∘，
∵∠BEG=60∘，
∴∠BGE=30∘，
∵ 点 E 是 AB 的中点，
∴AE=BE，
由折叠的性质得：EH=BE=AE，∠HEG=∠BEG=60∘，∠BGE=∠HGE=30∘，
∴∠BGH=60∘，∠AEH=180∘−60∘−60∘=60∘，
∴△AEH 是等边三角形，
∴∠AEH=∠EAH=∠AHE=60∘，
∴ 图中与 ∠BEG 相等的所有的角有 ∠AEH，∠EAH，∠AHE，∠GEH，∠BGH．
25. （1） 设商场购进甲种商品 x 件，乙种商品 y 件，根据题意得：
120x+100y=36000,138−120x+120−100y=6000,
解得：
x=200,y=120.
答：该商场购进甲种商品 200 件，乙种商品 120 件．
（2） 设乙种商品每件售价 z 元，根据题意，得
120z−100+2×200×138−120≥8160.
解得：
z≥108.
答：乙种商品最低售价为每件 108 元．
26. （1） 如图 1 中，分别过点 O 作 OP⊥AB 于 P，OQ⊥AC 于 Q．
∴ AP=PB=12AB，AQ=CQ=12AC，
∵ AM 平分 ∠BAC，
∴ OP=OQ，
∵ OA=OA，
在 Rt△OAP 和 Rt△OAQ 中，OA=OA,OP=OQ,
∴ △OAP≌△OAQHL，
∴ AP=AQ，
∴ AB=AC．
（2） 如图 2 中，作 DS⊥AC 于 S．
∴ ∠CED+∠EDS=90∘，
∵ ∠CED+∠ADE=90∘，
∴ ∠ADE=∠EDS，
又由 CD⊥AB，有 ∠ADE+∠CDE=90∘，
∴ ∠CDE=∠CED，
∴ CD=CE，
∵ ∠DAS+∠ADS=90∘，
∴ ∠DAN+∠ADN=45∘，
∴ ∠DNM=45∘，
∵ AD=CE，
∴ AD=DC，
∴ ∠DAC=45∘，
∴ ∠DAM=22.5∘，∠ADN=22.5∘，
∴ ∠NDC=67.5∘，
∵ ∠CAM=22.5∘，
∴ ∠ACB=67.5∘，
∴ ∠NDC=∠ACB．
（3） 过点 E 作 EK∥AB 交 AM 于 K，连接 BK，CK．
∵ ∠BAM=∠CAM，
∴ ∠EKA=∠BAM=∠CAM，
∴ EK=AE，
∴ EK=BD，
∴ 四边形 EKBD 是平行四边形，
在 △ADE 和 △ECK 中，
AD=CE,∠DAE=∠KEC,AE=EK,
∴ △ADE≌△ECKSAS，
∴ DE=KC，
∵ DE=BK，
∴ KB=KC，
∵ 四边形 EKBD 是平行四边形，
∴ DE∥BK，
∴ ∠BKM=∠DNM=45∘，
由对称性可知，∠CKM=∠BKM．
∴ ∠BKC=90∘，
∴ BC=2BK=2DE=2，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADH=∠CDB=90∘，
∵ AM⊥BC，
∴ ∠ARC=90∘，
∴ ∠DCB=∠DAH，
又 AD=CE=CD，
易证 △ADH≌△CDB，
∴ AH=BC=2，BR=CR=1，
∴ S△ACH=12⋅AH⋅CR=12×2×1=1．
27. （1） 设 OB=x，则 OA=OC=52x，
∵△ABC 的面积为 152，
∴1252x−x⋅52x=152，
∴x=2或−2舍，
∴OA=OC=5，OB=2，
∴A−5,0，B−2,0，C0,5，
设抛物线解析式为 y=ax+5x+2=ax2+7ax+10a，
∴10a=5，
∴a=12，
抛物线解析式 y=12x2+72x+5．
（2） 如图 2，作 EM⊥OA 于 M，延长 EF 交 y 轴于 P，过 P 作 PN⊥EM 于 N．
∵E 的横坐标为 t，
∴PN=−t，
∵OA=OB，
∴∠OCA=45∘，
∵EP⊥AC，
∴∠CFP=90∘，
∴∠CPF=45∘．
∴∠EPN=90∘−∠CPF=45∘，
∴EP=−2t，
在 Rt△AEF 中，EF=d，tan∠CAE=12，
∴AF=2d，
∵OA=OC=5，
∴AC=52，∠ACO=45∘，
∴CF=AC−AF=52−2d，
∵EF⊥AC，∠ACO=45∘，
∴PF=CF=52−2d，
∴EP=EF+PF=d+52−2d=52−d=−2t，
∴d=52+2t．
（3） 如图 3，过点 E 作 EM⊥AB 于 M 交 AC 于 G，
∵∠HQA+∠CAE=45∘，
又 ∵∠AEM+∠CAE=∠AGM=∠GAM=45∘，
∴∠AEM=∠HQA．
在 △EFG 中，FG=EF=d，
∴AG=AF−FG=2d−d=d，EG=2EF=2d，
在等腰直角三角形 AMG 中，AM=GM=22AG=22d，
∴EM=EG+GM=322d，
在 Rt△AEM 中，tan∠AEG=AMEM=13，
过 H 作 HI⊥x 轴于 I，
在 △AEM 和 △HQI 中，∠AME=∠HIQ=90∘,∠AEM=∠HQI,AE=HQ,
△AEM≌△HQIAAS，
∴EM=QI，AM=HI=13EM，
∵EM⊥x 轴，HI⊥x 轴，
∴EM∥HI，△EMO≌△HIO，
MO:IO=EM:HI，
∴OIIM=12．
设 OI=m，则 IM=2m，AM=5−3m，
∴H−m,5−3m，
代入抛物线解析式 y=12x2+72x+5 中，得 m1=1，m2=0（舍去），
∴I−1,0，AM=2，
∴EM=322d=3AM=6，
设 Qn,0，
∴QI=∣−1−n∣=∣n+1∣，
∵QI=EM=6，
∴n+1=±6，
∴n=−7或5，
∴Q15,0，Q2−7,0．