2017年黑龙江哈尔滨南岗区初三一模数学试卷

这是一份2017年黑龙江哈尔滨南岗区初三一模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 22 的相反数是
A. −22B. 22C. −2D. 2

2. 下列计算中正确的是
A. a+a2=2a2B. 2a⋅a=2a2C. 2a22=2a4D. 6a3−3a2=3a6

3. 下列图形中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其俯视图是
A. B.
C. D.

5. 若点 Ax1,1，Bx2,2，Cx3,−3 在双曲线 y=−1x 上，则
A. x1>x2>x3B. x1>x3>x2C. x3>x2>x1D. x3>x1>x2

6. 如图，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 3,0，点 B 的坐标为 0,4，⊙D 过 A，B，O 三点，点 C 为 OBA 上的一点（不与 O，A 两点重合），连接 OC，AC，则 csC 的值为
A. 34B. 35C. 43D. 45

7. 如图，已知 AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是
A. CDEF=ADAFB. ABCD=BCECC. ADBC=AFBED. CEBE=AFAD

8. 如图，在 ⊙O 中，CD 是直径，点 A，点 B 在 ⊙O 上，连接 OA，OB，AC，AB，若 ∠AOB=40∘，CD∥AB，则 ∠BAC 的大小为
A. 30∘B. 35∘C. 40∘D. 70∘

9. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转，使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，则 B，D 两点间的距离为
A. 10B. 22C. 3D. 25

10. 王老师从家门口骑车去单位上班，先走平路到达 A 地，再上坡到达 B 地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示，若王老师下班时，还沿着这条路返回家中，回家途中经过平路、上坡、下坡的速度不变，那么王老师回家需要的时间是
A. 15 分钟B. 14 分钟C. 13 分钟D. 12 分钟

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 据媒体公布，我国国防科技大学研制的“天河二号”以每秒 3386×1013 次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，已知 3386×1013 的结果近似为 3430000，用科学记数法把近似数 3430000 表示成 a×10n 的形式，则 n 的值是 ．

12. 若代数式 x+1x−3 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

13. 计算 18−128 的结果是 ．

14. 把多项式 ax2−2ax+a 分解因式的结果是 ．

15. 一个质地均匀的小正方体，6 个面分别标有数字 1，1，2，1，5，5，若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是 1 的概率为 ．

16. 二次函数 y=x2−bx+c 的图象上有两点 A3,−8，B−5,−8，则此抛物线的对称轴是直线 x= ．

17. 某商场有一款春季大衣，如果打八折出售，每件可盈利 200 元，如果打七折出售，每件还可以盈利 50 元，那么这款大衣每件的标价是 元．

18. 如图， AB 切 ⊙O 于点 B ， OA=2 ， ∠OAB=30∘ ，弦 BC∥OA ，劣弧 BC 的弧长为 ．（结果保留 π ）

19. 若一个等腰三角形的两条边的边长之比 3:2，则这个等腰三角形底角的正切值为 ．

20. 如图，在 △ABC 中，∠B=45∘，∠ACB=30∘，点 D 是 BC 上一点，连接 AD，过点 A 作 AG⊥AD，点 F 在线段 AG 上，延长 DA 至点 E，使 AE=AF，连接 EG，CG，DF，若 EG=DF，点 G 在 AC 的垂直平分线上，则 ABCG 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 先化简，再求代数式 2−2xx+1+x−1÷x2−xx+1 的值，其中 x=tan30∘．

22. 在 8×8 的正方形网格中，有一个 Rt△AOB，点 O 是直角顶点，点 O，A，B 分别在网格中小正方形的顶点上，请按照下面要求在所给的网格中画图．
（1）在图1 中，将 △AOB 先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到 △A1O1B1，画出平移后的 △A1O1B1（其中点 A，O，B 的对应点分别为点 A1，O1，B1）．
（2）在图2中，△AOB 与 △A2O2B2 是关于点 P 对称的图形，画出 △A2O2B2，连接 BA2，并直接写出 tan∠A2BO 的值．（其中 A，O，B 的对应点分别为点 A2，O2，B2）．

23. 某校团委要组织班级歌咏比赛，为了确定一首喜欢人数最多的歌曲作为每班必唱歌曲，团委提供了代号为 A，B，C，D 四首备选曲目让学生选择（每个学生只选一首），经过抽样调查后，将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图 1、图 2 所提供的信息，解答下列问题：
（1）在抽样调查中，求选择曲目代号为 A 的学生人数占抽样总人数的百分比；
（2）请将图 2 补充完整；
（3）若该校共有 1530 名学生，根据抽样调查的结果，估计全校选择曲目代号为 D 的学生有多少名?

24. 如图1，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，经过点 O 的直线与边 AB 相交于点 E，与边 CD 相交于点 F．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图2，连接 DE，BF，当 DE⊥AB 时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于 12BD 的所有的等腰三角形．

25. 为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球，第一次用 6000 元购进A品牌足球 m 个，第二次又用 6000 元购进B品牌足球，购进的B品牌足球的数量比购进的A品牌足球多 30 个，并且每个A品牌足球的进价是每个B品牌足球的进价的 54．
（1）求 m 的值；
（2）若这两次购进的A，B两种品牌的足球分别按照 a 元/个，45a 元/个两种价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于 4800 元，求出 a 的最小值．

26. 如图 1，已知 AB 为 ⊙O 的直径，点 C 为 AB 的中点，点 D 在 BC 上，连接 BD，CD，BC，AD，BC 与 AD 相交于点 E．
（1）求证：∠C+∠CBD=∠CBA；
（2）如图 2，过点 C 作 CD 的垂线，分别与 AD，AB，⊙O 相交于点 F，G，H，求证：AF=BD．
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 BF，若 BF=BC，△CEF 的面积等于 3，求 FG 的长．

27. 如图，已知抛物线 y=−34x2+bx+c 与 x 轴相交于点 A，B4,0，与 y 轴相交于点 C，直线 y=−x+3 经过点 C，与 x 轴相交于点 D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 为第一象限抛物线上一点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 E，PE 与线段 CD 相交于点 G，过点 G 作 y 轴的垂线，垂足为点 F，连接 EF，过点 G 作 EF 的垂线，与 y 轴相交于点 M，连接 ME，MD，设 △MDE 的面积为 S，点 P 的横坐标为 t，求 S 与 t 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点 B 作直线 GM 的垂线，垂足为点 K，若 BK=OD，求：t 值及点 P 到抛物线对称轴的距离．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. B
4. C
5. C
6. D
7. C
8. B
9. A【解析】在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，
∴ AB=5．
由题设知 BE=1，DE=3，
∴ BD=32+12=10．
10. A
第二部分
11. 6
12. x≠3
13. 22
14. ax−12
【解析】原式=ax2−2x+1=ax−12.
15. 12
16. −1
17. 1500
18. 13 π
19. 22 或 73
20. 3+12
【解析】过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，过点 G 作 GK⊥BC 于点 K，过点 A 作 AL⊥GK 于点 L，取 AC 中点 M，连接 GM．
∵AG⊥DE，
∴∠DAF=∠EAG=90∘．
在 Rt△ADF 和 Rt△AGE 中，
AF=AE,DF=EG,
∴Rt△ADF≌Rt△AGEHL，
∴AD=AG，
∵∠AHK=∠ALK=∠LKH=90∘，
∴ 四边形 AHKL 是矩形，
∴∠DAG=∠HAL=90∘，
∴∠DAH=∠GAL，
在 △ADH 和 △AGL 中，
∠DAH=∠GAL,∠AHD=∠ALG,AD=AG,
∴△ADH≌△AGLAAS，
∴AH=AL，
在 Rt△ACH 中，
∵∠ACH=30∘，
∴AH=AL=12AC=AM，
在 Rt△AGM 和 Rt△AGL 中，
AL=AM,AG=AG,
∴Rt△AGM≌Rt△AGLHL，
∴∠GAL=∠GAM，
∵AL∥BC，
∴∠CAL=∠ACH=30∘，
∴∠GAL=∠GAM=15∘，
∴∠DAH=∠GAL=15∘，
∴∠CAD=∠CDA=75∘，
∴AC=CD，设 AH=a，则 CD=AC=2a，CH=3a，
∴LG=DH=CD−CH=2a−3a，
∴GK=LK−LG=3−1a，
∵GA=GC，
∴∠GAC=∠GCA=15∘，
∴∠GCK=45∘，
∴CG=2KG=6−2a，
∵AB=2AH=2a，
∴ABCG=2a6−2a=3+12．
第三部分
21. 原式=2−2xx+1+x−1÷xx−1x+1=2−2x+x2−1x+1⋅x+1xx−1=x2−2x+1xx−1=x−12xx−1=x−1x.
当 x=tan30∘=33 时，
原式=33−133=1−3.
22. （1） 如图 1中，△A1O1B1 为所作；
（2） 如图2，△A2O2B2 为所作，tan∠A2BO=34．
23. （1） 由题意可得，本次抽样调查中，总人数为 30÷60∘360∘=180（人），
选择曲目代号为 A 的学生占抽样总数的百分比为：36÷180×100%=20%．
（2） 由题意可得，选择 C 的人数有：180−36−30−44=70（人），
故补全的图 2 如下图所示，
（3） 由题意可得，全校选择曲目代号为 D 的学生共有：1530×44180=374（人），
答：估计全校选择曲目代号为 D 的学生有 374 名．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，OB=OD，
∴∠OAE=∠OCF，
在 △OAE 和 △OCF 中，∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COFASA，
∴OE=OF；
（2） ∵OE=OF，OB=OD，
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90∘，
∴ 四边形 DEBF 是矩形，
∴BD=EF，
∴OD=OB=OE=OF=12BD，
∴ 腰长等于 12BD 的所有的等腰三角形为 △DOF，△FOB，△EOB，△DOE．
25. （1） 设购进A品牌足球 m 个，根据题意可得：
6000m=54×6000m+30,
解得：
m=120,
经检验 m=120 是原方程的解，
所以 m 的值是 120；
（2） 由（1）可得：B品牌足球的个数为 150 个，6000120=50（元/个），6000150=40（元/个），A品牌足球和B品牌足球的进价分别为 50 元/个和 40 元/个，120a+150×45a−6000×2≥4800，
解得：a≥70，
答：a 的最小值为 70．
26. （1） 连接 AC，
在 ⊙O 中，
∵C 为 AB 的中点，
∴AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=∠CAD+∠DAB，
∵CD=CD，BD=BD，
∴∠DCB=∠DAB，∠CBD=∠CAD，
∴∠DCB+∠CBD=∠CAD+∠DAB=∠CAB=∠CBA．
（2） 连接 AC，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90∘=∠ACF+∠FCB，
∵CD⊥CH，
∴∠DCH=90∘=∠FCB+∠DCB，
∴∠ACF=∠DCB，
∵AC=BC，
∴AC=BC，
在 △ACF 和 △BCD 中，
∠ACF=∠DCB,AC=BC,∠CAF=∠CBD.
∴△ACF≌△BCDASA，
∴ AF=BD．
（3） 作 BM⊥CH 于点 M，AK⊥CH 于点 K；
∴∠ACK+∠CAK=90∘，∠AKC=∠BMC=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACK+∠KCB=90∘，
∴∠CAK=∠KCB，
在 △ACK 和 △CBM 中
∠CAK=∠KCB,∠AKC=∠BMC,AC=BC.
∴△ACK≌△CBMAAS，
∴AK=CM，
∵CB=BF，BM⊥CF，
∴CM=FM=AK，
∵△ACF≌△BCD，
∴CF=CD，
∵∠FCD=90∘，
∴∠CFD=∠CDF=45∘=∠AFK，
∴△AFK 是等腰直角三角形，
∴AK=FK=FM=CM，
在 Rt△AKC 中，tan∠CAK=CKAK=3，作 EN⊥CH 于点 N，
在 Rt△NCE 中，
∵∠HCB=∠CAK，
∴tan∠NCE=ENCN=3，设 CN=m，EN=3m=NF，
∴S△CEF=12⋅CF⋅EN=12×m+3m×3m=3，
∴m=22，
∴CF=4m=22，
∴CM=FM=FK=AK=2，
∴AF=2，
∵DB=DB，
∴∠DCB=∠DAB=∠ACK，
过 G 作 GQ⊥AF 于 点 Q，
在 Rt△AQG 中，tan∠FAB=QGAQ=13，
设 QG=x，AQ=3x，FQ=x，
∴4x=2，
∴ x=12，
∴ FG=2x=22．
27. （1） 对于直线 y=−x+3，令 x=0 得 y=3，
所以 C0,3，把 B4,0，C0,3 的坐标代入 y=−34x2+bx+c 得 −12+4b+c=0,c=3,
解得 b=94,c=3,
所以抛物线的解析式为 y=−34x2+94x+3．
（2） 如图1中，
当 0因为 FG⊥OC，GE⊥OD，CO⊥OD，
所以四边形 FOEG 是矩形，
所以 OE=FG=t，GE=ED=3−t，
因为 MG⊥FE，FG⊥GE，
所以 ∠GEF+∠GFE=90∘，∠GFE+∠FGM=90∘，
所以 ∠GEF=∠FGM，
在 Rt△FGE 中，tan∠FEG=FGGE=t3−t，
所以在 Rt△FGM 中，tan∠FGM=FMGF=t3−t，
所以 FM=t23−t，
所以 OM=FO−FM=3−t−t23−t=9−6t3−t，
所以
S=12⋅DE⋅OM=12×3−t×9−6t3−t=9−6t2,
同理，当 32 S=12⋅DE⋅OM=12⋅DE⋅FM−OF=−9+6t2.
综上所述，S=9−6t2,0 （3） 如图2中，过点 C 作 x 轴的平行线，过点 B 作 y 轴的平行线，两直线交于点 Q，延长 MK 与 CQ 交于点 N，延长 KM 与 x 轴交于点 Z，连接 BN．
因为 CQ∥BO，BQ∥CO，
所以四边形 COBQ 是平行四边形，
因为 ∠COB=90∘，
所以四边形 COBQ 是矩形，
所以 ∠CQB=90∘=∠BKN，CO=BQ=3，
对于直线 y=−x+3，令 y=0 得 x=3，
所以 D3,0，
所以 OD=OC=BQ=3，
因为 BK=OD，
所以 BK=BQ，
在 Rt△KBN 和 Rt△QBN 中
BK=BQ,BN=BN,
所以 Rt△KBN≌Rt△QBNHL，
所以 ∠KNB=∠QNB，
因为 NQ∥OB，
所以 ∠QNB=∠NBO=∠KNB，
所以 ZN=ZB，设 EG 交 CQ 于点 H，
因为 OC=OD，
所以 ∠OCD=∠ODC，
因为 CQ∥OB，
所以 ∠QHG=∠HEO=90∘，∠HCD=∠CDO，
所以 ∠OCD=∠HCD，
因为 GF⊥OC，GH⊥CH，
所以 GH=GF，
因为 GM⊥EF，GH⊥HN，
所以 ∠GEF+∠MGE=90∘，∠HGN+∠HNG=90∘，
因为 ∠HGN=∠MGE，
所以 ∠GEF=∠HNG，
因为 ∠GFO=∠FOE=∠OEG=90∘，
所以 ∠EGF=90∘=∠GHN，
在 △HNG 和 △GEF 中，
∠HNG=∠GEF,∠GHN=∠EGF,GH=GF,
所以 △HNG≌△GEFAAS，
所以 CH=OE=t=GH，HN=GE=3−t，
所以 CN=3−t+t=3，
所以 NQ=BD=1=NK，设 ZK=m，则 ZB=ZN=m+1，
在 Rt△KZB 中，m+12=m2+32，
所以 m=4，
所以 ZB=5，
所以 tan∠GZB=34，tan∠GEF=34，
所以 t3−t=34，
所以 t=79，
因为抛物线的对称轴 x=32，
所以点 P 到抛物线的对称轴的距离为 32−97=314．