第02讲 导数与函数的单调性（原卷版）

第2讲   导数与函数的单调性

 [A级　基础练]

1．函数的单调递减区间为（    ）

A．(－1,1]    B．(0,1]   C． [1,+)       D．(0,+)

【答案】B

【解析】∵,∴,由，解得，又，

∴故选B．

2．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．f(x)＝sin 2x   B．f(x)＝xex

C．f(x)＝x3－x   D．f(x)＝－x＋ln x

解析：选B.对于A，f(x)＝sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>或x<－，所以函数f(x)＝x3－x在和上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋＝－，令f′(x)>0，得0<x<1，所以函数f(x)＝－x＋ln x在区间(0，1)上单调递增．综上所述，应选B.

3．（2020浙江）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（    ）

A．                           B．

C．                           D．

【答案】D

【解析】由导函数的图象可知，的单调性是减增减增，排除 A、C；由

导函数的图象可知，的极值点一负两正，所以D符合，选D．

4．(2020辽宁省沈阳市检测三）已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是（    ）．

A.     B.        C.  D.

【答案】C

【解析】令．则，所以在上为奇函数．，所以函数在上单调递增．

，化为：，即

所以，即，解得．所以实数的取值范围是．

5．已知f(x)＝，则(　　)

A．f(2)>f(e)>f(3)   B．f(3)>f(e)>f(2)

C．f(3)>f(2)>f(e)   D．f(e)>f(3)>f(2)

解析：选D.f(x)的定义域是(0，＋∞)，

f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e.

所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝e时，f(x)max＝f(e)＝，而f(2)＝＝，f(3)＝＝，所以f(e)>f(3)>f(2)，故选D.

6．函数的单调递增区间是________．

【答案】

【解析】，，由得，

的单调递增区间是．

7．函数f(x)＝ln x－为________函数．(填“增”或“减”)

解析：由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)．

因为f(x)＝ln x－，

所以f′(x)＝－＝.

因为x>0，

所以4x2＋3x＋1>0，x(1＋2x)2>0.

所以当x>0时，f′(x)>0.

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

答案：增

8．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．

解析：对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a.

由题意知，f′(x)>0在上有解，

当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.

令＋2a>0，解得a>－，

所以a的取值范围是.

答案：

9．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

解：(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，

得f′(x)＝3x2＋2ax－1.

当x＝时，得a＝f′＝3×＋2a×－1，

解得a＝－1.

(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c，

则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，

令f′(x)>0，解得x>1或x<－；

令f′(x)<0，解得－<x<1.

所以f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)，

f(x)的单调递减区间是.

10．已知函数f(x)＝x3＋x2.讨论函数y＝f(x)ex的单调性．

解：令g(x)＝f(x)ex＝ex，

所以g′(x)＝ex＋ex

＝x(x＋1)(x＋4)ex.

令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4，

当x≤－4时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

当－4<x≤－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当－1<x≤0时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增．

综上可知，g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)上单调递减，在(－4，－1)和(0，＋∞)上单调递增．

[B级　综合练]

11．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是(　　)

A．f(x)<0恒成立

B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0

C．f>

D．f<

解析：选BD.由导函数的图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)<0，故原函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢．所以f(x)的图象如图所示．

f(x)<0恒成立，没有依据，故A不正确；

B表示(x1－x2)与[f(x1)－f(x2)]异号，即f(x)为减函数，故B正确；

C，D左边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，

右边式子代表的是函数值的平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，

故C不正确，D正确．

12．已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，则实数t的取值范围是________．

解析：因为函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x(x>0)，

所以f′(x)＝－x－3＋，

因为函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，

所以f′(x)＝－x－3＋在(t，t＋1)上有变号零点，

所以＝0在(t，t＋1)上有解，

所以x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)上有解，

由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)，

所以1∈(t，t＋1)，所以t∈(0，1)，

故实数t的取值范围是(0，1)．

答案：(0，1)

13．设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

(1)求b，c的值；

(2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间；

(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

解：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，

由题意得即

故b＝0，c＝1.

(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)，

当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；

当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，

所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．

(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立．

则存在x∈(－2，－1)使－a>－x－成立，

即－a>.

因为x∈(－2，－1)，所以－x∈(1，2)，

则－x－≥2＝2，

当且仅当－x＝－，即x＝－时等号成立，

所以－a>2，则a<－2.

所以实数a的取值范围为(－∞，－2)．

14．已知函数（为正实数，且为常数）.

（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（1），.

因在上单调递增，则，恒成立.

令，则，

　　 因此，，即.

（2）①当时，由（1）知，当时，单调递增.

又，当，；当时，.

　  故不等式恒成立．

②若，， 　

设，令，则.

当时，，单调递减，则，

则，所以当时，单调递减，

则当时，，此时，矛盾.

因此，，即实数的取值范围为．

[C级　创新练]

15．求形如y＝f(x)g(x)的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得ln y＝g(x)ln f(x)，再两边同时求导得·y′＝g′(x)ln f(x)＋g(x)f′(x)，于是得到y′＝f(x)g(x)·[g′(x)ln f(x)＋g(x)f′(x)]，运用此方法求得函数y＝x的单调递增区间是(　　)

A．(e，4)   B．(3，6)

C．(0，e)   D．(2，3)

解析：选C.由题意知y′＝x＝x·(x>0)，令y′>0，得1－ln x>0，所以0<x<e，所以函数y＝x的单调递增区间为(0，e)，故选C.

16．(2021·广东省四校联考)已知函数f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)，若函数f(x)满足∀x∈I(其中I为函数f(x)的定义域)，当x≠x0时，[f(x)－g(x)](x－x0)>0恒成立，则称x0为函数f(x)的“转折点”．已知函数f(x)＝ex－ax2－2x在区间[0，1]上存在一个“转折点”，则a的取值范围是(　　)

A．[0，e]  B．[1，e]

C．[1，＋∞)   D．(－∞，e]

解析：选B.根据定义，函数f(x)满足∀x∈I(其中I为函数f(x)的定义域)，当x≠x0时，[f(x)－g(x)](x－x0)>0恒成立，f′(x)＝ex－ax－2.令h(x)＝ex－ax－2，则h′(x)＝ex－a，令h′(x)＝ex－a＝0，则其解就是“转折点”，故ex＝a，x＝ln a，x∈[0，1]，则0≤ln a≤1，解得1≤a≤e，选B.