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苏科版数学八年级上册月考模拟试卷03（含答案）
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这是一份苏科版数学八年级上册月考模拟试卷03（含答案），共31页。试卷主要包含了细心选一选，精心填一填，解答题等内容，欢迎下载使用。
苏科版数学八年级上册月考模拟试卷
一、细心选一选
1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15
3．如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（ ）
A．∠1=∠C B．∠A=∠C C．∠2=∠B D．
4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（ ）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
6．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
7．若=，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．关于x的一元二次方程 kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
9．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0．其中a+c≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
二、精心填一填
11．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 ．
12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．
13．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC= ．
15．已知线段AB=10，点C是线段AB上的黄金分割点（AC＞BC），则AC长是 （精确到0.01）．
16．若代数式的值等于0，则x= ．
17．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则= ．
18．如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 ．
三、解答题
19．解方程
（1）2（x+1）2=8 （2）x2+2x+1=8（配方法）
（3）2x2﹣3x﹣1=0 （公式法） （4）64（3y﹣2）2=9（2y﹣3）2
（5）（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=0．
20．2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
21．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）求∠ACB的大小．
22．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
23．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
24．如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA、OB（OA＜0B）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且△ABC的面积为6，求∠ABC的度数．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
26．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：AB=|x2﹣x1|）
27．如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（4，0），B（0，8），点C的坐标为（2，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P．
①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标．
②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】
（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC．若AD=2，AE=1，DF=6，则EG= ， = ．
（2）如图2，在△ABC 中，点D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG．以AD、DF、FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG）．
求证：∠M=∠N．
【深入探究】
上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：
（3）如图3，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A′B′C′．
满足：①△A′B′C′∽△ABC；②△A′B′C′的周长等于线段a的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤）
参考答案
一、细心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣可以直接求得x1+x2的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的一次项系数是a=1，二次项系数b=2，
∴由韦达定理，得
x1+x2=2．
故选A．
2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．
【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【解答】解：∵x2﹣8x=1，
∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，
故选：C．
3．如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（ ）
A．∠1=∠C B．∠A=∠C C．∠2=∠B D．
【考点】S8：相似三角形的判定．
【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】解：由图得：∠A=∠A，
∴当∠B=∠2或∠C=∠1或AE：AB=AD：AC时，△ABC与△ADE相似；
也可AE：AD=AC：AB．
B选项中∠A和∠C不是成比例的两边的夹角．
故选：B．
4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】S8：相似三角形的判定．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，
∴AC：BC：AB=：2： =1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选C．
5．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（ ）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
【考点】A9：换元法解一元二次方程．
【分析】设y=a2﹣b2，原式化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为a2﹣b2的值．
【解答】解：设y=a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8=0，即（y﹣4）（y+2）=0，
可得y﹣4=0或y+2=0，
解得：y1=4，y2=﹣2，
∴a2﹣b2=4或﹣2．
故选C．
6．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系．
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．
当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．
7．若=，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】S1：比例的性质．
【分析】根据合分比性质求解．
【解答】解：∵=，
∴==．
故选D．
8．关于x的一元二次方程 kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）＞0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）＞0，
所以k＞﹣1且k≠0．
故选D．
9．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=， =，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴=， =，
∴+=+==1．
∵AB=1，CD=3，
∴+=1，
∴EF=．
故选C．
10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0．其中a+c≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
【考点】AA：根的判别式．
【分析】求出方程M：ax2+bx+c=0的判别式△1=b2﹣4ac，方程N：cx2+bx+a=0的判别式△2=b2﹣4ac，再根据判别式的意义、根与系数的关系以及方程的解的意义求解即可．
【解答】解：A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么△1=b2﹣4ac＞0，所以△2=b2﹣4ac＞0，所以方程N也有两个不相等的实数，结论正确，故本选项不符合题意；
B、如果方程M有两根符号相同，那么两根之积＞0，所以＞0，即方程N的两根之积＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，故本选项不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，所以a+b+c=0，所以是方程N的一个根，结论正确，故本选项不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，整理得（a﹣c）x2=a﹣c，当a=c时，x为任意数；当a≠c时，x=±1．结论错误，故本选项符合题意；
故选D．
二、精心填一填（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要解答过程）
11．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 4：9 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= 3 ．
【考点】S1：比例的性质．
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：由等比性质，得k===3，
故答案为：3．
13．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 3 ，m的值是 ﹣4 ．
【考点】AB：根与系数的关系；A3：一元二次方程的解．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m，两个根的积是3，即可求解．
【解答】解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，
解得：m=﹣4，a=3．
故答案是：3，﹣4．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC= 1：2 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，进而得出△DEF∽△DCF，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△DCF，
∴，
∵点E是边AD的中点，
∴DE=AE=AD=BC，
∴．
故答案为：1：2．
15．已知线段AB=10，点C是线段AB上的黄金分割点（AC＞BC），则AC长是 6.18 （精确到0.01）．
【考点】S3：黄金分割．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则AC=AB，代入数据即可得出AC的值．
【解答】解：由于C为线段AB=10的黄金分割点，
且AC＞BC，AC为较长线段；
则AC=10×=5（﹣1）≈6.18．
故答案为6.18．
16．若代数式的值等于0，则x= 2 ．
【考点】63：分式的值为零的条件．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣5x+6=0，2x﹣6≠0，
由x2﹣5x+6=0，得x=2或x=3，
由2x﹣6≠0，得x≠3，
∴x=2，
故答案为2．
17．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则= 2 ．
【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式进行计算即可求解．
【解答】证明：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴=2．
故答案为：2．
18．如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 （，） ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先设点D的坐标是（m，），点E的坐标是（n，），应用待定系数法求出直线AB的解析式是多少；然后根据△BDE∽△BCA，可得∠BDE=∠BCA=90°，推得直线y=x与直线DE垂直，再根据点D、E关于直线y=x对称，推得mn=3；最后根据点D在直线AB上，求出点n的值是多少，即可判断出点E的坐标是多少．
【解答】解：如图1，
∵点D、E是反比例函数y=（x＞0）的图象上的点，
∴设点D的坐标是（m，），点E的坐标是（n，），
又∵∠BCA=90°，AC=BC=2，
∴C（n，0），B（n，2），A（n﹣2，0），
设直线AB的解析式是：y=ax+b，
则
解得
∴直线AB的解析式是：y=x+2﹣n．
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴直线y=x与直线DE垂直，
∴点D、E关于直线y=x对称，
∴=，
∴mn=3，或m+n=0（舍去），
又∵点D在直线AB上，
∴=m+2﹣n，mn=3，
整理，可得
2n2﹣2n﹣3=0，
解得n=或n=﹣（舍去），
∴点E的坐标是（，）．
故答案为：（，）．
三、解答题（本大题共10题，共84分）
19．解方程
（1）2（x+1）2=8
（2）x2+2x+1=8（配方法）
（3）2x2﹣3x﹣1=0 （公式法）
（4）64（3y﹣2）2=9（2y﹣3）2
（5）（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=0．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；A5：解一元二次方程﹣直接开平方法；A6：解一元二次方程﹣配方法；A7：解一元二次方程﹣公式法．
【分析】（1）方程两边同除以2，然后直接开平方即可解答本题；
（2）利用配方法进行解答即可；
（3）利用公式法进行解答即可；
（4）移项利用平方差公式进行解答即可；
（5）利用完全平方公式进行解答．
【解答】解：（1）2（x+1）2=8，
（x+1）2=4，
x+1=±2，
x=﹣1±2，
∴x1=1，x2=﹣3；
（2）x2+2x+1=8，
（x+1）2=8，
，
x=，
∴；
（3）2x2﹣3x﹣1=0，
a=2，b=﹣3，c=﹣1，
△=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17＞0，
，
∴；
（4）64（3y﹣2）2=9（2y﹣3）2
64（3y﹣2）2﹣9（2y﹣3）2=0，
[8（3y﹣2）+3（2y﹣3）][8（3y﹣2）﹣3（2y﹣3）]=0，
（30y﹣25）（18y﹣7）=0，
解得，；
（5）（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=0，
[（x﹣1）﹣2]2=0，
（x﹣3）2=0，
∴x﹣3=0，
得x1=x2=3．
20．2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）如果下调的百分率相同，求出2016年的房价，进而确定出100平方米的总房款，即可做出判断．
【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为x，
根据题意得：6500（1﹣x）2=5265，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），
则平均每年下调的百分率为10%；
（2）如果下调的百分率相同，2016年的房价为5265×（1﹣10%）=4738.5（元/米2），
则100平方米的住房总房款为100×4738.5=473850=47.385（万元），
∵20+30＞47.385，
∴张强的愿望可以实现．
21．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）求∠ACB的大小．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）利用垂直的定义得到一对直角相等，再由已知边成比例，利用两边成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；
（2）利用相似三角形对应角相等及同角的余角相等即可求出所求．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵=，
∴△ADC∽△CDB；
（2）解：∵△ADC∽△CDB，
∴∠A=∠BCD，∠ACD=∠B，
∵∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
则∠ACB=90°．
22．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得
x（25﹣2x+1）=80，
化简，得x2﹣13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8，
当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
23．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．
【解答】解：设购买了x件这种服装且多于10件，根据题意得出：
[80﹣2（x﹣10）]x=1200，
解得：x1=20，x2=30，
当x=20时，80﹣2（20﹣10）=60元＞50元，符合题意；
当x=30时，80﹣2（30﹣10）=40元＜50元，不合题意，舍去；
答：她购买了20件这种服装．
24．如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA、OB（OA＜0B）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且△ABC的面积为6，求∠ABC的度数．
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】先跟及三角形ABC的面积求出AB的值，再由根与系数的关系就可以求出m的值，从而求出方程的解，就可以得出OB的值，进而得出△OBC为等腰直角三角形就可以得出结论．
【解答】解：∵C（0，3），
∴CO=3．
∵△ABC的面积为6，
∴=6，
∴AB=4．
∵OA、OB（OA＜0B）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，
∴OA+OB=4m，
∴4m=4，
∴m=1．
∴一元二次方程为：x2﹣4x+3=0
∴x1=1，x2=3．
∵OA＜0B，
∴OA=1，OB=3．
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
答：∠ABC=45°．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴=，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴=．
∵AB=10，BC=12，
∴=，
∴BP=．
26．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：AB=|x2﹣x1|）
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；AA：根的判别式．
【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；
（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，
∵（m﹣1）2≥0，
∴△=（m﹣1）2+8＞0，
∴原方程有两个不等实数根；
（2）存在，
由题意知x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．
∵AB=|x1﹣x2|，
∴AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2
=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，
∴当m=1时，AB2有最小值8，
∴AB有最小值，即AB==2
27．如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（4，0），B（0，8），点C的坐标为（2，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P．
①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标．
②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）由于A（4，0）、B（0，8），利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）①可以设动点P （x，﹣2x+8），由此得到PE=x，PF=﹣2x+8，再利用矩形OEPF的面积为6即可求出点P的坐标；
②存在，分两种情况：第一种由CP∥OB得△ACP∽△AOB，由此即可求出P的坐标；第二种CP⊥AB，根据已知条件可以证明APC∽△AOB，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出PA，再过点P作PH⊥x轴，垂足为H，由此得到PH∥OB，进一步得到△APH∽△ABO，然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，如图1：
依题意，，
∴，
∴y=﹣2x+8；
（2）①设动点P （x，﹣2x+8），则PE=x，PF=﹣2x+8，
∴S▭OEPF=PE•PF=x（﹣2x+8）=6，
∴x1=1，x2=3；
经检验x1=1，x2=3都符合题意，
∴点P（1，6）或（3，2）；
②存在，分两种情况
第一种：CP∥OB，
∴△ACP∽△AOB，
而点C的坐标为（2，0），
∴点P（2，4 ）；
第二种CP⊥AB，
∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，
∴△APC∽△AOB，
∴，
∴，
∴AP=，
如图2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
∴PH∥OB，
∴△APH∽△ABO，
∴，
∴，
∴PH=，AH=，
∴OH=OA﹣AH=，
∴点P（，）．
∴点P的坐标为（2，4）或点P（，）．
28．【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】
（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC．若AD=2，AE=1，DF=6，则EG= 3 ， = 2 ．
（2）如图2，在△ABC 中，点D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG．以AD、DF、FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG）．
求证：∠M=∠N．
【深入探究】
上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：
（3）如图3，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A′B′C′．
满足：①△A′B′C′∽△ABC；②△A′B′C′的周长等于线段a的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤）
【考点】SO：相似形综合题；S4：平行线分线段成比例．
【分析】（1）只需利用基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”即可解决问题；
（2）要证∠M=∠N，只需证△AMD∽△ANE，只需证==，由于DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，只需证==，根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”即可解决问题；
（3）借鉴图2，可进行以下操作：①延长BA到D，使得AD=AC，延长AB到E，使得BE=BC；②过点D画一条线段DF，使得DF=a，连接EF；③过点B作∠DBB′=∠DEF，交DF于点B′，过点A作∠DAA′=∠DEF，交DF于点A′，即可得到AA′∥BB′∥EF；④以点A′为圆心，A′D为半径画弧，以点B′为圆心，B′F为半径画弧，两弧交于点C′；⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求作．
【解答】解：（1）如图1，
∵DE∥FG∥BC，
∴，，
∴==．
∵AD=2，AE=1，DF=6，
∴==，
∴EG=3， =2．
故答案分别为：3、2；
（2）如图2，
∵DE∥FG∥BC，
∴，，
∴==．
∵DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，
∴==，
∴△AMD∽△ANE，
∴∠M=∠N；
（3）步骤：
①延长BA到D，使得AD=AC，延长AB到E，使得BE=BC；
②过点D画一条线段DF，使得DF=a，连接EF；
③过点B作∠DBB′=∠DEF，交DF于点B′，过点A作∠DAA′=∠DEF，交DF于点A′；
④以点A′为圆心，A′D为半径画弧，以点B′为圆心，B′F为半径画弧，两弧交于点C′；
⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求作．
苏科版数学八年级上册月考模拟试卷
一、细心选一选
1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15
3．如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（ ）
A．∠1=∠C B．∠A=∠C C．∠2=∠B D．
4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（ ）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
6．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
7．若=，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．关于x的一元二次方程 kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
9．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0．其中a+c≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
二、精心填一填
11．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 ．
12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．
13．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC= ．
15．已知线段AB=10，点C是线段AB上的黄金分割点（AC＞BC），则AC长是 （精确到0.01）．
16．若代数式的值等于0，则x= ．
17．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则= ．
18．如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 ．
三、解答题
19．解方程
（1）2（x+1）2=8 （2）x2+2x+1=8（配方法）
（3）2x2﹣3x﹣1=0 （公式法） （4）64（3y﹣2）2=9（2y﹣3）2
（5）（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=0．
20．2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
21．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）求∠ACB的大小．
22．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
23．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
24．如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA、OB（OA＜0B）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且△ABC的面积为6，求∠ABC的度数．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
26．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：AB=|x2﹣x1|）
27．如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（4，0），B（0，8），点C的坐标为（2，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P．
①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标．
②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】
（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC．若AD=2，AE=1，DF=6，则EG= ， = ．
（2）如图2，在△ABC 中，点D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG．以AD、DF、FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG）．
求证：∠M=∠N．
【深入探究】
上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：
（3）如图3，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A′B′C′．
满足：①△A′B′C′∽△ABC；②△A′B′C′的周长等于线段a的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤）
参考答案
一、细心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣可以直接求得x1+x2的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的一次项系数是a=1，二次项系数b=2，
∴由韦达定理，得
x1+x2=2．
故选A．
2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．
【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【解答】解：∵x2﹣8x=1，
∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，
故选：C．
3．如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（ ）
A．∠1=∠C B．∠A=∠C C．∠2=∠B D．
【考点】S8：相似三角形的判定．
【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】解：由图得：∠A=∠A，
∴当∠B=∠2或∠C=∠1或AE：AB=AD：AC时，△ABC与△ADE相似；
也可AE：AD=AC：AB．
B选项中∠A和∠C不是成比例的两边的夹角．
故选：B．
4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】S8：相似三角形的判定．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，
∴AC：BC：AB=：2： =1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选C．
5．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（ ）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
【考点】A9：换元法解一元二次方程．
【分析】设y=a2﹣b2，原式化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为a2﹣b2的值．
【解答】解：设y=a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8=0，即（y﹣4）（y+2）=0，
可得y﹣4=0或y+2=0，
解得：y1=4，y2=﹣2，
∴a2﹣b2=4或﹣2．
故选C．
6．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系．
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．
当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．
7．若=，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】S1：比例的性质．
【分析】根据合分比性质求解．
【解答】解：∵=，
∴==．
故选D．
8．关于x的一元二次方程 kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）＞0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）＞0，
所以k＞﹣1且k≠0．
故选D．
9．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=， =，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴=， =，
∴+=+==1．
∵AB=1，CD=3，
∴+=1，
∴EF=．
故选C．
10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0．其中a+c≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
【考点】AA：根的判别式．
【分析】求出方程M：ax2+bx+c=0的判别式△1=b2﹣4ac，方程N：cx2+bx+a=0的判别式△2=b2﹣4ac，再根据判别式的意义、根与系数的关系以及方程的解的意义求解即可．
【解答】解：A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么△1=b2﹣4ac＞0，所以△2=b2﹣4ac＞0，所以方程N也有两个不相等的实数，结论正确，故本选项不符合题意；
B、如果方程M有两根符号相同，那么两根之积＞0，所以＞0，即方程N的两根之积＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，故本选项不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，所以a+b+c=0，所以是方程N的一个根，结论正确，故本选项不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，整理得（a﹣c）x2=a﹣c，当a=c时，x为任意数；当a≠c时，x=±1．结论错误，故本选项符合题意；
故选D．
二、精心填一填（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要解答过程）
11．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 4：9 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= 3 ．
【考点】S1：比例的性质．
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：由等比性质，得k===3，
故答案为：3．
13．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 3 ，m的值是 ﹣4 ．
【考点】AB：根与系数的关系；A3：一元二次方程的解．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m，两个根的积是3，即可求解．
【解答】解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，
解得：m=﹣4，a=3．
故答案是：3，﹣4．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC= 1：2 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，进而得出△DEF∽△DCF，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△DCF，
∴，
∵点E是边AD的中点，
∴DE=AE=AD=BC，
∴．
故答案为：1：2．
15．已知线段AB=10，点C是线段AB上的黄金分割点（AC＞BC），则AC长是 6.18 （精确到0.01）．
【考点】S3：黄金分割．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则AC=AB，代入数据即可得出AC的值．
【解答】解：由于C为线段AB=10的黄金分割点，
且AC＞BC，AC为较长线段；
则AC=10×=5（﹣1）≈6.18．
故答案为6.18．
16．若代数式的值等于0，则x= 2 ．
【考点】63：分式的值为零的条件．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣5x+6=0，2x﹣6≠0，
由x2﹣5x+6=0，得x=2或x=3，
由2x﹣6≠0，得x≠3，
∴x=2，
故答案为2．
17．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则= 2 ．
【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式进行计算即可求解．
【解答】证明：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴=2．
故答案为：2．
18．如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 （，） ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先设点D的坐标是（m，），点E的坐标是（n，），应用待定系数法求出直线AB的解析式是多少；然后根据△BDE∽△BCA，可得∠BDE=∠BCA=90°，推得直线y=x与直线DE垂直，再根据点D、E关于直线y=x对称，推得mn=3；最后根据点D在直线AB上，求出点n的值是多少，即可判断出点E的坐标是多少．
【解答】解：如图1，
∵点D、E是反比例函数y=（x＞0）的图象上的点，
∴设点D的坐标是（m，），点E的坐标是（n，），
又∵∠BCA=90°，AC=BC=2，
∴C（n，0），B（n，2），A（n﹣2，0），
设直线AB的解析式是：y=ax+b，
则
解得
∴直线AB的解析式是：y=x+2﹣n．
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴直线y=x与直线DE垂直，
∴点D、E关于直线y=x对称，
∴=，
∴mn=3，或m+n=0（舍去），
又∵点D在直线AB上，
∴=m+2﹣n，mn=3，
整理，可得
2n2﹣2n﹣3=0，
解得n=或n=﹣（舍去），
∴点E的坐标是（，）．
故答案为：（，）．
三、解答题（本大题共10题，共84分）
19．解方程
（1）2（x+1）2=8
（2）x2+2x+1=8（配方法）
（3）2x2﹣3x﹣1=0 （公式法）
（4）64（3y﹣2）2=9（2y﹣3）2
（5）（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=0．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；A5：解一元二次方程﹣直接开平方法；A6：解一元二次方程﹣配方法；A7：解一元二次方程﹣公式法．
【分析】（1）方程两边同除以2，然后直接开平方即可解答本题；
（2）利用配方法进行解答即可；
（3）利用公式法进行解答即可；
（4）移项利用平方差公式进行解答即可；
（5）利用完全平方公式进行解答．
【解答】解：（1）2（x+1）2=8，
（x+1）2=4，
x+1=±2，
x=﹣1±2，
∴x1=1，x2=﹣3；
（2）x2+2x+1=8，
（x+1）2=8，
，
x=，
∴；
（3）2x2﹣3x﹣1=0，
a=2，b=﹣3，c=﹣1，
△=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17＞0，
，
∴；
（4）64（3y﹣2）2=9（2y﹣3）2
64（3y﹣2）2﹣9（2y﹣3）2=0，
[8（3y﹣2）+3（2y﹣3）][8（3y﹣2）﹣3（2y﹣3）]=0，
（30y﹣25）（18y﹣7）=0，
解得，；
（5）（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=0，
[（x﹣1）﹣2]2=0，
（x﹣3）2=0，
∴x﹣3=0，
得x1=x2=3．
20．2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）如果下调的百分率相同，求出2016年的房价，进而确定出100平方米的总房款，即可做出判断．
【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为x，
根据题意得：6500（1﹣x）2=5265，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），
则平均每年下调的百分率为10%；
（2）如果下调的百分率相同，2016年的房价为5265×（1﹣10%）=4738.5（元/米2），
则100平方米的住房总房款为100×4738.5=473850=47.385（万元），
∵20+30＞47.385，
∴张强的愿望可以实现．
21．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）求∠ACB的大小．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）利用垂直的定义得到一对直角相等，再由已知边成比例，利用两边成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；
（2）利用相似三角形对应角相等及同角的余角相等即可求出所求．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵=，
∴△ADC∽△CDB；
（2）解：∵△ADC∽△CDB，
∴∠A=∠BCD，∠ACD=∠B，
∵∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
则∠ACB=90°．
22．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得
x（25﹣2x+1）=80，
化简，得x2﹣13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8，
当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
23．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．
【解答】解：设购买了x件这种服装且多于10件，根据题意得出：
[80﹣2（x﹣10）]x=1200，
解得：x1=20，x2=30，
当x=20时，80﹣2（20﹣10）=60元＞50元，符合题意；
当x=30时，80﹣2（30﹣10）=40元＜50元，不合题意，舍去；
答：她购买了20件这种服装．
24．如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA、OB（OA＜0B）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且△ABC的面积为6，求∠ABC的度数．
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】先跟及三角形ABC的面积求出AB的值，再由根与系数的关系就可以求出m的值，从而求出方程的解，就可以得出OB的值，进而得出△OBC为等腰直角三角形就可以得出结论．
【解答】解：∵C（0，3），
∴CO=3．
∵△ABC的面积为6，
∴=6，
∴AB=4．
∵OA、OB（OA＜0B）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，
∴OA+OB=4m，
∴4m=4，
∴m=1．
∴一元二次方程为：x2﹣4x+3=0
∴x1=1，x2=3．
∵OA＜0B，
∴OA=1，OB=3．
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
答：∠ABC=45°．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴=，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴=．
∵AB=10，BC=12，
∴=，
∴BP=．
26．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：AB=|x2﹣x1|）
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；AA：根的判别式．
【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；
（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，
∵（m﹣1）2≥0，
∴△=（m﹣1）2+8＞0，
∴原方程有两个不等实数根；
（2）存在，
由题意知x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．
∵AB=|x1﹣x2|，
∴AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2
=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，
∴当m=1时，AB2有最小值8，
∴AB有最小值，即AB==2
27．如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（4，0），B（0，8），点C的坐标为（2，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P．
①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标．
②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）由于A（4，0）、B（0，8），利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）①可以设动点P （x，﹣2x+8），由此得到PE=x，PF=﹣2x+8，再利用矩形OEPF的面积为6即可求出点P的坐标；
②存在，分两种情况：第一种由CP∥OB得△ACP∽△AOB，由此即可求出P的坐标；第二种CP⊥AB，根据已知条件可以证明APC∽△AOB，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出PA，再过点P作PH⊥x轴，垂足为H，由此得到PH∥OB，进一步得到△APH∽△ABO，然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，如图1：
依题意，，
∴，
∴y=﹣2x+8；
（2）①设动点P （x，﹣2x+8），则PE=x，PF=﹣2x+8，
∴S▭OEPF=PE•PF=x（﹣2x+8）=6，
∴x1=1，x2=3；
经检验x1=1，x2=3都符合题意，
∴点P（1，6）或（3，2）；
②存在，分两种情况
第一种：CP∥OB，
∴△ACP∽△AOB，
而点C的坐标为（2，0），
∴点P（2，4 ）；
第二种CP⊥AB，
∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，
∴△APC∽△AOB，
∴，
∴，
∴AP=，
如图2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
∴PH∥OB，
∴△APH∽△ABO，
∴，
∴，
∴PH=，AH=，
∴OH=OA﹣AH=，
∴点P（，）．
∴点P的坐标为（2，4）或点P（，）．
28．【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】
（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC．若AD=2，AE=1，DF=6，则EG= 3 ， = 2 ．
（2）如图2，在△ABC 中，点D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG．以AD、DF、FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG）．
求证：∠M=∠N．
【深入探究】
上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：
（3）如图3，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A′B′C′．
满足：①△A′B′C′∽△ABC；②△A′B′C′的周长等于线段a的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤）
【考点】SO：相似形综合题；S4：平行线分线段成比例．
【分析】（1）只需利用基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”即可解决问题；
（2）要证∠M=∠N，只需证△AMD∽△ANE，只需证==，由于DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，只需证==，根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”即可解决问题；
（3）借鉴图2，可进行以下操作：①延长BA到D，使得AD=AC，延长AB到E，使得BE=BC；②过点D画一条线段DF，使得DF=a，连接EF；③过点B作∠DBB′=∠DEF，交DF于点B′，过点A作∠DAA′=∠DEF，交DF于点A′，即可得到AA′∥BB′∥EF；④以点A′为圆心，A′D为半径画弧，以点B′为圆心，B′F为半径画弧，两弧交于点C′；⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求作．
【解答】解：（1）如图1，
∵DE∥FG∥BC，
∴，，
∴==．
∵AD=2，AE=1，DF=6，
∴==，
∴EG=3， =2．
故答案分别为：3、2；
（2）如图2，
∵DE∥FG∥BC，
∴，，
∴==．
∵DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，
∴==，
∴△AMD∽△ANE，
∴∠M=∠N；
（3）步骤：
①延长BA到D，使得AD=AC，延长AB到E，使得BE=BC；
②过点D画一条线段DF，使得DF=a，连接EF；
③过点B作∠DBB′=∠DEF，交DF于点B′，过点A作∠DAA′=∠DEF，交DF于点A′；
④以点A′为圆心，A′D为半径画弧，以点B′为圆心，B′F为半径画弧，两弧交于点C′；
⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求作．
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