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    苏科版数学八年级上册月考模拟试卷03(含答案)

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    这是一份苏科版数学八年级上册月考模拟试卷03(含答案),共31页。试卷主要包含了细心选一选,精心填一填,解答题等内容,欢迎下载使用。

    苏科版数学八年级上册月考模拟试卷
    一、细心选一选
    1.若x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,则x1+x2的值是(  )
    A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3
    2.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为(  )
    A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x﹣4)2=17 D.(x﹣4)2=15
    3.如图,无法保证△ADE与△ABC相似的条件是(  )

    A.∠1=∠C B.∠A=∠C C.∠2=∠B D.
    4.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(  )

    A. B. C. D.
    5.已知实数a、b满足(a2﹣b2)2﹣2(a2﹣b2)=8,则a2﹣b2的值为(  )
    A.﹣2 B.4 C.4或﹣2 D.﹣4或2
    6.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根,则该三角形的周长为(  )
    A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不对
    7.若=,则的值为(  )
    A.1 B. C. D.
    8.关于x的一元二次方程 kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根,则k 的取值范围是(  )
    A.k>﹣1 B.k≥﹣1 C.k≠0 D.k>﹣1且k≠0
    9.如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是(  )

    A. B. C. D.
    10.有两个一元二次方程:M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0.其中a+c≠0,以下列四个结论中,错误的是(  )
    A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根
    B.如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同
    C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根
    D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1
    二、精心填一填
    11.若两个相似三角形的周长比为2:3,则它们的面积比是   .
    12.如果===k(b+d+f≠0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k=   .
    13.已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是   ,m的值是   .
    14.如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF:FC=   .

    15.已知线段AB=10,点C是线段AB上的黄金分割点(AC>BC),则AC长是   (精确到0.01).
    16.若代数式的值等于0,则x=   .
    17.如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则=   .

    18.如图,等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E.连结DE,当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为   .

    三、解答题
    19.解方程
    (1)2(x+1)2=8 (2)x2+2x+1=8(配方法)



    (3)2x2﹣3x﹣1=0 (公式法) (4)64(3y﹣2)2=9(2y﹣3)2



    (5)(x﹣1)2﹣4(x﹣1)+4=0.







    20.2013年,东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售,因为楼盘滞销,房地产开发商为了加快资金周转,决定进行降价促销,经过连续两年下调后,2015年的均价为每平方米5265元.
    (1)求平均每年下调的百分率;
    (2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率,张强准备购买一套100平方米的住房,他持有现金20万元,可以在银行贷款30万元,张强的愿望能否实现?(房价每平方米按照均价计算)





    21.如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且=
    (1)求证:△ADC∽△CDB;
    (2)求∠ACB的大小.













    22.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2?





    23.小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过10件,单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元.按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1200元.请问她购买了多少件这种服装?





    24.如图,点A为x轴负半轴上一点,点B为x轴正半轴上一点,OA、OB(OA<0B)的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根,C(0,3),且△ABC的面积为6,求∠ABC的度数.




    25.如图,在△ABC中,AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点,且∠APD=∠B.
    (1)求证:AC•CD=CP•BP;
    (2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.






    26.已知关于x的一元二次方程:x2﹣(m﹣3)x﹣m=0.
    (1)试判断原方程根的情况;
    (2)若抛物线y=x2﹣(m﹣3)x﹣m与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则A,B两点间的距离是否存在最大或最小值?若存在,求出这个值;若不存在,请说明理由.
    (友情提示:AB=|x2﹣x1|)












    27.如图,直线AB分别与两坐标轴交于点A(4,0),B(0,8),点C的坐标为(2,0).
    (1)求直线AB的解析式;
    (2)在线段AB上有一动点P.
    ①过点P分别作x,y轴的垂线,垂足分别为点E,F,若矩形OEPF的面积为6,求点P的坐标.
    ②连结CP,是否存在点P,使△ACP与△AOB相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.


    28.【回归课本】我们曾学习过一个基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
    【初步体验】
    (1)如图1,在△ABC中,点D、F在AB上,E、G在AC上,DE∥FC∥BC.若AD=2,AE=1,DF=6,则EG=   , =   .
    (2)如图2,在△ABC 中,点D、F在AB上,E、G在AC上,且DE∥BC∥FG.以AD、DF、FB为边构造△ADM(即AM=BF,MD=DF);以AE、EG、GC为边构造△AEN(即AN=GC,NE=EG).
    求证:∠M=∠N.
    【深入探究】
    上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题:
    (3)如图3,已知△ABC和线段a,请用直尺与圆规作△A′B′C′.
    满足:①△A′B′C′∽△ABC;②△A′B′C′的周长等于线段a的长度.(保留作图痕迹,并写出作图步骤)

     
    参考答案
    一、细心选一选(本大题共10小题,每小题3分,共30分.)
    1.若x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,则x1+x2的值是(  )
    A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3
    【考点】AB:根与系数的关系.
    【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣可以直接求得x1+x2的值.
    【解答】解:∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的一次项系数是a=1,二次项系数b=2,
    ∴由韦达定理,得
    x1+x2=2.
    故选A.
     
    2.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为(  )
    A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x﹣4)2=17 D.(x﹣4)2=15
    【考点】A6:解一元二次方程﹣配方法.
    【分析】常数项移到方程的右边,再在两边配上一次项系数一半的平方,写成完全平方式即可得.
    【解答】解:∵x2﹣8x=1,
    ∴x2﹣8x+16=1+16,即(x﹣4)2=17,
    故选:C.
     
    3.如图,无法保证△ADE与△ABC相似的条件是(  )

    A.∠1=∠C B.∠A=∠C C.∠2=∠B D.
    【考点】S8:相似三角形的判定.
    【分析】本题中已知∠A是公共角,应用两三角形相似的判定定理,即可作出判断.
    【解答】解:由图得:∠A=∠A,
    ∴当∠B=∠2或∠C=∠1或AE:AB=AD:AC时,△ABC与△ADE相似;
    也可AE:AD=AC:AB.
    B选项中∠A和∠C不是成比例的两边的夹角.
    故选:B.
     
    4.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(  )

    A. B. C. D.
    【考点】S8:相似三角形的判定.
    【分析】根据网格中的数据求出AB,AC,BC的长,求出三边之比,利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可.
    【解答】解:根据题意得:AB==,AC=,BC=2,
    ∴AC:BC:AB=:2: =1::,
    A、三边之比为1::2,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似;
    B、三边之比为::3,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似;
    C、三边之比为1::,图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似;
    D、三边之比为2::,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似.
    故选C.
     
    5.已知实数a、b满足(a2﹣b2)2﹣2(a2﹣b2)=8,则a2﹣b2的值为(  )
    A.﹣2 B.4 C.4或﹣2 D.﹣4或2
    【考点】A9:换元法解一元二次方程.
    【分析】设y=a2﹣b2,原式化为关于y的一元二次方程,求出方程的解得到y的值,即为a2﹣b2的值.
    【解答】解:设y=a2﹣b2,原式化为y2﹣2y﹣8=0,即(y﹣4)(y+2)=0,
    可得y﹣4=0或y+2=0,
    解得:y1=4,y2=﹣2,
    ∴a2﹣b2=4或﹣2.
    故选C.
     
    6.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根,则该三角形的周长为(  )
    A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不对
    【考点】A8:解一元二次方程﹣因式分解法;K6:三角形三边关系.
    【分析】易得方程的两根,那么根据三角形的三边关系,排除不合题意的边,进而求得三角形周长即可.
    【解答】解:解方程x2﹣12x+35=0得:x=5或x=7.
    当x=7时,3+4=7,不能组成三角形;
    当x=5时,3+4>5,三边能够组成三角形.
    ∴该三角形的周长为3+4+5=12,故选B.
     
    7.若=,则的值为(  )
    A.1 B. C. D.
    【考点】S1:比例的性质.
    【分析】根据合分比性质求解.
    【解答】解:∵=,
    ∴==.
    故选D.
     
    8.关于x的一元二次方程 kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根,则k 的取值范围是(  )
    A.k>﹣1 B.k≥﹣1 C.k≠0 D.k>﹣1且k≠0
    【考点】AA:根的判别式.
    【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=22﹣4k×(﹣1)>0,然后解两个不等式求出它们的公共部分即可.
    【解答】解:根据题意得k≠0且△=22﹣4k×(﹣1)>0,
    所以k>﹣1且k≠0.
    故选D.
     
    9.如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是(  )

    A. B. C. D.
    【考点】S9:相似三角形的判定与性质.
    【分析】易证△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,根据相似三角形的性质可得=, =,从而可得+=+=1.然后把AB=1,CD=3代入即可求出EF的值.
    【解答】解:∵AB、CD、EF都与BD垂直,
    ∴AB∥CD∥EF,
    ∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,
    ∴=, =,
    ∴+=+==1.
    ∵AB=1,CD=3,
    ∴+=1,
    ∴EF=.
    故选C.
     
    10.有两个一元二次方程:M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0.其中a+c≠0,以下列四个结论中,错误的是(  )
    A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根
    B.如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同
    C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根
    D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1
    【考点】AA:根的判别式.
    【分析】求出方程M:ax2+bx+c=0的判别式△1=b2﹣4ac,方程N:cx2+bx+a=0的判别式△2=b2﹣4ac,再根据判别式的意义、根与系数的关系以及方程的解的意义求解即可.
    【解答】解:A、如果方程M有两个不相等的实数根,那么△1=b2﹣4ac>0,所以△2=b2﹣4ac>0,所以方程N也有两个不相等的实数,结论正确,故本选项不符合题意;
    B、如果方程M有两根符号相同,那么两根之积>0,所以>0,即方程N的两根之积>0,所以方程N的两根符号也相同,结论正确,故本选项不符合题意;
    C、如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0,所以a+b+c=0,所以是方程N的一个根,结论正确,故本选项不符合题意;
    D、如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2+bx+c=cx2+bx+a,整理得(a﹣c)x2=a﹣c,当a=c时,x为任意数;当a≠c时,x=±1.结论错误,故本选项符合题意;
    故选D.
     
    二、精心填一填(本大题共8小题,每小题2分,共16分.不需要解答过程)
    11.若两个相似三角形的周长比为2:3,则它们的面积比是 4:9 .
    【考点】S7:相似三角形的性质.
    【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比,再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可.
    【解答】解:∵两个相似三角形的周长比为2:3,
    ∴这两个相似三角形的相似比为2:3,
    ∴它们的面积比是4:9.
    故答案为:4:9.
     
    12.如果===k(b+d+f≠0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k= 3 .
    【考点】S1:比例的性质.
    【分析】根据等比性质,可得答案.
    【解答】解:由等比性质,得k===3,
    故答案为:3.
     
    13.已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是 3 ,m的值是 ﹣4 .
    【考点】AB:根与系数的关系;A3:一元二次方程的解.
    【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系,两根的和是﹣m,两个根的积是3,即可求解.
    【解答】解:设方程的另一个解是a,则1+a=﹣m,1×a=3,
    解得:m=﹣4,a=3.
    故答案是:3,﹣4.
     
    14.如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF:FC= 1:2 .

    【考点】S9:相似三角形的判定与性质;L5:平行四边形的性质.
    【分析】利用平行四边形的性质得出AD∥BC,AD=BC,进而得出△DEF∽△DCF,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.
    【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD∥BC,AD=BC,
    ∴△DEF∽△DCF,
    ∴,
    ∵点E是边AD的中点,
    ∴DE=AE=AD=BC,
    ∴.
    故答案为:1:2.
     
    15.已知线段AB=10,点C是线段AB上的黄金分割点(AC>BC),则AC长是 6.18 (精确到0.01).
    【考点】S3:黄金分割.
    【分析】根据黄金分割点的定义,知AC为较长线段;则AC=AB,代入数据即可得出AC的值.
    【解答】解:由于C为线段AB=10的黄金分割点,
    且AC>BC,AC为较长线段;
    则AC=10×=5(﹣1)≈6.18.
    故答案为6.18.
     
    16.若代数式的值等于0,则x= 2 .
    【考点】63:分式的值为零的条件.
    【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值.
    【解答】解:由分式的值为零的条件得x2﹣5x+6=0,2x﹣6≠0,
    由x2﹣5x+6=0,得x=2或x=3,
    由2x﹣6≠0,得x≠3,
    ∴x=2,
    故答案为2.
     
    17.如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则= 2 .

    【考点】K5:三角形的重心;S9:相似三角形的判定与性质.
    【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式进行计算即可求解.
    【解答】证明:∵△ABC的中线BD、CE相交于点O,
    ∴点O是△ABC的重心,
    ∴=2.
    故答案为:2.
     
    18.如图,等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E.连结DE,当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为 (,) .

    【考点】S9:相似三角形的判定与性质;G6:反比例函数图象上点的坐标特征.
    【分析】首先设点D的坐标是(m,),点E的坐标是(n,),应用待定系数法求出直线AB的解析式是多少;然后根据△BDE∽△BCA,可得∠BDE=∠BCA=90°,推得直线y=x与直线DE垂直,再根据点D、E关于直线y=x对称,推得mn=3;最后根据点D在直线AB上,求出点n的值是多少,即可判断出点E的坐标是多少.
    【解答】解:如图1,

    ∵点D、E是反比例函数y=(x>0)的图象上的点,
    ∴设点D的坐标是(m,),点E的坐标是(n,),
    又∵∠BCA=90°,AC=BC=2,
    ∴C(n,0),B(n,2),A(n﹣2,0),
    设直线AB的解析式是:y=ax+b,

    解得
    ∴直线AB的解析式是:y=x+2﹣n.
    又∵△BDE∽△BCA,
    ∴∠BDE=∠BCA=90°,
    ∴直线y=x与直线DE垂直,
    ∴点D、E关于直线y=x对称,
    ∴=,
    ∴mn=3,或m+n=0(舍去),
    又∵点D在直线AB上,
    ∴=m+2﹣n,mn=3,
    整理,可得
    2n2﹣2n﹣3=0,
    解得n=或n=﹣(舍去),
    ∴点E的坐标是(,).
    故答案为:(,).
     
    三、解答题(本大题共10题,共84分)
    19.解方程
    (1)2(x+1)2=8
    (2)x2+2x+1=8(配方法)
    (3)2x2﹣3x﹣1=0 (公式法)
    (4)64(3y﹣2)2=9(2y﹣3)2
    (5)(x﹣1)2﹣4(x﹣1)+4=0.
    【考点】A8:解一元二次方程﹣因式分解法;A5:解一元二次方程﹣直接开平方法;A6:解一元二次方程﹣配方法;A7:解一元二次方程﹣公式法.
    【分析】(1)方程两边同除以2,然后直接开平方即可解答本题;
    (2)利用配方法进行解答即可;
    (3)利用公式法进行解答即可;
    (4)移项利用平方差公式进行解答即可;
    (5)利用完全平方公式进行解答.
    【解答】解:(1)2(x+1)2=8,
    (x+1)2=4,
    x+1=±2,
    x=﹣1±2,
    ∴x1=1,x2=﹣3;
    (2)x2+2x+1=8,
    (x+1)2=8,

    x=,
    ∴;
    (3)2x2﹣3x﹣1=0,
    a=2,b=﹣3,c=﹣1,
    △=(﹣3)2﹣4×2×(﹣1)=17>0,

    ∴;
    (4)64(3y﹣2)2=9(2y﹣3)2
    64(3y﹣2)2﹣9(2y﹣3)2=0,
    [8(3y﹣2)+3(2y﹣3)][8(3y﹣2)﹣3(2y﹣3)]=0,
    (30y﹣25)(18y﹣7)=0,
    解得,;
    (5)(x﹣1)2﹣4(x﹣1)+4=0,
    [(x﹣1)﹣2]2=0,
    (x﹣3)2=0,
    ∴x﹣3=0,
    得x1=x2=3.
     
    20.2013年,东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售,因为楼盘滞销,房地产开发商为了加快资金周转,决定进行降价促销,经过连续两年下调后,2015年的均价为每平方米5265元.
    (1)求平均每年下调的百分率;
    (2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率,张强准备购买一套100平方米的住房,他持有现金20万元,可以在银行贷款30万元,张强的愿望能否实现?(房价每平方米按照均价计算)
    【考点】AD:一元二次方程的应用.
    【分析】(1)设平均每年下调的百分率为x,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果;
    (2)如果下调的百分率相同,求出2016年的房价,进而确定出100平方米的总房款,即可做出判断.
    【解答】解:(1)设平均每年下调的百分率为x,
    根据题意得:6500(1﹣x)2=5265,
    解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),
    则平均每年下调的百分率为10%;
    (2)如果下调的百分率相同,2016年的房价为5265×(1﹣10%)=4738.5(元/米2),
    则100平方米的住房总房款为100×4738.5=473850=47.385(万元),
    ∵20+30>47.385,
    ∴张强的愿望可以实现.
     
    21.如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且=
    (1)求证:△ADC∽△CDB;
    (2)求∠ACB的大小.

    【考点】S9:相似三角形的判定与性质.
    【分析】(1)利用垂直的定义得到一对直角相等,再由已知边成比例,利用两边成比例且夹角相等的三角形相似即可得证;
    (2)利用相似三角形对应角相等及同角的余角相等即可求出所求.
    【解答】(1)证明:∵CD⊥AB,
    ∴∠ADC=∠BDC=90°,
    ∵=,
    ∴△ADC∽△CDB;
    (2)解:∵△ADC∽△CDB,
    ∴∠A=∠BCD,∠ACD=∠B,
    ∵∠A+∠ACD=90°,
    ∴∠ACD+∠BCD=90°,
    则∠ACB=90°.
     
    22.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2?

    【考点】AD:一元二次方程的应用.
    【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25﹣2x+1)m.根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了.
    【解答】解:设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25﹣2x+1)m,由题意得
    x(25﹣2x+1)=80,
    化简,得x2﹣13x+40=0,
    解得:x1=5,x2=8,
    当x=5时,26﹣2x=16>12(舍去),当x=8时,26﹣2x=10<12,
    答:所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m.
     
    23.小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过10件,单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元.按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1200元.请问她购买了多少件这种服装?
    【考点】AD:一元二次方程的应用.
    【分析】根据一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,表示出每件服装的单价,进而得出等式方程求出即可.
    【解答】解:设购买了x件这种服装且多于10件,根据题意得出:
    [80﹣2(x﹣10)]x=1200,
    解得:x1=20,x2=30,
    当x=20时,80﹣2(20﹣10)=60元>50元,符合题意;
    当x=30时,80﹣2(30﹣10)=40元<50元,不合题意,舍去;
    答:她购买了20件这种服装.
     
    24.如图,点A为x轴负半轴上一点,点B为x轴正半轴上一点,OA、OB(OA<0B)的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根,C(0,3),且△ABC的面积为6,求∠ABC的度数.

    【考点】AD:一元二次方程的应用.
    【分析】先跟及三角形ABC的面积求出AB的值,再由根与系数的关系就可以求出m的值,从而求出方程的解,就可以得出OB的值,进而得出△OBC为等腰直角三角形就可以得出结论.
    【解答】解:∵C(0,3),
    ∴CO=3.
    ∵△ABC的面积为6,
    ∴=6,
    ∴AB=4.
    ∵OA、OB(OA<0B)的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根,
    ∴OA+OB=4m,
    ∴4m=4,
    ∴m=1.
    ∴一元二次方程为:x2﹣4x+3=0
    ∴x1=1,x2=3.
    ∵OA<0B,
    ∴OA=1,OB=3.
    ∴OB=OC,
    ∴△OBC是等腰直角三角形,
    ∴∠ABC=45°.
    答:∠ABC=45°.
     
    25.如图,在△ABC中,AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点,且∠APD=∠B.
    (1)求证:AC•CD=CP•BP;
    (2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.

    【考点】S9:相似三角形的判定与性质.
    【分析】(1)易证∠APD=∠B=∠C,从而可证到△ABP∽△PCD,即可得到=,即AB•CD=CP•BP,由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP;
    (2)由PD∥AB可得∠APD=∠BAP,即可得到∠BAP=∠C,从而可证到△BAP∽△BCA,然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长.
    【解答】解:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
    ∵∠APD=∠B,∴∠APD=∠B=∠C.
    ∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC,
    ∴∠BAP=∠DPC,
    ∴△ABP∽△PCD,
    ∴=,
    ∴AB•CD=CP•BP.
    ∵AB=AC,
    ∴AC•CD=CP•BP;

    (2)∵PD∥AB,∴∠APD=∠BAP.
    ∵∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C.
    ∵∠B=∠B,
    ∴△BAP∽△BCA,
    ∴=.
    ∵AB=10,BC=12,
    ∴=,
    ∴BP=.
     
    26.已知关于x的一元二次方程:x2﹣(m﹣3)x﹣m=0.
    (1)试判断原方程根的情况;
    (2)若抛物线y=x2﹣(m﹣3)x﹣m与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则A,B两点间的距离是否存在最大或最小值?若存在,求出这个值;若不存在,请说明理由.
    (友情提示:AB=|x2﹣x1|)
    【考点】HA:抛物线与x轴的交点;AA:根的判别式.
    【分析】(1)根据根的判别式,可得答案;
    (2)根据根与系数的关系,可得A、B间的距离,根据二次函数的性质,可得答案.
    【解答】解:(1)△=[﹣(m﹣3)]2﹣4(﹣m)=m2﹣2m+9=(m﹣1)2+8,
    ∵(m﹣1)2≥0,
    ∴△=(m﹣1)2+8>0,
    ∴原方程有两个不等实数根;
    (2)存在,
    由题意知x1,x2是原方程的两根,
    ∴x1+x2=m﹣3,x1•x2=﹣m.
    ∵AB=|x1﹣x2|,
    ∴AB2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2
    =(m﹣3)2﹣4(﹣m)=(m﹣1)2+8,
    ∴当m=1时,AB2有最小值8,
    ∴AB有最小值,即AB==2
     
    27.如图,直线AB分别与两坐标轴交于点A(4,0),B(0,8),点C的坐标为(2,0).
    (1)求直线AB的解析式;
    (2)在线段AB上有一动点P.
    ①过点P分别作x,y轴的垂线,垂足分别为点E,F,若矩形OEPF的面积为6,求点P的坐标.
    ②连结CP,是否存在点P,使△ACP与△AOB相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    【考点】FI:一次函数综合题.
    【分析】(1)由于A(4,0)、B(0,8),利用待定系数法即可求出直线AB的解析式;
    (2)①可以设动点P (x,﹣2x+8),由此得到PE=x,PF=﹣2x+8,再利用矩形OEPF的面积为6即可求出点P的坐标;
    ②存在,分两种情况:第一种由CP∥OB得△ACP∽△AOB,由此即可求出P的坐标;第二种CP⊥AB,根据已知条件可以证明APC∽△AOB,然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出PA,再过点P作PH⊥x轴,垂足为H,由此得到PH∥OB,进一步得到△APH∽△ABO,然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P的坐标.
    【解答】解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,如图1:

    依题意,,
    ∴,
    ∴y=﹣2x+8;
    (2)①设动点P (x,﹣2x+8),则PE=x,PF=﹣2x+8,
    ∴S▭OEPF=PE•PF=x(﹣2x+8)=6,
    ∴x1=1,x2=3;
    经检验x1=1,x2=3都符合题意,
    ∴点P(1,6)或(3,2);
    ②存在,分两种情况
    第一种:CP∥OB,
    ∴△ACP∽△AOB,
    而点C的坐标为(2,0),
    ∴点P(2,4 );
    第二种CP⊥AB,
    ∵∠APC=∠AOB=90°,∠PAC=∠BAO,
    ∴△APC∽△AOB,
    ∴,
    ∴,
    ∴AP=,
    如图2,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,

    ∴PH∥OB,
    ∴△APH∽△ABO,
    ∴,
    ∴,
    ∴PH=,AH=,
    ∴OH=OA﹣AH=,
    ∴点P(,).
    ∴点P的坐标为(2,4)或点P(,).

     
    28.【回归课本】我们曾学习过一个基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
    【初步体验】
    (1)如图1,在△ABC中,点D、F在AB上,E、G在AC上,DE∥FC∥BC.若AD=2,AE=1,DF=6,则EG= 3 , = 2 .
    (2)如图2,在△ABC 中,点D、F在AB上,E、G在AC上,且DE∥BC∥FG.以AD、DF、FB为边构造△ADM(即AM=BF,MD=DF);以AE、EG、GC为边构造△AEN(即AN=GC,NE=EG).
    求证:∠M=∠N.
    【深入探究】
    上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题:
    (3)如图3,已知△ABC和线段a,请用直尺与圆规作△A′B′C′.
    满足:①△A′B′C′∽△ABC;②△A′B′C′的周长等于线段a的长度.(保留作图痕迹,并写出作图步骤)

    【考点】SO:相似形综合题;S4:平行线分线段成比例.
    【分析】(1)只需利用基本事实“两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例”即可解决问题;
    (2)要证∠M=∠N,只需证△AMD∽△ANE,只需证==,由于DF=DM,EG=EN,BF=AM,GC=AN,只需证==,根据“两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例”即可解决问题;
    (3)借鉴图2,可进行以下操作:①延长BA到D,使得AD=AC,延长AB到E,使得BE=BC;②过点D画一条线段DF,使得DF=a,连接EF;③过点B作∠DBB′=∠DEF,交DF于点B′,过点A作∠DAA′=∠DEF,交DF于点A′,即可得到AA′∥BB′∥EF;④以点A′为圆心,A′D为半径画弧,以点B′为圆心,B′F为半径画弧,两弧交于点C′;⑤连接A′C′,B′C′,如图4,△A′B′C′即为所求作.
    【解答】解:(1)如图1,

    ∵DE∥FG∥BC,
    ∴,,
    ∴==.
    ∵AD=2,AE=1,DF=6,
    ∴==,
    ∴EG=3, =2.
    故答案分别为:3、2;

    (2)如图2,

    ∵DE∥FG∥BC,
    ∴,,
    ∴==.
    ∵DF=DM,EG=EN,BF=AM,GC=AN,
    ∴==,
    ∴△AMD∽△ANE,
    ∴∠M=∠N;

    (3)步骤:
    ①延长BA到D,使得AD=AC,延长AB到E,使得BE=BC;
    ②过点D画一条线段DF,使得DF=a,连接EF;
    ③过点B作∠DBB′=∠DEF,交DF于点B′,过点A作∠DAA′=∠DEF,交DF于点A′;
    ④以点A′为圆心,A′D为半径画弧,以点B′为圆心,B′F为半径画弧,两弧交于点C′;
    ⑤连接A′C′,B′C′,如图4,△A′B′C′即为所求作.

     
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