辽宁省鞍山市台安县2021-2022学年八年级上学期素质评价数学【试卷+答案】（10月份）

这是一份辽宁省鞍山市台安县2021-2022学年八年级上学期素质评价数学【试卷+答案】（10月份），共26页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4B．5，6，12C．5，7，2D．6，8，10
2．如图所示，△ABC中AB边上的高线是（ ）
A．线段DAB．线段CAC．线段CDD．线段BD
3．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．7B．9C．9或12D．12
4．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．85°B．75°C．65°D．60°
5．只用一种正六边形地砖密铺地板，则能围绕在正六边形的一个顶点处的正六边形地砖有（ ）
A．3块B．4块C．5块D．6块
6．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
7．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HLB．ASAC．SASD．SSS
8．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．已知一个n边形的内角和是900°，则n＝ ．
10．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是 ．
11．如图，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 ．
12．若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是 三角形．
13．如图，BC∥EF，AC∥DF，若使△ABC≌△DEF，则需添加一个条件是 ．
14．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
15．如图，已知△ABC的面积为16，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是 ．
16．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
三、解答题（每小题6分，共18分）
17．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．
（1）求这个多边形是几边形；
（2）求这个多边形的内角和．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．
（1）求AB、AC的长．
（2）求BC边的取值范围．
19．如图，在小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'．
（1）补全△A'B'C'；
（2）画出BC边上的中线AD；
（3）画出AC边上的高线BE；
（4）求△ABD的面积．
四、解答题（每小题7分，共14分）
20．如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC．
21．如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B．
（1）求证△AFB≌△DFE；
（2）若AB＝9，DE＝3CE，求CD的长．
五、
22．已知：如图，∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动（不与点O重合），AC平分∠MAB，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点D．
（1）当∠ABO＝70°时、∠D的度数是多少？
（2）随着点A、B的移动，试问∠D的大小是否变化？请说出你的理由．
六、
23．如图，四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠BCD＝150°，CB＝CD，M，N为AB、AD上的两个动点，且∠MCN＝75°．求证：MN＝BM+DN．
七、
24．如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系 ．
八、
25．如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．
（1）探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4B．5，6，12C．5，7，2D．6，8，10
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
解：根据三角形的三边关系，得
A、1+3＝4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、5+6＜12，不能组成三角形，故此选项不合题意；
C、2+5＝7，不能组成三角形，故此选项不合题意；
D、6+8＞10，能组成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．如图所示，△ABC中AB边上的高线是（ ）
A．线段DAB．线段CAC．线段CDD．线段BD
【分析】直接利用高线的概念（从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高）得出答案．
解：如图，∵CD⊥BD于D，
∴△ABC中AB边上的高线是线段CD．
故选：C．
3．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．7B．9C．9或12D．12
【分析】根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分类讨论求解．
解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2＝12．
故选：D．
4．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．85°B．75°C．65°D．60°
【分析】利用三角形外角的性质解答即可．
解：如图所示，
∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，
故选：B．
5．只用一种正六边形地砖密铺地板，则能围绕在正六边形的一个顶点处的正六边形地砖有（ ）
A．3块B．4块C．5块D．6块
【分析】正六边形的内角和为120°，看围绕一点拼在一起的正六边形地砖的内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
解：因为正六边形的内角为120°，
所以360°÷120°＝3，
即每一个顶点周围的正六边形的个数为3．
故选：A．
6．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
7．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HLB．ASAC．SASD．SSS
【分析】由“HL”可证Rt△ABD和Rt△CDB．
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：A．
8．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．已知一个n边形的内角和是900°，则n＝ 7 ．
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）180°列出关于n的方程，解方程即可求出边数n的值．
解：这个多边形的边数是n，
则：（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故答案为：7．
10．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是 80° ．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠C，再根据平行线的性质求出∠AED即可．
解：∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠C＝80°，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝80°，
故答案为：80°．
11．如图，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 100° ．
【分析】根据三角形的外角性质求出∠AEB，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
解：∵∠AEB是△ACE的一个外角，
∴∠AEB＝∠A+∠C＝20°+50°＝70°，
∵∠ADB是△DEB的一个外角，
∴∠ADB＝∠AEB+∠B＝70°+30°＝100°，
故答案为：100°．
12．若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是 直角 三角形．
【分析】根据三角形的高的概念，结合已知条件，即可得出答案．
解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是直角三角形．
故答案为直角．
13．如图，BC∥EF，AC∥DF，若使△ABC≌△DEF，则需添加一个条件是 AB＝DE或BC＝EF或AC＝DF或AD＝BE（只需添加一个即可） ．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A＝∠EDF，∠ABC＝∠E，故添加AB＝DE、BC＝EF或AC＝DF根据ASA、AAS即可解题．
解：∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠E，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
同理，BC＝EF或AC＝DF也可证△ABC≌△DEF．
故答案为：AB＝DE或BC＝EF或AC＝DF或AD＝BE（只需添加一个即可）．
14．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ 55° ．
【分析】由图示知：∠DFC+∠AFD＝180°，则∠DFC＝35°．通过全等三角形Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL）的对应角相等推知∠BDE＝∠CFD．
解：如图，∵∠DFC+∠AFD＝180°，∠AFD＝145°，
∴∠CFD＝35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED＝∠CDF＝90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠BDE＝∠CFD＝35°，
∴∠EDF+∠BDE＝∠EDF+∠CFD＝90°，
∴∠EDF＝55°．
故答案是：55°．
15．如图，已知△ABC的面积为16，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是 8 ．
【分析】证明△APB≌△DPB，根据全等三角形的性质得到AP＝PD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
解：延长AP交BC于D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠DPB＝90°，
在△APB和△DPB中，
，
∴△APB≌△DPB（ASA），
∴AP＝PD，
∴S△APB＝S△DPB，S△APC＝S△DPC，
∴△BPC的面积＝×△ABC的面积＝8，
故答案为：8．
16．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 1或1.5 cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【分析】设点Q的运动速度是xcm/s，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，②AP＝BQ，AC＝BP，列出方程，求出方程的解即可．
解：设点Q的运动速度是xcm/s，
∵∠CAB＝∠DBA，
∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：
①AP＝BP，AC＝BQ，
则1×t＝4﹣1×t，
解得：t＝2，
则3＝2x，
解得：x＝1.5；
②AP＝BQ，AC＝BP，
则1×t＝tx，4﹣1×t＝3，
解得：t＝1，x＝1，
故答案为：1或1.5．
三、解答题（每小题6分，共18分）
17．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．
（1）求这个多边形是几边形；
（2）求这个多边形的内角和．
【分析】（1）设内角为x，根据多边形的内角与外角的关系列出方程，解方程求出x
（2）根据多边形的内角和公式计算即可．
解：（1）设多边形的每一个内角为x，则每一个外角为 x，
由题意得，x+x＝180°，
解得，x＝120°，x＝60°，
这个多边形的边数为：＝6，
答：这个多边形是六边形；
（2）由（1）知，该多边形是六边形，
∴内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
答：这个多边形的内角和为720°．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．
（1）求AB、AC的长．
（2）求BC边的取值范围．
【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
（2）根据三角形三边关系解答即可．
解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，
即AB﹣AC＝2①，
又AB+AC＝10②，
①+②得．2AB＝12，
解得AB＝6，
②﹣①得，2AC＝8，
解得AC＝4，
∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝4；
（2）∵AB＝6，AC＝4，
∴2＜BC＜10．
19．如图，在小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'．
（1）补全△A'B'C'；
（2）画出BC边上的中线AD；
（3）画出AC边上的高线BE；
（4）求△ABD的面积．
【分析】（1）利用点B和B′的位置确定平移的方向与距离，然后画出A、C的定义点即可；
（2）利用网格特点找出BC的中点D得到AD即可得到结论；
（3）取格点F，连接BF交AC的延长线于E，则BE⊥AC；
（4）根据三角形面积公式计算．
解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）如图，AD为所作；
（3）BE为所作；
（4）△ABD的面积＝×2×4＝4．
四、解答题（每小题7分，共14分）
20．如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EAB，再根据角的和差关系即可求解；
（2）根据ASA可证△ADE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】解（1）∵AB∥DE，∠E＝40°，
∴∠EAB＝40°，
∵∠DAB＝70°，
∴∠DAE＝30°；
（2）证明：在△ADE与△BCA中，
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD＝BC．
21．如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B．
（1）求证△AFB≌△DFE；
（2）若AB＝9，DE＝3CE，求CD的长．
【分析】（1）由AAS可证△AFB≌△DFE；
（2）求出CE和ED长即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠DEF，∠BAF＝∠D，
∵F为AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AFB和△DFE中，
，
∴△AFB≌△DFE（AAS），
（2）∵△AFB≌△DFE，
∴AB＝DE＝9，
∵DE＝3CE，
∴CE＝3．
∴CD＝CE+DE＝3+9＝12．
五、
22．已知：如图，∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动（不与点O重合），AC平分∠MAB，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点D．
（1）当∠ABO＝70°时、∠D的度数是多少？
（2）随着点A、B的移动，试问∠D的大小是否变化？请说出你的理由．
【分析】（1）利用三角形的外角性质可求出∠MAB的度数，由AC平分∠MAB，BD平分∠ABO，利用角平分线的定义可求出∠CAB和∠ABD的度数，再利用三角形的外角性质可求出∠D的度数；
（2）利用三角形的外角性质及角平分线的定义可用∠ABO表示出∠CAB和∠ABD的度数，再利用三角形的外角性质可求出∠D的度数为固定值，进而可得出∠D的大小不发生变化．
解：（1）∵∠MON＝90°，∠ABO＝70°，
∴∠MAB＝∠AOB+∠ABO＝90°+70°＝160°．
∵AC平分∠MAB，
∴∠CAB＝∠MAB＝80°．
∵BD平分∠ABO，
∴∠ABD＝∠ABO＝35°．
又∵∠CAB＝∠ABD+∠D，
∴∠D＝∠CAB﹣∠ABD＝80°﹣35°＝45°．
（2）∠D的大小不变，理由如下：
∵∠MAB＝∠AOB+∠ABO＝90°+∠ABO，AC平分∠MAB，
∴∠CAB＝∠MAB＝45°+∠ABO．
∵BD平分∠ABO，
∴∠ABD＝∠ABO．
又∵∠CAB＝∠ABD+∠D，
∴∠D＝∠CAB﹣∠ABD＝45°+∠ABO﹣∠ABO＝45°，
∴∠D的大小不发生变化．
六、
23．如图，四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠BCD＝150°，CB＝CD，M，N为AB、AD上的两个动点，且∠MCN＝75°．求证：MN＝BM+DN．
【分析】延长AB至点E，使得BE＝DN，连接CE，根据同角的补角相等得∠CBE＝∠CDN，根据SAS证明△CBE≌△CDN，则∠BCE＝∠DCN，进而证明∠ECM＝∠MCN＝75°，根据SAS证明△ECM≌△NCM，得到MN＝ME，则MN＝BM+BE＝BM+DN．
【解答】证明：延长AB至点E，使得BE＝DN，连接CE，
∵四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CBE＝∠CDN，
在△CBE和△CDN中，
，
∴△CBE≌△CDN（SAS），
∴∠BCE＝∠DCN，CN＝CE，
∵∠BCD＝150°，∠MCN＝75°，
∴∠MCE＝∠MCB+∠BCE＝∠MCB+∠DCN＝75°，
∴∠MCN＝∠MCE，
在△ECM和△NCM中，
，
∴△ECM≌△NCM（SAS），
∴MN＝ME＝BM+BE＝BM+DN．
七、
24．如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系 ∠C﹣∠A＝2∠O ．
【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）结合（1）的结论，根据∠ABC与∠ADC的平分线．∠A＝50°，∠C＝150°，即可求∠BOD的度数；
（3）结合（1）的结论，根据BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．进而可以写出∠A、∠C与∠O的数量关系．
解：（1）猜想：∠1+∠2＝∠A+∠C，
∵∠1+∠ABC+∠2+∠ADC＝360°，
又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+∠C；
（2）∵∠A＝50°，∠C＝150°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣200°＝160°，
又∵BO、DO分别平分∠ABC与∠ADC，
∴∠OBC＝∠ABC，∠ODC＝∠ADC，
∴∠OBC+∠ODC＝（∠ABC+∠ADC）＝80°，
∴∠BOD＝360°﹣（∠OBC+∠ODC+∠C）＝130°；
（3）∠A、∠C与∠O的数量关系为为：
∠C﹣∠A＝2∠O．
理由如下：
∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．
∴∠FDC＝2∠FDO＝2∠ODC，∠EBC＝2∠EBO＝2∠CBO，
由（1）可知：
∠FDO+∠EBO＝∠A+∠O，
2∠FDO+2∠EBO＝∠A+∠C，
∴2∠A+2∠O＝∠A+∠C，
∴∠C﹣∠A＝2∠O．
故答案为：∠C﹣∠A＝2∠O．
八、
25．如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．
（1）探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．
【分析】（1）由条件可得出∠1＝∠2，可证得△APB≌△QAC，可得结论；
（2）根据题意画出图形，结合（1）可证得△APB≌△QAC，可得结论．
【解答】（1）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
而∠DAP+∠P＝90°，
∴∠DAP+∠QAC＝90°，
即∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP；
即AP＝AQ，AP⊥AQ；
（2）上述结论成立，理由如下：
如图所示：
∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°，
∵∠CAE＝∠DAB，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
∵∠PDA＝90°，
∴∠P+∠PAD＝90°，
∴∠QAC+∠PAD＝90°，
∴∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP，
即AP＝AQ，AP⊥AQ．