高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.7正弦定理和余弦定理学案

第七节　正弦定理和余弦定理

授课提示：对应学生用书第68页

[基础梳理]

1．正弦定理

＝＝＝2R，其中R是△ABC的外接圆半径．

正弦定理的常用变形

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.

(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝.

(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

2．余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝；

b2＝a2＋c2－2accos B，cos B＝；

c2＝a2＋b2－2abcos C，cos C＝．

3．勾股定理

在△ABC中，∠C＝90°⇔a2＋b2＝c2．

4．三角形的面积公式

S△ABC＝aha＝bhb＝chc

＝absin C＝bcsin A＝acsin B．

1．射影定理：bcos C＋ccos B＝a，

bcos A＋acos B＝c，

acos C＋ccos A＝b.

2．三个角A、B、C与诱导公式的“消角”关系

sin(A＋B)＝sin C，

cos(A＋B)＝－cos C，

sin ＝cos ，

cos ＝sin .

3．特殊的面积公式

(1)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)，

(2)S＝，P＝(a＋b＋c)，

(3)S＝＝2R2sin A·sin B·sin C(R为△ABC外接圆半径)．

[四基自测]

1．(基础点：正弦定理)在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)

A．4　　　　　　　　　 B．2

C.  D．

答案：B

2．(基础点：正、余弦定理)在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．不能确定

答案：C

3．(基础点：正弦定理)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________．

解析：∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.

答案：

4．(基础点：余弦定理与面积)若△ABC中，A＝，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．

答案：

授课提示：对应学生用书第68页

考点一　正、余弦定理的简单应用

挖掘1　正弦定理及其应用/自主练透

[例1]　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cos A＝，则b等于(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D．

[解析]　因为cos A＝，所以sin A＝＝ ＝，所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝cos 45°＋sin  45°＝.

由正弦定理＝，得b＝×sin 45°＝.

[答案]　C

(2)已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则的取值范围是(　　)

A．(，)  B．(，)

C．(，)  D．(，)

[解析]　因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A，

由正弦定理得b＝＝2acos A，所以＝，所以＝＝tan A.

因为△ABC是锐角三角形，

所以解得＜A＜，

所以＜tan A＜1，

所以＜tan A＜.

即的取值范围是(，)．故选D.

[答案]　D

挖掘2　余弦定理及其应用/互动探究

[例2]　(1)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝(　　)

A．2  B．4＋2

C．4－2  D．－

[解析]　在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos 30°＝4.

∴b＝2.

[答案]　A

(2)在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC边的长为________．

[解析]　由S△ABC＝得×3×ACsin 120°＝，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.

[答案]　7

挖掘3　正、余弦定理混合应用/互动探究

[例3]　已知△ABC满足sin2A＋sin Asin B＋sin2B＝sin2C，则角C的大小是________．

[解析]　因为sin2A＋sin Asin B＋sin2B＝sin2C，所以a2＋ab＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝－ab，故cos C＝＝－(0＜C＜π)，所以C＝π.

[答案]　π

[破题技法]　1.求解三角形的一般方法

2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

考点二　有关三角形的周长、面积及正、余弦定理的综合应用

挖掘1　已知边角混合关系解三角形/自主练透

[例1]　(2020·河南省最后一次模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A＋bsin  B＋bsin A＝csin C.

(1)求C；

(2)若a＝2，b＝2，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长．

[解析]　(1)因为asin A＋bsin B＋bsin A＝csin C，

所以由正弦定理可得a2＋b2＋ab＝c2.

由余弦定理得cos C＝＝－，

又0＜C＜π，所以C＝.

(2)由(1)知C＝，

根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋(2)2－2×2×2×(－)＝20，

所以c＝2.

由正弦定理＝，得＝，

解得sin B＝，从而cos B＝.

设BC的中垂线交BC于点E，

因为在Rt△BDE中，cos B＝，所以BD＝＝＝，

因为点D在线段BC的中垂线上，所以CD＝BD＝.

挖掘2　有关三角形的面积计算/ 互动探究

[例2]　(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．

[解析]　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B．

又∵b＝6，a＝2c，B＝，

∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，

∴c＝2，a＝4，

∴S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6.

[答案]　6

(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A.

①求B；

②若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

[解析]　①由题设及正弦定理得

sin Asin＝sin Bsin A.

因为sin A≠0，所以sin＝sin B．

由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，

故cos＝2sin cos .

因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.

②由题设及①知△ABC的面积S△ABC＝a.

由①知A＋C＝120°，

由正弦定理得a＝＝＝＋.

由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.

结合A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，

所以＜a＜2，从而＜S△ABC＜.

因此，△ABC面积的取值范围是.

[破题技法]　1.求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．

(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

2．已知三角形面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．

(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．

挖掘3　有关三角形的周长及最值计算/ 互动探究

[例3]　(1)在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．

[解析]　因为＝＝＝，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A，因此AB＋2BC＝2sin C＋4sin A

＝2sin＋4sin A

＝5sin A＋cos A＝2sin(A＋φ)，

因为φ∈(0，2π)，A∈(0，)，所以AB＋2BC的最大值为2.

[答案]　2

(2)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；的取值范围是________．

[解析]　由余弦定理得cos B＝，

∴a2＋c2－b2＝2accos B．又∵S＝(a2＋c2－b2)，

∴acsin B＝×2accos B，∴tan B＝，∴B＝.

又∵C为钝角，∴C＝－A＞，

∴0＜A＜.

由正弦定理得＝

＝＝＋·.

∵0＜tan A＜，∴ ＞，

∴＞＋×＝2，即＞2.

[答案]　　(2，＋∞)

(3)在△ABC中，cos C是方程2x2－3x－2＝0的一根．

①求角C；

②当a＋b＝10时，求△ABC周长的最小值．

[解析]　①由2x2－3x－2＝0得x1＝2，x2＝－，又cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，所以cos C＝－，因此C＝.

②由C＝和余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·(－)＝(a＋b)2－ab，所以c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75，

当a＝5时，c最小且c＝＝5，此时a＋b＋c＝10＋5.

所以，△ABC的周长的最小值为10＋5.

[破题技法]三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．

考点三　判断三角形的形状

[例]　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形　　　 B．直角三角形

C．钝角三角形  D．不确定

[解析]　法一：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．

法二：因为bcos C＋ccos B＝asin A，

所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，

即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝sin2A，

故sin A＝1，即A＝，

因此△ABC是直角三角形．

法三：由射影定理可得bcos C＋ccos B＝a，

所以a＝asin A，

所以sin A＝1，A＝，为直角三角形．

[答案]　B

(2)在△ABC中，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC的形状为________．

[解析]　法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)

＝sin A cos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，

因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.

所以△ABC为等腰三角形．

法二：由正弦定理得2acos B＝c，

再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.

所以△ABC为等腰三角形．

[答案]　等腰三角形

[破题技法]　判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.