高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.6简单的三角恒等变形学案

第六节　简单的三角恒等变形

授课提示：对应学生用书第66页

[基础梳理]

1．升幂公式

(1)1＋cos 2α＝2cos2α．

(2)1－cos 2α＝2sin2α．(说明：从左到右是升幂，从右到左为降幂)

2．辅助角公式

asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)

.

3．半角公式(不要求记忆)

(1)sin ＝± .

(2)cos ＝± .

(3)tan ＝± ＝＝

.

重要的运算变形公式

sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos βsin θ＋sin φ＝2sin cos .

sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin βsin θ－sin φ＝2cos sin .

cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos αcos  βcos θ＋cos φ＝2coscos .

cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin βcos θ－cos φ＝－2sin sin.

tan ＝＝.

[四基自测]

1．(基础点：辅助角公式)函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)

A．π　　　　　　　　 B.

C．2π  D．

答案：A

2．(易错点：半角函数值符号)已知cos θ＝－，<θ<3π，那么sin ＝(　　)

A.　 B．－　　C.　　D．－

答案：D

3．(基础点：辅助角公式)f(x)＝sin(x＋3π)－3cos x的最小值为________．

答案：－

4．(易错点：公式的变形)已知α∈(0，)，2sin α＝cos α＋1，则tan＝________．

答案：

授课提示：对应学生用书第66页

考点一　利用变换的“主角”变——角变

[例]　(1)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，sin＝，则cos＝(　　)

A.　　　　　　　 B．－

C.  D．－

[解析]　因为0＜α＜，所以＜α＋＜，又cos＝，

所以sin＝

＝ ＝.因为－＜β＜0，所以＜－＜，

又sin＝，

所以cos＝

＝ ＝，

所以cos＝cos

＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.故选C.

[答案]　C

(2)若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan＝(　　)

A.  B．

C.  D．

[解析]　法一：由已知得cos α＝1－sin α.

代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋(1－sin α)2＝1，

整理得sin2α－sin α＝0，解得sin α＝0或sin α＝.

因为α∈(0，π)，

所以sin α＝，故cos α＝1－×＝.

所以tan＝＝＝.故选A.

法二：因为sin α＝2sin·cos，cos α＝1－2sin2，

所以sin α＋2cos α＝2可以化为2sin ·cos＋2(1－2sin2)＝2，

化简可得2sin·cos＝4sin2.①

因为α∈(0，π)，所以∈(0，)，

所以sin≠0.

所以①式可化为2cos＝4sin，即tan ＝.

故选A.

[答案]　A

[破题技法]　1.给值求值问题的主要思路是抓住“角”进行变形，即用已知角表示未知角．有两种思路：

(1)α＋2β＝(α＋β)＋β，即先求tan(α＋β)→tan(α＋β＋β)．

(2)α＋2β先求tan 2β →tan(α＋2β)．

2．从函数概念角度考虑：三角函数的自变量是角，角就成为分析变换的第一个要点．对于一个角，我们要分析它的范围，对于不同的角，我们就要分析它们之间的关系．用已知角表示所求角．如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋＝(α＋)－(－)，同时注意角的范围．

3．注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”，构造适合公式的形式．

考点二　利用式子的“结构”变—形变

挖掘1　化简与求值/ 互动探究

[例1]　(1)化简的结果是(　　)

A．－cos 1　　　　　 B．cos 1

C.cos 1  D．－cos 1

[解析]　原式＝

＝

＝＝cos 1.

[答案]　C

(2)＝________．

[解析]　＝＝＝4sin α.

[答案]　4sin α

(3)若f(α)＝2tan α－，求f()的值．

[解析]　∵f(α)＝2tan α－＝＋＝，∴f＝＝8.

挖掘2　化简与证明/ 互动探究

[例2]　(1)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan β＝，则(　　)

A．α－3β＝－

B．α－2β＝－

C．α＋3β＝

D．α＋2β＝

[解析]　法一：(化切为弦)因为tan β＝，

所以＝，即sin βcos α＝cos β＋cos βsin α，

整理得sin(β－α)＝cos β，即sin(β－α)＝sin(－β)，

因为α∈(0，)，β∈(0，)，所以β－α∈(－，)，－β∈(0，)，

因为函数y＝sin x在(－，)上单调递增，所以β－α＝－β，

整理得α－2β＝－.故选B.

法二：(化弦为切)因为＝

＝

＝，

所以tan β＝＝tan[－(－)]＝tan(＋)．

因为α∈(0，)，β∈(0，)，＋∈(，)，

又函数y＝tan x在(0，)上单调递增，所以β＝＋，

即α－2β＝－，故选B.

[答案]　B

(2)下列等式关系在α使其有意义的条件下，恒成立的有________．

①(sin2α－cos 2α)2＝1－sin 4α；

②tan－＝；

③1＋cos 2α＋2 sin2 α＝2；

④＝tan  2α

[解析]　①(sin 2α－cos 2α)2＝sin22α＋cos22α－2sin 2α·cos 2α＝1－sin 4α(正确)．

②tan－＝＝＝

－(错)．

③1＋cos 2α＋2sin2α＝2cos2α＋2sin2α＝2(正确)．

④＝＝＝tan α(错)．

[答案]　①③

[破题技法]　1.已知是“和”式，所求是“积”式，要经过“平方”为桥梁进行变形．

cos α＋cos β＝→cos2α＋cos2 β＋2cos αcos β＝，

sin α＋sin β＝→sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝.

2．三角函数式总是由一定结构呈现的，要学会观察三角函数式的结构特征，联想所学公式，根据要解决的问题选择变换的方向，类似几何直观，这是一种代数直观能力，看到一个函数解析式就能够联想到函数的性质(对称性、过定点，函数值正负区间，单调性等)．这就是直观想象素养，根据结构和目标确定变换的方向和方法，常用的变换有：

(1)对于含有“sin2x”型，利用sin2x＝.

(2)对于含有“cos2x”型，利用cos2x＝.

(3)对于含有“sin xcos x”型，利用sin xcos x＝sin 2x.

(4)对于含有“tan x”型，利用tan x＝.逐步变为形如“y＝asin x＋bcos x”，利用辅助角公式变为y＝sin(x＋φ)型．

考点三　利用三角恒等变换，研究三角函数性质

挖掘　三角函数式化简与性质/互动探究

[例]　已知函数f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)－a的图像经过点(，1)，a∈R.

(1)求实数a的值及函数f(x)的单调递增区间；

(2)若当x∈[0，]时，不等式f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)－a＝2sin2x＋2sin xcos x－a＝1－cos 2x＋sin 2x－a＝sin(2x－)＋1－a.

因为函数f(x)的图像经过点(，1)，所以sin＋1－a＝1，

解得a＝1.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．

(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)，因为x∈[0，]，所以2x－∈[－，]．

当2x－＝－，

即x＝0时，f(x)min＝－1.

因为f(x)≥m恒成立，所以m≤f(x)min，即m≤－1.

所以实数m的取值范围是(－∞，－1]．

[破题技法]　一般地先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，再用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，最后借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．

(2020·陕西西安一中月考)已知函数f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．

解析：(1)f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)＝cos x＋sin x＝2sin(x＋)，

于是T＝＝2π.故f(x)的最小正周期为2π.

(2)将函数f(x)＝2sin(x＋)的图像向右平移个单位长度，得g(x)＝2sin(x＋－)＝2sin(x＋)的图像，

令t＝x＋，因为x∈[0，π]，所以t∈[，]．

易知函数h(t)＝2sin t在[，]上单调递增，在[，]上单调递减，

所以函数h(t)在[，]上的最小值为h()＝2×sin＝－1，即g(x)在区间[0，π]上的最小值为－1，又h(t)的最大值为h()＝2×sin＝2，所以g(x)在区间[0，π]上的最大值为2.