高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案

第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式

授课提示：对应学生用书第53页

[基础梳理]

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．

(2)商数关系：＝tan__x．

2．三角函数的诱导公式

1．“一个口诀”

诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．

2．两个注意

(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．

(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论．

3．两个推广

tan(－α)＝，tan(＋α)＝－.

[四基自测]

1．(基础点：同角关系)已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝(　　)

A．－2　　　　　　 B．2

C.  D．－

答案：D

2．(基础点：诱导公式)sin 210°cos 120°的值为(　　)

A.　　　　　　 B．－

C．－  D．

答案：A

3．(基础点：诱导公式)tan 225°＝________．

答案：1

授课提示：对应学生用书第54页

考点一　同角三角函数关系的应用

挖掘1　公式的直接应用/ 自主练透

[例1]　(1)(2020·济南质检)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝(　　)

A.　　　　　　　　 B．－

C.  D．－

[解析]　cos α＝＝，

∴tan α＝＝－.

[答案]　D

(2)已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin α＝(　　)

A．－  B．

C．±  D．

[解析]　由cos α＝k，k∈R，α∈，可知k＜0，设角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，OP＝1，所以＝1，得y＝，由三角函数定义可知sin α＝.

[答案]　B

在本例(1)中，如果只知sin α＝－，则tan α＝________．

答案：±

挖掘2　关于sin α、cos α的齐次式问题/互动探究

[例2]　(1)(2020·平顶山联考) 已知＝5，则cos2α＋sin 2α＝(　　)

A.  B．－

C．－3  D．3

[解析]　由＝5知tan α＝2，

∴cos2 α＋sin 2α＝＝＝.

[答案]　A

(2)已知tan α＝－，求2sin2α＋sin αcos α－3cos2α的值．

[解析]　∵sin2α＋cos2α＝1，cos α≠0，

∴原式＝＝

＝＝－.

挖掘3　“sin α±cos α”“sin αcos α”及“1”之间的转化/自主练透

[例3]　(1)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为(　　)

A.　　　　　　　　 B．－

C.  D．－

[解析]　因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝.

又因为θ∈，所以sin θ<cos θ，即sin θ－cos θ<0，

所以sin θ－cos θ＝－.

[答案]　B

(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．

[解析]　因为sin 1°＝cos 89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝，故原式＝44＋＝44.

[答案]　44

(3)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．

[解析]　∵sin α＋cos β＝1，①

cos α＋sin β＝0，②

∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1.

∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，

∴sin(α＋β)＝－.

[答案]　－

[破题技法]　同角三角函数基本关系式的应用技巧

考点二　诱导公式的应用

[例]　(1)已知cos＝，则sin＝________．

[解析]　sin＝－sin

＝－sin＝－sin

＝－sin＝－cos＝－.

[答案]　－

(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)．

①化简f(α)；

②若α＝－，求f(α)的值．

[解析]　①f(α)＝

＝＝

＝＝.

②当α＝－时，f(α)＝f(－)＝

＝＝＝＝.

[破题技法]　1.诱导公式的作用是异角化同角：

2．应用诱导公式时，注意：

(1)明确函数名是变，还是不变；

(2)明确函数值符号是正还是负；

(3)明确是否直接用公式；

(4)明确各公式的应用顺序．

3．含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．

若本例(1)中条件不变，求sin的值．

解析：sin＝sin

＝－cos＝－.

考点三　同角关系的诱导公式的综合应用

挖掘1　以化为“同名”函数为主线/自主练透

[例1]　(1)已知tan α＝2，则cos(π＋α)·cos的值为________．

[解析]　依题意得cos(π＋α)cos＝cos αsin α＝＝＝.

[答案]　

(2)已知α∈，tan α＝2，求cos值．

[解析]　由题意得，

α∈.

∴sin α＝，cos α＝.

∴cos＝cos αcos＋sin αsin

＝×＝.

挖掘2　以化为“同角”函数为主线/互动探究

[例2]　(1)已知sin＋cos α＝－，则cos＝(　　)

A．－　　　　　　　　 B.

C．－  D．

[解析]　由sin＋cos α＝－，展开化简可得sin＝

－，所以cos＝

cos＝sin＝－.故选C.

[答案]　C

(2)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝__________．

[解析]　因为θ是第四象限角，

且sin＝，

所以θ＋为第一象限角，

所以cos＝，

所以tan＝

＝

＝－＝－.

[答案]　－

(3)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin α＝，则sin β＝________．

[解析]　α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.

∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.

∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.

[答案]　

挖掘3　以“变式”为主线/互动探究

[例3]　(1)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 019)的值为(　　)

A．－1  B．1

C．3  D．－3

[解析]　因为f(4)＝3，所以asin α＋bcos β＝3，

故f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)

＝－asin α－bcos  β＝－(asin α＋bcos β)＝－3.

[答案]　D

(2)(2020·福州调研)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝________．

[解析]　由已知得－2tan α＋3sin β＋5＝0①

tan α－6sin β－1＝0②

∴tan α＝3，

即＝3，又sin2α＋cos2α＝1，

α为锐角，∴sin α＝.

[答案]　

[破题技法]　1.先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系求解，用诱导公式时务必先使其符合公式形式：变其角，合其形，求其值．

2．诱导公式与同角关系式结合起来，进行“三变”，变角、变名、变式

变名：主要是沟通已知与所求函数名之间的联系，进行转化，正弦↔余弦，切↔弦．

变角：主要沟通已知角与所求角间的联系：用已知角表示所求角．