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2021年甘肃省武威八中中考数学二模试卷 解析版
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这是一份2021年甘肃省武威八中中考数学二模试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年甘肃省武威八中中考数学二模试卷
一、单选题（30分）
1．（3分）如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在（ ）
A．线段DE上 B．线段CD上 C．线段BC上 D．线段AB上
2．（3分）下面四个几何体中，俯视图是四边形的几何体共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）若实数a满足+a＝0，则有（ ）
A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0
4．（3分）甲、乙、丙、丁四名学生参加市中小学生运动会跳高项目预选赛，他们8次跳高的平均成绩及方差如下表所示，要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ）
甲
乙
丙
丁
（米）
1.72
1.75
1.75
1.72
S2（米2）
1
1.3
1
1.3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）据旅游部统计，2020年国庆中秋假期首日，全国共接待国内游客0.97亿人次，按可比口径同比恢复73.8%．其中0.97亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.97×108 B．9.7×108 C．97×108 D．9.7×107
6．（3分）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角∠α与∠β相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．﹣12x4÷3x＝﹣4x3 B．
C．（x2）3＝x5 D．2x2+3x2＝5x2
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值有可能是（ ）
A．2021 B．2 C．1 D．0
9．（3分）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ）
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c≥am2+bm+c；④当x＜1时，y＞0；⑤9a﹣3b+c＝0．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（24分）
11．（3分）若分式的值为零，则x的值为 ．
12．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝3，则的长为 ．
13．（3分）已知a+b＝2，ab＝1，则2a3b+2ab3＝ ．
14．（3分）小明从家跑步到学校，接着立即原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）之间的函数关系的图象，则小明步行回家的平均速度是 米/分．
15．（3分）如图，△ABO中，AB⊥OB，，AB＝2，把△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为 ．
16．（3分）如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是 ．
17．（3分）盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法．中国古代数学名著《九章算术》中，专辟一章名为“盈不足”．该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多3元；每人出8元，少4元．问该物品售价为多少元？”，则该物品售价为 元．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线1上，点B1，点B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB，△A2B1B2，△A3B2B3，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn的顶点Bn的坐标为 ．
三、解答题（66分）
19．（3分）计算：．
20．（3分）尺规作图：如图，在△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使得△ABC∽△PAC．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
21．（6分）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝+3，b＝﹣3．
22．（6分）解不等式组并把它的解集表示在数轴上．
23．（6分）如图，小明在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为37°．树底D处的俯角为45°，测试点A的高度AB为20米．请你帮助小明计算树的高度（精确到0.1米）．
参考数据：sin37°≈0.602，cos37°≈0.799，tan37°≈0.754．
24．（6分）王老师参加监考相关工作，根据学校的安排，他将被随机分到A组（考务）、B组（司时）、C组（环境消杀）、D组（安保）中的一组．
（1）王老师被分到C组（环境消杀）的概率是 ．
（2）李老师也参加了此次监考工作，已知每组至少安排两位老师，请用画树状图或列表的方法，求他和王老师被分到同一组的概率．
25．（6分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（60≤x＜70）；B组（70≤x＜80）；C组（80≤x＜90）；D组（90≤x≤100），并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生一共有 人；并把条形统计图补完整；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 组内；扇形A的圆心角度数是 ；
（3）若该学校有2000名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？
26．（6分）如图，一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数的表达式；
（2）请直接写出不等式的解集．
27．（6分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
28．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．
29．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A（2，0）和B（﹣8，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，请求出点F的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点P的坐标．
2021年甘肃省武威八中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（30分）
1．（3分）如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在（ ）
A．线段DE上 B．线段CD上 C．线段BC上 D．线段AB上
【分析】根据实数平方根的定义估算﹣1的大小，再结合数轴表示数的方法得出答案．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
∵数轴上的点B，C分别对应的数是2，3，
∴表示的点应在线段BC上，
故选：C．
2．（3分）下面四个几何体中，俯视图是四边形的几何体共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据俯视图是从上面看所得到的图形判断即可．
【解答】解：圆锥的俯视图是有圆心的圆，长方体的俯视图是矩形，该圆柱的俯视图是矩形，三棱锥的俯视图是三角形，三角形的内部有一点分别与三角形的三个顶点连接．
所以俯视图是四边形的几何体共有2个．
故选：B．
3．（3分）若实数a满足+a＝0，则有（ ）
A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0
【分析】利用将已知等式移项变形，利用算术平方根的性质判断a的符号．
【解答】解：∵+a＝0
∴＝﹣a≥0，
∴a≤0．故选D．
4．（3分）甲、乙、丙、丁四名学生参加市中小学生运动会跳高项目预选赛，他们8次跳高的平均成绩及方差如下表所示，要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ）
甲
乙
丙
丁
（米）
1.72
1.75
1.75
1.72
S2（米2）
1
1.3
1
1.3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
【解答】解：∵乙、丙射击成绩的平均环数较大，
∴乙、丙成绩较好，
∵丙的方差＜乙的方差，
∴丙比较稳定，
∴成绩较好状态稳定的运动员是丙，
故选：C．
5．（3分）据旅游部统计，2020年国庆中秋假期首日，全国共接待国内游客0.97亿人次，按可比口径同比恢复73.8%．其中0.97亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.97×108 B．9.7×108 C．97×108 D．9.7×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.97亿＝97000000＝9.7×107．
故选：D．
6．（3分）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角∠α与∠β相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据余角和补角的概念解答．
【解答】解：A、∠α与∠β互余，不一定相等；
B、∠α＝∠β；
C、∠α＝∠β，但∠α与∠β都是钝角；
D、∵∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°，
∴∠α≠∠β；
故选：B．
7．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．﹣12x4÷3x＝﹣4x3 B．
C．（x2）3＝x5 D．2x2+3x2＝5x2
【分析】利用整式的除法的法则，二次根式的化简，合并同类项的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、﹣12x4÷3x＝﹣4x3，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、（x2）3＝x6，故C符合题意；
D、2x2+3x2＝5x2，故D不符合题意；
故选：C．
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值有可能是（ ）
A．2021 B．2 C．1 D．0
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选：D．
9．（3分）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：B．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ）
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c≥am2+bm+c；④当x＜1时，y＞0；⑤9a﹣3b+c＝0．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由抛物线开口向下，即a＜0；对称轴﹣＜0，则b＜0，c＝3＞0，
∴abc＞0，选项①正确
∵对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，选项②正确；
∵当x＝﹣1时，函数的值最大，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c，选项③正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴另一个与x的交点为（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，选项⑤正确；
∵图象与x轴的交点（﹣3，0）和（1，0）知﹣3＜x＜1时，y＞0，选项④错误；
故选：B．
二、填空题（24分）
11．（3分）若分式的值为零，则x的值为 ﹣1 ．
【分析】由已知可得，分式的分子为零，分母不为零，由此可得x2﹣x﹣2＝0，x﹣2≠0，解出x即可．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴x2﹣x﹣2＝0且x﹣2≠0，
解得x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝3，则的长为 ．
【分析】判断出三角形AOC是正三角形，再求出弧BC所对应的圆心角的度数，利用弧长公式进行计算即可．
【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，∠OAC＝60°，
∴△AOC是正三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝140°﹣60°＝80°，
∴的长为＝，
故答案为：．
13．（3分）已知a+b＝2，ab＝1，则2a3b+2ab3＝ 4 ．
【分析】对2a3b+2ab3提公因式得2ab（a2+b2），再利用完全平方公式可得2ab[（a+b）2﹣2ab]，然后将a+b，ab的值代入即可．
【解答】解：∵a+b＝2，ab＝1，
∴2a3b+2ab3＝2ab（a2+b2）＝2ab[（a+b）2﹣2ab]＝2×1×[22﹣2×1]＝4；
故答案为：4．
14．（3分）小明从家跑步到学校，接着立即原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）之间的函数关系的图象，则小明步行回家的平均速度是 80 米/分．
【分析】根据图象可知小明家到学校的距离是800米，呈下降趋势的线段表示其步行回家，利用路程除以时间可得速度．
【解答】解：由图象可知小明家到学校的距离是800米，
从5分钟到15分钟的一段线段代表小明步行回家．
其步行速度为800÷（15﹣5）＝80（米/分）．
故答案为80．
15．（3分）如图，△ABO中，AB⊥OB，，AB＝2，把△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为 ．
【分析】图，过点B1作B1H⊥x轴于H．求出OH，B1H即可．
【解答】解：如图，过点B1作B1H⊥x轴于H．
∵∠BOB1＝150°，
∴∠HOB1＝180°﹣150°＝30°，
∴B1H＝OB′＝，
∴OH＝B′H＝3，
∴B1（﹣3，﹣）．
故答案为：（﹣3，﹣）．
16．（3分）如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是 60° ．
【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC＝∠AOC，由于∠ABC+∠AOC＝90°，所以∠AOC+∠AOC＝90°，然后解方程即可．
【解答】解：∵∠ABC＝∠AOC，
而∠ABC+∠AOC＝90°，
∴∠AOC+∠AOC＝90°，
∴∠AOC＝60°．
故答案为：60°．
17．（3分）盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法．中国古代数学名著《九章算术》中，专辟一章名为“盈不足”．该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多3元；每人出8元，少4元．问该物品售价为多少元？”，则该物品售价为 60 元．
【分析】设该物品售价为x元，共y人一起买该物品，根据“每人出9元，多3元；每人出8元，少4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该物品售价为x元，共y人一起买该物品，
依题意，得：，
解得：，
∴该物品售价为60元，共7人一起买该物品．
故答案为：60．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线1上，点B1，点B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB，△A2B1B2，△A3B2B3，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn的顶点Bn的坐标为 （2n﹣1，0） ．
【分析】根据题意分别求出B1（1，0），B2（3，0），B3（7，0），由点的坐标规律可得Bn（2n−1，0）．
【解答】解：直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为（−1，0），（0，1），
∴OA1＝1，
∵△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，
∴B1（1，0），
∴A2（1，2），
∴A2B1＝2，
∴B2（3，0），
∴A3（3，4），
∴A3B2＝4，
∴B3（7，0），
……
Bn（2n−1，0），
故答案为（2n−1，0）．
三、解答题（66分）
19．（3分）计算：．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣+2×+4
＝﹣1+1﹣++4
＝4．
20．（3分）尺规作图：如图，在△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使得△ABC∽△PAC．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】直接作AC的垂直平分线，交BC于点P，连接AP，即为所求．
【解答】解：如图所示：点P即为所求．
21．（6分）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝+3，b＝﹣3．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当a＝+3，b＝﹣3时，
原式＝÷
＝
＝
＝
22．（6分）解不等式组并把它的解集表示在数轴上．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得﹣3x＜3，解得x＞﹣1，
由②得3x﹣2（x﹣1）≤6，解得x≤4，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤4．
在数轴上表示为：
．
23．（6分）如图，小明在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为37°．树底D处的俯角为45°，测试点A的高度AB为20米．请你帮助小明计算树的高度（精确到0.1米）．
参考数据：sin37°≈0.602，cos37°≈0.799，tan37°≈0.754．
【分析】过点C作CE垂直点A所在的水平线于点E，则在图中得到两个直角三角形，利用三角函数定义分别计算出ED和EC，求差即可．
【解答】解：过点C作CE垂直点A所在的水平线于点E，则CE⊥AE，
在Rt△ADE中，
∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠ADE＝45°＝∠EAD，
∴AE＝DE＝AB＝20，
在Rt△ACE中，
∵∠AED＝90°，∠EAC＝37°，
∴tan∠EAC＝，
∴CE＝AE•tan37°≈20×0.754≈15.1（米），
∴CD＝ED﹣CE＝4.9（米）．
答：树的高度约为4.9米．
24．（6分）王老师参加监考相关工作，根据学校的安排，他将被随机分到A组（考务）、B组（司时）、C组（环境消杀）、D组（安保）中的一组．
（1）王老师被分到C组（环境消杀）的概率是 ．
（2）李老师也参加了此次监考工作，已知每组至少安排两位老师，请用画树状图或列表的方法，求他和王老师被分到同一组的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16个等可能的结果，李老师和王老师被分到同一组的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）王老师被分到C组（环境消杀）的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，李老师和王老师被分到同一组的结果有4个，
∴李老师和王老师被分到同一组的概率为＝．
25．（6分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（60≤x＜70）；B组（70≤x＜80）；C组（80≤x＜90）；D组（90≤x≤100），并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生一共有 50 人；并把条形统计图补完整；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 C 组内；扇形A的圆心角度数是 36° ；
（3）若该学校有2000名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？
【分析】（1）根据“B组”的频数、频率，由频率＝进行计算即可；
（2）根据中位数的意义求出中位数即可，求出样本中“A组”所占的百分比，进而求出相应的圆心角度数；
（3）求出“D组”所占的百分比，估计总体中“D组”所占的百分比，进而求出相应的人数．
【解答】解（1）∵B组人数为12人，所占的百分比为20%，
∴总人数为12÷20%＝60（人），
∴C组人数为60﹣6﹣12﹣18＝24（人），
条形统计图如图：
故答案为：60，补全条形统计图如图所示；
（2）根据中位数的定义，60个数中位数为第30，31个数的平均数，根据条形统计图可知第30，31个数都位于C组，
∴中位数落在C组，
扇形A的圆心角度数是；
（3）∵，
∴这次竞赛成绩在D组的学生人数为600人．
26．（6分）如图，一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数的表达式；
（2）请直接写出不等式的解集．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a值，从而得出反比例函数解析式；由勾股定理得出OA的长度从而得出点B的坐标，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）观察第一象限双曲线在直线下方的部分自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数的图象上，
∴k＝4×3＝12，
∴反比例函数解析式为；
∵，OA＝OB，点B在y轴负半轴上，
∴点B（0，﹣5）．
把点A（4，3）、B（0，﹣5）代入y＝kx+b中，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣5；
（2）令y＝2x﹣5中y＝0，则x＝，
∴D（，0），
由图象可知，不等式的解集为2.5＜x＜4．
27．（6分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
【分析】（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的判定推出△EOA≌△FOC即可；
（2）根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的中点是O，
∴OA＝OC，
在△EOA和△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
28．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ODA，求得∠CAD＝∠ODA，得到OD∥AE，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（2）连接OC，CD，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠CDA＝60°，求得△AOC是等边三角形，推出四边形ACDO是菱形，得到CD＝AC＝2，∠CDE＝30°，根据直角三角形的性质得到CE＝1．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D是的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，CD，
∵∠CDA＝30°，
∴∠AOC＝2∠CDA＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴由（1）可得，四边形ACDO是菱形，
∴CD＝AC＝2，∠CDE＝30°，
∴CE＝1．
29．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A（2，0）和B（﹣8，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，请求出点F的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先确定C（0，﹣8），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8，作FG垂直于x轴交BC于G，如图1，设F（t，t2+3t﹣8）（﹣8＜t＜0），则G（t，﹣t﹣8），利用三角形面积公式得到S△FBC＝×GF×OB＝×（﹣t2﹣4t）×8，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，连接AF交直线x＝﹣3于P，如图，根据两点之间线段最短可判断此时PB+PF的值最小，△PBF的周长最小，接着利用待定系数法求出直线AF的解析式为y＝2x﹣4，然后计算x＝﹣3对应的函数值可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（2，0）、B（﹣8，0）代入y＝ax2+bx﹣8得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+3x﹣8；
（2）当x＝0，y＝x2+3x﹣8＝﹣8，则C（0，﹣8），
设直线BC的解析式我y＝kx+m，
把B（﹣8，0），C（0，﹣8）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8，
作FG垂直于x轴交BC于G，如图1，
设F（t，t2+3t﹣8）（﹣8＜t＜0），则G（t，﹣t﹣8），
∴FG＝﹣t﹣8﹣（t2+3t﹣8）＝﹣t2﹣4t，
∴S△FBC＝×GF×OB＝×（﹣t2﹣4t）×8＝﹣2（t+4）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当t＝﹣4时，S△FBC有最大值，
此时F点坐标为（﹣4，﹣12）；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，
连接AF交直线x＝﹣3于P，如图，
∵PA＝PB，
∴PB+PF＝PA+PF＝AF，
∴此时PB+PF的值最小，△PBF的周长最小，
设直线AF的解析式为y＝px+q，
把F（﹣4，﹣12），A（2，0）代入得，解得，
∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，
当x＝﹣3时，y＝﹣6﹣4＝﹣10，
∴点P的坐标为（﹣3，﹣10）．
2021年甘肃省武威八中中考数学二模试卷
一、单选题（30分）
1．（3分）如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在（ ）
A．线段DE上 B．线段CD上 C．线段BC上 D．线段AB上
2．（3分）下面四个几何体中，俯视图是四边形的几何体共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）若实数a满足+a＝0，则有（ ）
A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0
4．（3分）甲、乙、丙、丁四名学生参加市中小学生运动会跳高项目预选赛，他们8次跳高的平均成绩及方差如下表所示，要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ）
甲
乙
丙
丁
（米）
1.72
1.75
1.75
1.72
S2（米2）
1
1.3
1
1.3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）据旅游部统计，2020年国庆中秋假期首日，全国共接待国内游客0.97亿人次，按可比口径同比恢复73.8%．其中0.97亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.97×108 B．9.7×108 C．97×108 D．9.7×107
6．（3分）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角∠α与∠β相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．﹣12x4÷3x＝﹣4x3 B．
C．（x2）3＝x5 D．2x2+3x2＝5x2
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值有可能是（ ）
A．2021 B．2 C．1 D．0
9．（3分）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ）
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c≥am2+bm+c；④当x＜1时，y＞0；⑤9a﹣3b+c＝0．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（24分）
11．（3分）若分式的值为零，则x的值为 ．
12．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝3，则的长为 ．
13．（3分）已知a+b＝2，ab＝1，则2a3b+2ab3＝ ．
14．（3分）小明从家跑步到学校，接着立即原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）之间的函数关系的图象，则小明步行回家的平均速度是 米/分．
15．（3分）如图，△ABO中，AB⊥OB，，AB＝2，把△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为 ．
16．（3分）如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是 ．
17．（3分）盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法．中国古代数学名著《九章算术》中，专辟一章名为“盈不足”．该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多3元；每人出8元，少4元．问该物品售价为多少元？”，则该物品售价为 元．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线1上，点B1，点B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB，△A2B1B2，△A3B2B3，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn的顶点Bn的坐标为 ．
三、解答题（66分）
19．（3分）计算：．
20．（3分）尺规作图：如图，在△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使得△ABC∽△PAC．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
21．（6分）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝+3，b＝﹣3．
22．（6分）解不等式组并把它的解集表示在数轴上．
23．（6分）如图，小明在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为37°．树底D处的俯角为45°，测试点A的高度AB为20米．请你帮助小明计算树的高度（精确到0.1米）．
参考数据：sin37°≈0.602，cos37°≈0.799，tan37°≈0.754．
24．（6分）王老师参加监考相关工作，根据学校的安排，他将被随机分到A组（考务）、B组（司时）、C组（环境消杀）、D组（安保）中的一组．
（1）王老师被分到C组（环境消杀）的概率是 ．
（2）李老师也参加了此次监考工作，已知每组至少安排两位老师，请用画树状图或列表的方法，求他和王老师被分到同一组的概率．
25．（6分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（60≤x＜70）；B组（70≤x＜80）；C组（80≤x＜90）；D组（90≤x≤100），并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生一共有 人；并把条形统计图补完整；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 组内；扇形A的圆心角度数是 ；
（3）若该学校有2000名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？
26．（6分）如图，一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数的表达式；
（2）请直接写出不等式的解集．
27．（6分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
28．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．
29．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A（2，0）和B（﹣8，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，请求出点F的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点P的坐标．
2021年甘肃省武威八中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（30分）
1．（3分）如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在（ ）
A．线段DE上 B．线段CD上 C．线段BC上 D．线段AB上
【分析】根据实数平方根的定义估算﹣1的大小，再结合数轴表示数的方法得出答案．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
∵数轴上的点B，C分别对应的数是2，3，
∴表示的点应在线段BC上，
故选：C．
2．（3分）下面四个几何体中，俯视图是四边形的几何体共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据俯视图是从上面看所得到的图形判断即可．
【解答】解：圆锥的俯视图是有圆心的圆，长方体的俯视图是矩形，该圆柱的俯视图是矩形，三棱锥的俯视图是三角形，三角形的内部有一点分别与三角形的三个顶点连接．
所以俯视图是四边形的几何体共有2个．
故选：B．
3．（3分）若实数a满足+a＝0，则有（ ）
A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0
【分析】利用将已知等式移项变形，利用算术平方根的性质判断a的符号．
【解答】解：∵+a＝0
∴＝﹣a≥0，
∴a≤0．故选D．
4．（3分）甲、乙、丙、丁四名学生参加市中小学生运动会跳高项目预选赛，他们8次跳高的平均成绩及方差如下表所示，要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ）
甲
乙
丙
丁
（米）
1.72
1.75
1.75
1.72
S2（米2）
1
1.3
1
1.3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
【解答】解：∵乙、丙射击成绩的平均环数较大，
∴乙、丙成绩较好，
∵丙的方差＜乙的方差，
∴丙比较稳定，
∴成绩较好状态稳定的运动员是丙，
故选：C．
5．（3分）据旅游部统计，2020年国庆中秋假期首日，全国共接待国内游客0.97亿人次，按可比口径同比恢复73.8%．其中0.97亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.97×108 B．9.7×108 C．97×108 D．9.7×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.97亿＝97000000＝9.7×107．
故选：D．
6．（3分）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角∠α与∠β相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据余角和补角的概念解答．
【解答】解：A、∠α与∠β互余，不一定相等；
B、∠α＝∠β；
C、∠α＝∠β，但∠α与∠β都是钝角；
D、∵∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°，
∴∠α≠∠β；
故选：B．
7．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．﹣12x4÷3x＝﹣4x3 B．
C．（x2）3＝x5 D．2x2+3x2＝5x2
【分析】利用整式的除法的法则，二次根式的化简，合并同类项的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、﹣12x4÷3x＝﹣4x3，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、（x2）3＝x6，故C符合题意；
D、2x2+3x2＝5x2，故D不符合题意；
故选：C．
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值有可能是（ ）
A．2021 B．2 C．1 D．0
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选：D．
9．（3分）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：B．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ）
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c≥am2+bm+c；④当x＜1时，y＞0；⑤9a﹣3b+c＝0．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由抛物线开口向下，即a＜0；对称轴﹣＜0，则b＜0，c＝3＞0，
∴abc＞0，选项①正确
∵对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，选项②正确；
∵当x＝﹣1时，函数的值最大，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c，选项③正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴另一个与x的交点为（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，选项⑤正确；
∵图象与x轴的交点（﹣3，0）和（1，0）知﹣3＜x＜1时，y＞0，选项④错误；
故选：B．
二、填空题（24分）
11．（3分）若分式的值为零，则x的值为 ﹣1 ．
【分析】由已知可得，分式的分子为零，分母不为零，由此可得x2﹣x﹣2＝0，x﹣2≠0，解出x即可．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴x2﹣x﹣2＝0且x﹣2≠0，
解得x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝3，则的长为 ．
【分析】判断出三角形AOC是正三角形，再求出弧BC所对应的圆心角的度数，利用弧长公式进行计算即可．
【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，∠OAC＝60°，
∴△AOC是正三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝140°﹣60°＝80°，
∴的长为＝，
故答案为：．
13．（3分）已知a+b＝2，ab＝1，则2a3b+2ab3＝ 4 ．
【分析】对2a3b+2ab3提公因式得2ab（a2+b2），再利用完全平方公式可得2ab[（a+b）2﹣2ab]，然后将a+b，ab的值代入即可．
【解答】解：∵a+b＝2，ab＝1，
∴2a3b+2ab3＝2ab（a2+b2）＝2ab[（a+b）2﹣2ab]＝2×1×[22﹣2×1]＝4；
故答案为：4．
14．（3分）小明从家跑步到学校，接着立即原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）之间的函数关系的图象，则小明步行回家的平均速度是 80 米/分．
【分析】根据图象可知小明家到学校的距离是800米，呈下降趋势的线段表示其步行回家，利用路程除以时间可得速度．
【解答】解：由图象可知小明家到学校的距离是800米，
从5分钟到15分钟的一段线段代表小明步行回家．
其步行速度为800÷（15﹣5）＝80（米/分）．
故答案为80．
15．（3分）如图，△ABO中，AB⊥OB，，AB＝2，把△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为 ．
【分析】图，过点B1作B1H⊥x轴于H．求出OH，B1H即可．
【解答】解：如图，过点B1作B1H⊥x轴于H．
∵∠BOB1＝150°，
∴∠HOB1＝180°﹣150°＝30°，
∴B1H＝OB′＝，
∴OH＝B′H＝3，
∴B1（﹣3，﹣）．
故答案为：（﹣3，﹣）．
16．（3分）如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是 60° ．
【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC＝∠AOC，由于∠ABC+∠AOC＝90°，所以∠AOC+∠AOC＝90°，然后解方程即可．
【解答】解：∵∠ABC＝∠AOC，
而∠ABC+∠AOC＝90°，
∴∠AOC+∠AOC＝90°，
∴∠AOC＝60°．
故答案为：60°．
17．（3分）盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法．中国古代数学名著《九章算术》中，专辟一章名为“盈不足”．该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多3元；每人出8元，少4元．问该物品售价为多少元？”，则该物品售价为 60 元．
【分析】设该物品售价为x元，共y人一起买该物品，根据“每人出9元，多3元；每人出8元，少4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该物品售价为x元，共y人一起买该物品，
依题意，得：，
解得：，
∴该物品售价为60元，共7人一起买该物品．
故答案为：60．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线1上，点B1，点B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB，△A2B1B2，△A3B2B3，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn的顶点Bn的坐标为 （2n﹣1，0） ．
【分析】根据题意分别求出B1（1，0），B2（3，0），B3（7，0），由点的坐标规律可得Bn（2n−1，0）．
【解答】解：直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为（−1，0），（0，1），
∴OA1＝1，
∵△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，
∴B1（1，0），
∴A2（1，2），
∴A2B1＝2，
∴B2（3，0），
∴A3（3，4），
∴A3B2＝4，
∴B3（7，0），
……
Bn（2n−1，0），
故答案为（2n−1，0）．
三、解答题（66分）
19．（3分）计算：．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣+2×+4
＝﹣1+1﹣++4
＝4．
20．（3分）尺规作图：如图，在△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使得△ABC∽△PAC．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】直接作AC的垂直平分线，交BC于点P，连接AP，即为所求．
【解答】解：如图所示：点P即为所求．
21．（6分）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝+3，b＝﹣3．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当a＝+3，b＝﹣3时，
原式＝÷
＝
＝
＝
22．（6分）解不等式组并把它的解集表示在数轴上．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得﹣3x＜3，解得x＞﹣1，
由②得3x﹣2（x﹣1）≤6，解得x≤4，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤4．
在数轴上表示为：
．
23．（6分）如图，小明在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为37°．树底D处的俯角为45°，测试点A的高度AB为20米．请你帮助小明计算树的高度（精确到0.1米）．
参考数据：sin37°≈0.602，cos37°≈0.799，tan37°≈0.754．
【分析】过点C作CE垂直点A所在的水平线于点E，则在图中得到两个直角三角形，利用三角函数定义分别计算出ED和EC，求差即可．
【解答】解：过点C作CE垂直点A所在的水平线于点E，则CE⊥AE，
在Rt△ADE中，
∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠ADE＝45°＝∠EAD，
∴AE＝DE＝AB＝20，
在Rt△ACE中，
∵∠AED＝90°，∠EAC＝37°，
∴tan∠EAC＝，
∴CE＝AE•tan37°≈20×0.754≈15.1（米），
∴CD＝ED﹣CE＝4.9（米）．
答：树的高度约为4.9米．
24．（6分）王老师参加监考相关工作，根据学校的安排，他将被随机分到A组（考务）、B组（司时）、C组（环境消杀）、D组（安保）中的一组．
（1）王老师被分到C组（环境消杀）的概率是 ．
（2）李老师也参加了此次监考工作，已知每组至少安排两位老师，请用画树状图或列表的方法，求他和王老师被分到同一组的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16个等可能的结果，李老师和王老师被分到同一组的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）王老师被分到C组（环境消杀）的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，李老师和王老师被分到同一组的结果有4个，
∴李老师和王老师被分到同一组的概率为＝．
25．（6分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（60≤x＜70）；B组（70≤x＜80）；C组（80≤x＜90）；D组（90≤x≤100），并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生一共有 50 人；并把条形统计图补完整；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 C 组内；扇形A的圆心角度数是 36° ；
（3）若该学校有2000名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？
【分析】（1）根据“B组”的频数、频率，由频率＝进行计算即可；
（2）根据中位数的意义求出中位数即可，求出样本中“A组”所占的百分比，进而求出相应的圆心角度数；
（3）求出“D组”所占的百分比，估计总体中“D组”所占的百分比，进而求出相应的人数．
【解答】解（1）∵B组人数为12人，所占的百分比为20%，
∴总人数为12÷20%＝60（人），
∴C组人数为60﹣6﹣12﹣18＝24（人），
条形统计图如图：
故答案为：60，补全条形统计图如图所示；
（2）根据中位数的定义，60个数中位数为第30，31个数的平均数，根据条形统计图可知第30，31个数都位于C组，
∴中位数落在C组，
扇形A的圆心角度数是；
（3）∵，
∴这次竞赛成绩在D组的学生人数为600人．
26．（6分）如图，一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数的表达式；
（2）请直接写出不等式的解集．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a值，从而得出反比例函数解析式；由勾股定理得出OA的长度从而得出点B的坐标，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）观察第一象限双曲线在直线下方的部分自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数的图象上，
∴k＝4×3＝12，
∴反比例函数解析式为；
∵，OA＝OB，点B在y轴负半轴上，
∴点B（0，﹣5）．
把点A（4，3）、B（0，﹣5）代入y＝kx+b中，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣5；
（2）令y＝2x﹣5中y＝0，则x＝，
∴D（，0），
由图象可知，不等式的解集为2.5＜x＜4．
27．（6分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
【分析】（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的判定推出△EOA≌△FOC即可；
（2）根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的中点是O，
∴OA＝OC，
在△EOA和△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
28．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ODA，求得∠CAD＝∠ODA，得到OD∥AE，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（2）连接OC，CD，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠CDA＝60°，求得△AOC是等边三角形，推出四边形ACDO是菱形，得到CD＝AC＝2，∠CDE＝30°，根据直角三角形的性质得到CE＝1．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D是的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，CD，
∵∠CDA＝30°，
∴∠AOC＝2∠CDA＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴由（1）可得，四边形ACDO是菱形，
∴CD＝AC＝2，∠CDE＝30°，
∴CE＝1．
29．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A（2，0）和B（﹣8，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，请求出点F的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先确定C（0，﹣8），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8，作FG垂直于x轴交BC于G，如图1，设F（t，t2+3t﹣8）（﹣8＜t＜0），则G（t，﹣t﹣8），利用三角形面积公式得到S△FBC＝×GF×OB＝×（﹣t2﹣4t）×8，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，连接AF交直线x＝﹣3于P，如图，根据两点之间线段最短可判断此时PB+PF的值最小，△PBF的周长最小，接着利用待定系数法求出直线AF的解析式为y＝2x﹣4，然后计算x＝﹣3对应的函数值可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（2，0）、B（﹣8，0）代入y＝ax2+bx﹣8得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+3x﹣8；
（2）当x＝0，y＝x2+3x﹣8＝﹣8，则C（0，﹣8），
设直线BC的解析式我y＝kx+m，
把B（﹣8，0），C（0，﹣8）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8，
作FG垂直于x轴交BC于G，如图1，
设F（t，t2+3t﹣8）（﹣8＜t＜0），则G（t，﹣t﹣8），
∴FG＝﹣t﹣8﹣（t2+3t﹣8）＝﹣t2﹣4t，
∴S△FBC＝×GF×OB＝×（﹣t2﹣4t）×8＝﹣2（t+4）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当t＝﹣4时，S△FBC有最大值，
此时F点坐标为（﹣4，﹣12）；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，
连接AF交直线x＝﹣3于P，如图，
∵PA＝PB，
∴PB+PF＝PA+PF＝AF，
∴此时PB+PF的值最小，△PBF的周长最小，
设直线AF的解析式为y＝px+q，
把F（﹣4，﹣12），A（2，0）代入得，解得，
∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，
当x＝﹣3时，y＝﹣6﹣4＝﹣10，
∴点P的坐标为（﹣3，﹣10）．
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